人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊142平方差公式教學(xué)設(shè)計(jì)

平方差公式教學(xué)設(shè)計(jì)

［教學(xué)設(shè)計(jì)思想］

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是本著以人為本的教育思想，開展課堂教育活動(dòng)。充分利

用學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，通過合作探究，將數(shù)學(xué)困惑化解于無形。

在探究問題的過程中，使學(xué)生體會(huì)到交流與合作的重要性。將知識(shí)的建構(gòu)權(quán)還給

孩子，讓孩子們在和諧愉悅的課堂氛圍中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

［教學(xué)設(shè)計(jì)思路］

本節(jié)課的整個(gè)教學(xué)程序是這樣的：首先，學(xué)生通過復(fù)習(xí)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)平方差公

式的計(jì)算規(guī)律，進(jìn)而產(chǎn)生應(yīng)用的愿望。通過對規(guī)律驗(yàn)證過程的體驗(yàn)，使學(xué)生進(jìn)一

步的認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又應(yīng)用于實(shí)踐的

道理。在公式的應(yīng)用過程中，學(xué)生們將遇到挑戰(zhàn)，轉(zhuǎn)化思想、整體化思想在這里

成為解題的關(guān)鍵。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生開始嘗試對研究的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，開展

自主探究。同時(shí)，教師適當(dāng)介入，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是把握知

識(shí)的本質(zhì)一一公式的結(jié)構(gòu)。在練習(xí)中采取分層測試的方式，使得不同的學(xué)生都有

所收獲，有效的維護(hù)學(xué)生的求知欲與自信心?？傊?，整個(gè)教學(xué)過程圍繞著“實(shí)

踐中觀察、發(fā)現(xiàn)一一產(chǎn)生猜想一一驗(yàn)證猜想一一獲得新知一一實(shí)踐應(yīng)用”這一過

程展開的。

一、教材分析體課在教材中的地位、作用和意義上

乘法公式實(shí)際是兩個(gè)特殊的多項(xiàng)式相乘及其所得的結(jié)果，由于在數(shù)學(xué)運(yùn)算中

經(jīng)常用到，就把它們作為公式?！镀椒讲罟健肥窃趯W(xué)生已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法

之后，自然過渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法，體現(xiàn)教材從一般到特殊的意圖,

是從一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律的典型范例.教材為學(xué)生在教學(xué)活動(dòng)中獲得數(shù)學(xué)的思

想方法、能力、素質(zhì)提供了良好的契機(jī)，對它的學(xué)習(xí)和研究，不僅給出了特殊的

多項(xiàng)式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分

母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的

學(xué)習(xí)提供了方法。因此，平方差公式在教材中有承上啟下的作用，它對培養(yǎng)學(xué)生

符號(hào)感和抽象概括能力有著重要的作用，同時(shí)，在利用公式過程中，所反映出的

轉(zhuǎn)化思想、整體化思想以及應(yīng)用意識(shí)，都將對學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響，對提高

學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著積極的作用。

因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中也具有很重要地位，是初中階段的第

一個(gè)公式，也是最基本、用途最廣泛的公式之一，可以說，它是構(gòu)建學(xué)生代數(shù)知

識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生化歸、換元、整體的數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，讓學(xué)生感受數(shù)

學(xué)的再創(chuàng)造性。是構(gòu)建學(xué)生有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識(shí)體系并形成相應(yīng)技能的重要內(nèi)容。

二、學(xué)情分析:

1.學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的有關(guān)內(nèi)

容，并經(jīng)歷了用字母表示數(shù)量關(guān)系的過程，有了一定的符號(hào)感.經(jīng)過一個(gè)學(xué)期的

培養(yǎng)，學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作、交流的能力.學(xué)生剛學(xué)過多項(xiàng)式的乘法，已具

備學(xué)習(xí)并運(yùn)用平方差公式的知識(shí)結(jié)構(gòu)，通過創(chuàng)造問題情境，讓學(xué)生承擔(dān)任務(wù)，在

探究相應(yīng)問題中，建立并運(yùn)用公式，從而使拓展學(xué)生知識(shí)技能結(jié)構(gòu)成為可能.通

過實(shí)際問題的探究，學(xué)生已感受到多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的重要性，同時(shí)，具備了對式

的運(yùn)算基礎(chǔ)“快”“準(zhǔn)”的積極心理，學(xué)生已具備學(xué)習(xí)公式的知識(shí)與技能結(jié)構(gòu)，

通過新課程教學(xué)的實(shí)施，培養(yǎng)學(xué)生具有獨(dú)立探索、合作交流的習(xí)慣.

2.學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生已熟練掌握了幕的運(yùn)算和整式乘法，但在進(jìn)行多項(xiàng)

式乘法運(yùn)算時(shí)，常常會(huì)弄錯(cuò)某些項(xiàng)的符號(hào)及漏項(xiàng)等問題，學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的

困難在于對公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義學(xué)生的理解，當(dāng)公式中a、

b是式時(shí)，要把它括號(hào)再平方。因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，

并運(yùn)用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對公式的理解.本節(jié)課關(guān)注學(xué)

生對公式的探索過程，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，讓學(xué)生經(jīng)歷“引入f形式

一理解一應(yīng)用一深化公式”的知識(shí)發(fā)生過程，并有條理地表達(dá)自己的思想，培養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)感和符號(hào)感，真正理解公式的來源、本質(zhì)和應(yīng)用。

經(jīng)過一段時(shí)間的整式學(xué)習(xí)，學(xué)生們基本上掌握了多項(xiàng)式的乘法的方法，進(jìn)一

步學(xué)習(xí)它的特殊形式一一公式，是激發(fā)學(xué)生求知欲的良好時(shí)機(jī)。公式的出現(xiàn)，為

學(xué)生在繁瑣的運(yùn)算中辟出了一條新路。

三、教法與學(xué)法:

（-）教法分析

1、讓學(xué)生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方

差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問題.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)

生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中，對發(fā)生

的錯(cuò)誤做具體分析，加深學(xué)生對公式的理解。

2、采用啟發(fā)式、探索式教學(xué)方法,整個(gè)探究學(xué)習(xí)的過程充滿了師生之間、學(xué)

生之間的交流和互動(dòng)，體現(xiàn)了教師是教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者，而學(xué)生才是學(xué)

習(xí)的主體。以創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生的興趣；合作探究得出公式，領(lǐng)會(huì)公式的結(jié)構(gòu)特

征；多媒體演示及討論理解幾何意義，達(dá)到形象直觀化的視覺效果以突破難點(diǎn)，

發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.同時(shí)，讓學(xué)生在公式的

運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)成功的喜悅。

（二）學(xué)法分析

在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析多項(xiàng)式乘法及其結(jié)果的基礎(chǔ)上，逐步完成平

方差公式的符號(hào)語言、文字語言和圖形語言的互化，領(lǐng)會(huì)一般到特殊的研究數(shù)學(xué)

問題的方法，最終能正確運(yùn)用公式，從而落實(shí)重點(diǎn)。學(xué)生積極參與、大膽猜想、

自主探索和合作交流。

平方差公式教學(xué)設(shè)計(jì)

【課題】14.2.1平方差公式

【教材】人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊

【課時(shí)安排】2個(gè)課時(shí).

【教學(xué)對象】八年級(jí)（上）學(xué)生.

【授課教師】湖北省赤壁市車站學(xué)校李道生

一、教學(xué)目標(biāo)

1、經(jīng)歷平方差公式的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感和推理能力、歸納能

力；在計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能用