特色題型專練07 最值問題-圓（解析版）（江蘇專用）

中考特色題型專練之最值問題——圓題型一、點運動路徑1．如圖，在等腰中，，點在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點，當點沿半圓從點運動至點時，點運動的路徑長是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】取的中點，的中點，的中點，連接，可得四邊形是正方形，由得，則可得點的運動路徑，從而求得路徑的長．【詳解】解：取的中點，的中點，的中點，連接，如圖：則，且，，，∴四邊形為平行四邊形，∵，，∴四邊形為正方形，∴，，由勾股定理得：，∵在等腰中，，∴，∴，，∵為的中點，∴，∴，∴點在以為直徑的圓上，當點在點時，點在點；當點在點時，點在點，∴點的路徑為以為直徑的半圓，∴點的運動路徑長．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)及正方形的判定，確定點的運動路徑是關(guān)鍵與難點．2．如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為，點B坐標為，的半徑為4（O為坐標原點），點C是上一動點，過點B作直線的垂線，P為垂足，點C在上運動一周，則點P運動的路徑長等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，連接，根據(jù)，得到點在以為直徑的圓上運動，當與相切時，得到的運動軌跡為，進行求解即可．【詳解】解：∵點A坐標為，點B坐標為，∴，，連接，∵，∴，∴點在以為直徑的上運動，當點在上運動一周時，點的運動路徑為以與相切時，與的兩個交點所夾的，如圖：當與相切時，，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為，∴的長度為：；故選C．【點睛】本題考查坐標與圖形，切線的性質(zhì)，求弧長，解直角三角形，圓周角定理，綜合性強，難度大，屬于壓軸題．解題的關(guān)鍵是確定點的運動軌跡．3．如圖，在邊長為的菱形中，，點分別是上的動點，且與交于點．當點從點運動到點時，則點的運動路徑長為．【答案】【分析】作的外接圓，連接．利用全等三角形的性質(zhì)證明點在以為弦的圓上，確定圓心和半徑利用弧長公式計算即可．【詳解】解∶如圖，作的外接圓，連接，四邊形是菱形，，都是等邊三角形，，，，點在以為弦的圓上，為的外接圓弧所對的圓心角為度，，過點作于根據(jù)垂徑定理,得在在,,即,，故點P的運動的路徑的長．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學會準確尋找點的運動軌跡．4．如圖，在扇形中，，，是弧上一動點，過點作，交于點，連接，，分別平分、，當點從運動到的過程中，點的運動路徑長為．【答案】【分析】根據(jù)、分別平分、，求出，連接，證明，得到，得到點路徑為以為弦，所對圓心角為的圓弧，構(gòu)造，求出，，根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖，，，，分別平分、，，連接，，，，，，點的路徑為以為弦，所對圓心角為的圓弧的一部分，過點、、作圓，作圓內(nèi)接四邊形，則，，，，，當重合時，則，，則是等邊三角形點的運動路徑長為：．故答案為：．【點睛】本題考查動點問題根據(jù)題意確定點所經(jīng)過的路徑，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，求弧長，轉(zhuǎn)化為定邊對定角問題是解題的關(guān)鍵．題型二、將軍飲馬1．如圖，已知的直徑的度數(shù)為，它的另一邊交于點，點為弧的中點，點為直徑上的一個動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識．熟練掌握圓周角定理，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．如圖，作點關(guān)于直徑的對稱點，連接，，則，，由，可知當三點共線時，此時的值最小，由點為弧的中點，可求，則，由勾股定理求，進而可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于直徑的對稱點，連接，，∴，，∴，∴當三點共線時，此時的值最小，∵點為弧的中點，∴，∴，∴，由勾股定理得，，故選：B．2．如圖，點是半圓上一個三等分點，點是弧的中點，點是直徑上一動點，的半徑為1，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．無法計算【答案】B【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，對稱的性質(zhì)；作點B關(guān)于的對稱點C，連接交于點D，連接，當點P與D重合時，最小，利用勾股定理即可求得最小值．【詳解】解：如圖，作點B關(guān)于的對稱點C，連接交于點D，連接，則，；∵點是半圓上一個三等分點，點是弧的中點，∴，，∴；∵，∴當點P與D重合時，最小，最小值為線段的長；在中，，由勾股定理得：，即的最小值為；故選：B．3．如圖，的半徑是8，是的直徑，M為上一動點，，則的最小值為．【答案】16【分析】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理．作點關(guān)于的對稱點，連接與相交于點，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點為的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理可得，然后求出為直徑，從而得解．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接與相交于點，此時，點為的最小值時的位置，由垂徑定理，，∴，∵，為直徑，∴為直徑．則．故答案為：16．4．如圖，在中，直徑，位于點兩側(cè)且垂直于直徑的兩條弦長分別為，，若點為直徑上任意一點，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理可得，，根據(jù)兩點之間線段最短，的長度即為所求，在中應用勾股定理，即可求解，本題考查了垂徑定理，兩點之間線段最短，已知弦長半徑求弦心距，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：找到的等長線段．【詳解】解：連接，交于點，過點作的垂線，垂足為點，，是直徑，垂直平分弦，，的最小值，弦心距，弦心距，，，，故答案為：．題型三、兩動一定1．如圖，在正方形中，，點E是正方形內(nèi)部一動點，且，點P是邊上一動點，連接，，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得到點E在以為直徑的半圓上移動，如圖，設的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應點是F，連接交于P，交半圓O于E，則線段的長即為的長度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴點E在以為直徑的半圓上移動，如圖，設的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應點是F，連接交于P，交半圓O于E，則線段的長即為的長度最小值，∵，∴，∴，∴，故的長度最小值為，故選A．2．如圖，矩形中，，，以為圓心，2為半徑畫圓，是上一動點，是上的一動點，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】本題考查圓外動點最小距離問題，勾股定理及軸對稱最小距離問題，作點的對稱點，連接交圓于一點即為最小距離和的點，根據(jù)勾股定理求解即可得到答案；【詳解】解：作點關(guān)于直線的對稱點，連接交圓于一點即為最小距離和的點，如圖所示，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴的最小值是：，故選：C．3．如圖，點是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點（不包括邊界），且，是上的一點，是的中點，則的最小值為．【答案】2【分析】本題考查了正多邊形，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識．取中點O，中點，連接，，延長、相交于點T，利用軸對稱的性質(zhì)可得，從而得出當共線時，的最小值為，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，證明，為等邊三角形，即可求解．【詳解】解：取中點O，中點，連接，，延長、相交于點T，

，∵正六邊形關(guān)于直線對稱，∴，也關(guān)于直線對稱，∴，∵，O為中點，∴，∴，當共線時，，∴的最小值為，∵正六邊形的邊長為2，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，O為中點，Q為中點，∴，，∴，∴是等邊三角形，

∴，∴，∴的最小值為2．故答案為：2．4．如圖，點E是邊長為6的正方形的邊上一動點，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一動點，連接，則的最小值是.

【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，線段和最小原理，圓的最值性質(zhì)．延長到點G，使得，設半圓的圓心為點O，連接交于點M，交半圓于點N，則的最小值是，根據(jù)用勾股定理計算即可．【詳解】解：延長到點G，使得，設半圓的圓心為點O，連接交于點M，交半圓于點N，∵E是邊長為6的正方形的邊上的一個動點，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一個動點，∴，，過點O作于H，

∵邊長為6的正方形，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，當點F與點N重合，點E與點M重合時，最小，最小值是，且．故答案為：．題型四、折疊圓1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB'F，連接B'D，則B'D的最小值是（）A．8 B．12 C． D．【答案】D【分析】由折疊可得，BE=B'E=AE，點B′在以E為圓心EA為半徑的圓弧上運動．當D、B′、E共線時，B′D的長度最小．根據(jù)勾股定理求出DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知B′E=BE=4，即可求出B′D的最小值．【詳解】解：如圖，B′的運動軌跡是以E為圓心EA為半徑的圓弧，∴當B′點落在DE上時，B′D取得最小值．根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，EB′＝EB，∵E是AB邊的中點，AB＝8，∴AE＝EB′＝4，∵AD＝BC＝12，∴DE＝＝4，∴DB′＝DE﹣B'E＝4﹣4．故選：D．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短的綜合運用．折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，關(guān)鍵是抓住對應邊和對應角相等．2．如圖，在中，，，，點在邊上，且，點為射線上一動點，連接．將沿直線折疊，使點落在點處，連接，，則的面積最小值為（

）A．3 B．6 C． D．12【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，點P在以點F為圓心，2為半徑的圓弧上運動，則過點F作FD⊥AB于D，F(xiàn)D與⊙F的交點為P，則此時△APB的面積最小，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求出此時AB，PD的長即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，F(xiàn)P=FC=2，∴在折疊的過程中，F(xiàn)P的長度不變?yōu)?，∴點P在以點F為圓心，2為半徑的圓弧上運動，則過點F作FD⊥AB于D，F(xiàn)D與⊙F的交點為P，則此時△APB的面積最?。赗t△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AB=，∵∠DAF=∠CAB，∠ADF=∠ACB=90°，∴△ADF∽△ACB，∴，∴，∴DF=3.2．∴DP=DF-PF=3.2-2=1.2，∴此時△APB的面積=×AB×DP=×10×1.2=6．即△APB面積的最小值為6．故選：B．【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)以及勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是找出點P的運動軌跡，從而得出面積最小時的點P的位置．3．如圖，正方形紙片的邊長為6，點E是邊上一定點，連接，且，點F是邊的中點，點M是線段（除點A外）上任意一個動點，連接，把沿折疊，點A落在處，連接，則的最小值是．

【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，作出點A關(guān)于直線的對稱點M，交于點M，根據(jù)，判定三點都在以B為圓心，以為半徑的圓上弧上，當點與點M重合時，取得最大值，是定值，此時取得最小值，解答即可．【詳解】作出點A關(guān)于直線的對稱點M，交于點M，

∵，∴三點都在以B為圓心，以為半徑的圓上弧上，當點與點M重合時，取得最大值，∵是定值，∴此時取得最小值，∵正方形紙片的邊長為6，點E是邊上一定點，，∴，，解得，∴，∵點F是邊的中點，∴，設與的交點為N，根據(jù)題意，得，，∴，解得，∴，∴，故答案為：．4．如圖，在矩形中，，，P為邊上一個動點，連接，將沿所在直線折疊后，點A的對應點落在點處，連接，則當取最小值時，的值為．【答案】/0.75【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識，根據(jù)折疊可得出，則在以B為圓心，為半徑的圓上運動，則當B、、D三點共線時，取最小值，最小值為，然后在中利用正切的定義求解即可．【詳解】解：連接，∵折疊，∴，∴在以B為圓心，為半徑的圓上運動，∵，∴當B、、D三點共線時，取最小值，最小值為，∴．故答案為：．題型五、直角圓1．如圖，在中，，，，點是邊上一動點，連接，作于點，連接，則線段長度的最小值為(

)A．3 B． C． D．1【答案】B【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的基本性質(zhì)，圓周角定理以及勾股定理連接，如圖，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)圓周角定理，由為直徑得到，接著由得到點在以為直徑的上，于是當點、、共線時，最小，如圖，在中利用勾股定理計算出，從而得到的最小值【詳解】，，，，，點在以為直徑的上，連接，，在中，，，，由于，是定值，點在線段上時，最小，如圖2，，即線段長度的最小值為，故選：B．2．如圖，在中，，D是內(nèi)部的一個動點，滿足，則線段長的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】本題考查圓外一點到圓上一點距離的最值問題．根據(jù)，推出，得到點在以為直徑的圓上，取的中點，連接，，根據(jù)，求出最小值即可．解題的關(guān)鍵是確定點的運動軌跡．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴點在以為直徑的圓上，取的中點，連接，，則：∵，∴，∴，∴，∴的最小值為2．故選A．3．如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，，是弧上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點移動的過程中，的最小值是．【答案】【分析】本題考查圓外一點到圓上最小距離問題，勾股定理，圓周角定理，根據(jù)得到點在為直徑的圓上，連接圓心與點交于一點即為最小距離點，結(jié)合勾股定理求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴點在為直徑的圓上，∴連接圓心與點交于一點即為最小距離點，如圖所示，∵是半圓的直徑，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．4．如圖，矩形中，AB=2，，動點P從點A出發(fā)向終點D運動，連接BP，并過點C作CHBP，垂足為H．以下結(jié)論：①；②AH的最小值為；③在運動過程中，BP掃過的面積等于；④在運動過程中，點H的運動路徑的長為，其中正確的有（填寫序號）．【答案】①②③④【分析】由四邊形是矩形，，得，則，即可證明，可判斷①正確；取的中點，連接，，可求得，由勾股定理求得，因為，所以，則，即可求得的最小值是，可判斷②正確；當點與點重合時，則與矩形的對角線重合，可求得掃過的面積為，可判斷③正確；可求得，則點的運動路徑的長為，可判斷④正確，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，∴，∴，∴，故①正確；如圖1，取的中點，連接，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的最小值是，故②正確；如圖，點的運動路徑為以的中點為圓心，半徑長為的一段圓弧，當點與點重合時，則為與矩形的對角線重合，∴掃過的面積為，故③正確；∵由勾股定理得，∴，∴，∴，∴點的運動路徑的長為，故④正確，故答案為：①②③④．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點之間線段最短、勾股定理的應用、三角形的面積公式、弧長公式等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．題型六、定角定長1．如圖，是邊長為1的正方形內(nèi)的一個動點，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理等知識，先求出，從而證明點P在以點A為圓心，為半徑的圓上，從而得到，從而得到，得出點P在以點A為圓心，為半徑的圓上是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接、，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，又∵，∴，∴，以點A為圓心，為半徑作圓，延長交圓于點Q，連接，則，∴，∴點P在上，，∴．故選：D．2．如圖，等邊邊長為，E、F分別是邊上兩個動點且．分別連接，交于P點，點M為的中點，N為上一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理和直角三角形的性質(zhì)．以為邊在外作等邊，取的外心為，求得點在上運動，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，當點在同一直線上時，有最小值，最小值為的長，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵等邊邊長為，點M為的中點，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，以為邊在外作等邊，取的外心為，連接，∵，∴點在上運動，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，當點在同一直線上時，有最小值，最小值為的長，過點作直線的垂線，垂足為，如圖，∵，，，∴，，∴，∵是的外心，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，由勾股定理得，在中，，∴，∴的最小值為：，故選：B．3．如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一動點，且．（）當為等邊三角形時，．（）的最小值為．【答案】【分析】（）如圖，在的垂直平分線上取點，使得，以點為圓心，為半徑畫圓，在圓上任取一點，均有，當為等邊三角形時，圓與垂直平分線上在矩形內(nèi)的交點即為點，過點作于，解直角三角形求出，即可求解；（）連接，與圓交于點，此時，的值最小，過點作于，解直角三角形求出，，進而求出，利用勾股定理求出，即可求出；本題考查了圓周角定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，根據(jù)題意，準確找到點的位置是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）如圖，在的垂直平分線上取點，使得，以點為圓心，為半徑畫圓，在圓上任取一點，均有，當為等邊三角形時，圓與垂直平分線上在矩形內(nèi)的交點即為點，過點作于，則，∴四邊形為矩形，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（）連接，與圓交于點，此時，的值最小，過點作于，則，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．4．如圖，已知以為直徑的，A為弧中點，P為弧上任意一點，交于D，連，若，則的最小值為．【答案】/【分析】以為斜邊作等腰直角三角形，連接、，圓周角定理，易得，為等腰直角三角形，得到，進而得到點D在點為圓心，為半徑的上運動，根據(jù)圓外一點到圓上一點的最值的確定方法進行求解即可．【詳解】解：如圖，以為斜邊作等腰直角三角形，連接、，∵以為直徑的，A為弧中點，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴點D在點為圓心，為半徑的上運動，在等腰直角中，，在中，，∴，∵∴當C、D、三點共線時，CD取的最小值，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查圓周角定理，弧，弦，角之間的關(guān)系，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是確定動點的運動軌跡，利用一箭穿心，進行求解．題型七、切線與勾股定理1．如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，，的半徑為2（為坐標原點），點是直線上的一動點，過點作的一條切線，為切點，則切線長的最小值為（）

A． B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)題意連結(jié)、OQ，當時，線段最短，即線段最短，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如答圖，連結(jié)、OQ．

是的切線，，，當時，，線段最短，即線段最短．，，，，，，．故選：D．2．如圖，在中，，的半徑為1，點是邊上的動點，過點作的一條切線，為切點，則線段長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先連接根據(jù)勾股定理知可得當時，即線段最短，然后由勾股定理即可求得答案．本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，注意掌握輔助線的作法，注意得到當時，線段最短是關(guān)鍵．【詳解】解：連接如圖：∵是的切線，根據(jù)勾股定理知∴當時，線段最短，∵在中，故選：C．3．如圖所示，在直角坐標系中，點坐標為，的半徑為，為軸上一動點，切于點，則最小值是．【答案】【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、坐標與圖形、勾股定理、垂線段最短等知識，解題關(guān)鍵是將問題進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)進行分析．連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)定理可得，要使最小，只需最小即可，根據(jù)垂線段最短，當軸時，取最小值，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得．要使最小，只需最小，則根據(jù)垂線段最短，當軸于時，取最小值，此時點的坐標是，，在中，，∴，則最小值是．故答案為：．4．如圖，在平面直角坐標系中，的半徑為1，點P在經(jīng)過點，的直線上，與相切于點Q，則切線長的最小值為．

【答案】【分析】本題主要考查切線的性質(zhì)、勾股定理及圖形與坐標，熟練掌握切線的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵；連接，由切線的性質(zhì)可知，要使的值為最小，則需滿足為最小值即可，然后根據(jù)點到直線垂線段最短可知當時為最小值，進而問題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵與相切于點Q，∴，∵，∴，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，且，要使的值為最小，則需滿足為最小值即可，根據(jù)點到直線垂線段最短可知當時為最小值，∴，∴，∴的最小值為；故答案為．題型八、中位線與瓜豆原理1．如圖，在平面直角坐標系中，，，半徑為5，P為上任意一點，E是的中點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查點與圓的位置關(guān)系，坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找點E的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．如圖，連接，取的中點H，連接，利用三角形的中位線定理可得，推出點E的運動軌跡是以H為圓心半徑為2.5的圓，進而求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，取的中點H，連接，．∵點E是的中點，點H是的中點，，點E的運動軌跡是以H為圓心半徑為2.5的圓，，，，，的最小值．故選B．2．拋物線與軸交于兩點（在左側(cè)），其對稱軸與軸交于點是以點為圓心，為半徑的圓上的動點，是線段的中點，則線段的最大值與最小值的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查求線段最大值，最小值的問題，關(guān)鍵是把求的最大值，最小值轉(zhuǎn)化成求的最大值，最小值，由三角形中位線定理，把求的最大值，最小值轉(zhuǎn)化成求的最大值，最小值，連接交圓于，延長交圓于，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出，的長即可．【詳解】解：連接，∵拋物線的對稱軸與軸交于點，∴是的中點，∵是中點，∴是的中位線，∴，∴當取最大值，最小值時，取得最大值，最小值，連接交圓于，延長交圓于，當與重合時，長最小，當與重合時，長最大，拋物線，∴當時，∴，∴，∴點的坐標是，∴，∵點的坐標是，∴，∴，∵的半徑是∴長的最大值是，最小值是，∴的最大值是，最小值是，∴線段的最大值與最小值的比值是，故選：D．3．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為矩形，，點M為邊上一點，以點M為圓心，為半徑作，交x軸于點D，連接交于點E，連接，點F為中點，則的最小值為．【答案】/【分析】如圖所示，連接，取中點H，連接，取中點G，連接，由矩形的性質(zhì)得到，進而得到，，證明，則，再證明為的中位線，得到，則點F在以點G為圓心，半徑為1的圓上運動，故當三點共線且點F在上時，有最小值，利用勾股定理得到，則．【詳解】解；如圖所示，連接，取中點H，連接，取中點G，連接，∵四邊形為矩形，，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∵點F為的中點，∴為的中位線，∴，∴點F在以點G為圓心，半徑為1的圓上運動，∴當三點共線且點F在上時，有最小值，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了一點到圓上一點的距離的最值問題，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，坐標與圖形，勾股定理等等，正確作出輔助線推出點F的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．4．（1）如圖①，在平面直角坐標系中，、，以點為圓心、2為半徑的上有一動點．連接，若點為的中點，連接，則的最小值為．（2）如圖②，點A、B的坐標分別為、，點為坐標平面內(nèi)一點，，點為線段的中點，連接，則的最大值為．

【答案】【分析】（1）連結(jié)，取的中點D，連結(jié)，，根據(jù)三角形的中位線定理得，則點C在以定點D為圓心，1為半徑的圓上運動，所以當點C運動到線段上時，的值最小，求出的長，即得的最小值；（2）連結(jié)，取的中點D，連結(jié)，，根據(jù)三角形的中位線定理得，則點M在以定點D為圓心，為半徑的圓上運動，所以當點M運動到線段的延長線上時，的值最大，求出的長，即得的最大值．【詳解】（1）連結(jié)，取的中點D，連結(jié)，，

為的中點，，所以點C在以定點D為圓心，1為半徑的圓上運動，，，，，，所以當點C在線段上時，的值最小，最小值為；故答案為：．（2）連結(jié)，取的中點D，連結(jié)，，

為的中點，，所以點M在以定點D為圓心，為半徑的圓上運動，，，，，，所以當點M運動到線段的延長線上時，的值最大，最大值為；故答案為：．【點睛】本題考查了圖形與坐標，圓的定義，三角形中位線定理，求圓外一點到圓上點的距離的最值，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．題型九、阿氏圓1．如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點E，點P是弧上的一個動點，連結(jié)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接BP，取BE的中點G，連接PG，通過兩組對應邊成比例且夾角相等，證明，得到，則，當P、D、G三點共線時，取最小值，求出DG的長得到最小值．【詳解】解：如圖，連接BP，取BE的中點G，連接PG，∵，，∴，∵G是BE的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，則，當P、D、G三點共線時，取最小值，即DG長，．故選：C．【點睛】本題考查矩形和圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)換成，再根據(jù)三點共線求出最小值．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點D、F分別是邊AB，BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由FB聯(lián)想到給FB構(gòu)造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC補成等邊△ABP，過F作BP的垂線FH，故GF+FB＝GF+FH，易得當G、F、H成一直線時，GF+FB最短．又由于點G為動點，易證點G在以AC為直徑的圓上，求點G到PB的最短距離即當點G在點O到BP的垂線段上時，GQ的長度．【詳解】延長AC到點P，使CP＝AC，連接BP，過點F作FH⊥BP于點H，取AC中點O，連接OG，過點O作OQ⊥BP于點Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等邊三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，F(xiàn)H＝FB∴當G、F、H在同一直線上時，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于點G∴∠AGC＝90°∵O為AC中點∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三點共圓，圓心為O，即點G在⊙O上運動∴當點G運動到OQ上時，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝

∴OQ＝∴GH最小值為故選C．【點睛】本題考查了含30°直角三角形性質(zhì)，垂直平分線性質(zhì)，點到直線距離，圓上點與直線距離，最短路徑．解題關(guān)鍵是找到點G運動到什么位置時，GH最小，進而聯(lián)想到找出點G運動路徑再計算．3．已知：等腰中，，，是上一點，以為圓心的半圓與、均相切，為半圓上一動點，連、，如圖，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．設半圓與、的切點為、，取的中點，連接、，根據(jù)已知條件證明，得，當且僅當、、三點共線時，取得最小值，進而求解．【詳解】解：設半圓與、的切點為、，連接、、、，則，，，所以平分，，，，，，取的中點，連接、，則，，，在和中，，，，，，，當且僅當、、三點共線時，取得最小值,最小值為．故答案為：．4．如圖，在平面直角坐標系中，、、、，點P在第一象限，且，則的最小值為．

【答案】【分析】取一點，以O為圓心，為半徑作圓，與交于點F，連接，首先利用四點共圓證明，再利用相似三角形的性質(zhì)證明，推出，根據(jù)，利用兩點之間的距離公式，即可求出的最小值，即可得．【詳解】解：如圖所示，取一點，以O為圓心，為半徑作圓，與交于點F，連接，

∵、，，∴，，以O為圓心，為半徑作，在優(yōu)弧上取一點Q，連接，∵，，∴，∴A，P，B，Q四點共圓，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，過點F作于點G，∵，，∴∴點F的坐標為，∵，∴∵，即,∴的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了四點共圓，相似三角形，勾股定理，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．題型十、相切最大1．如圖，直線與以線段為直徑的圓相切于點，，，點是直線上一個動點．當?shù)亩葦?shù)最大時，線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題解析：連接BC，∵直線l與以線段AB為直徑的圓相切于點C，∴∠ACB=90°，當∠APB的度數(shù)最大時，則P和C重合，∴∠APB=90°，∵AB=6，AC=3，由勾股定理得：BP=BC=.故選D．2．如圖（4）所示，直線與線段為直徑的圓相切于點，并交的延長線于點，且，點在切線上移動，當?shù)亩葦?shù)最大時，則的度數(shù)為（

）A．° B．°C．° D．°【答案】B【詳解】解：連接BD，∵直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點D，∴∠ADB=90°，當∠APB的度數(shù)最大時，則P和D重合，∴∠APB=90°，∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=，∴∠ABP=30°，∴當∠APB的度數(shù)最大時，∠ABP的度數(shù)為30°．故選B．3．如圖,AB是⊙O的直徑,AB=2，CD與⊙O相切于點D，，點E在切線CD上,則當∠AEB最大時,AE=．【答案】30°．【詳解】試題解析：解：連接BD，AP，∵直線CD與以線段AB為直徑的圓相切于點D，∴∠ADB=90°，當∠APB的度數(shù)最大時，則P和D重合，∴∠APB=90°，∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBA=，∴∠ABP=30°，∴當∠APB的度數(shù)最大時，∠ABP的度數(shù)為30°．考點：切線的性質(zhì)．4．如圖，半徑為1的與直線相切于點A，點是上的一個動點，作于點，則的最大值是．【答案】/【分析】在的延長線上取一點，使，則．當與相切于點時，取得最大值，此時連接并延長交延長線于點，則．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：由圓的對稱性不妨設點是左半圓上的動點．如圖，在的延長線上取一點，使，則．當與相切于點時，取得最大值，此時連接并延長交延長線于點，則．，，，，∴為等腰直角三角形，∴，，連接，則．∴為等腰直角三角形，∴，，，的最大值為．【點睛】本題屬于線段和的最值問題，主要考查了切線的性質(zhì)、勾股定理等，能正確作出輔助線，將所求最大值轉(zhuǎn)化為求的長的最大值是解題的關(guān)鍵．題型十一、其它最值1．如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，BC＝6﹣2，點P是BC上一動點，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，在點P的運動過程中，線段DE的最小值為（）A．3﹣3 B． C．4﹣6 D．2【答案】B【分析】根據(jù)PD⊥AC，PE⊥AB可以確定A，D，P，E四點共圓，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定∠BAC=60°，進而確定當AP⊥BC時，線段DE取得最小值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理的推論確定∠ADE=45°，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)可＝，設AE=2x，根據(jù)等角對等邊和勾股定理表示出AB和AP，根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半，圓周角定理和勾股定理表示出AD，最后代入比例式中計算即可．【詳解】解：如下圖所示，以AP為直徑作，連接OD，過D作DM⊥AP于M．∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，∴∠ADP＝90°，∠AEP＝90°．∴∠ADP+∠AEP＝180°．∴A、D、P、E四點共圓，且直徑為AP．∵∠ABC＝45°，∠BCA＝75°，∴∠BAC＝60°．∴DE是中60°圓周角所對的弦．∴當直徑最小時，DE取得最小值．∴當AP⊥BC時，DE取得最小值．∵∠ABC＝45°，∴∠BAP=45°．∴∠APE=45°，∠ABC=∠BAP．∴∠BAP=∠APE，AP=BP．∴AE=PE．∵∠ADE和∠APE都是所對的圓周角，∴∠ADE＝∠APE＝45°．∴∠ADE＝∠ABC＝45°．

∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB．∴＝．設AE＝2x，則PE＝2x．∴．∴OA＝OD＝x，．∴．∵∠BAC=60°，∠BAP=45°，∴∠DAP＝∠BAC﹣∠BAP＝1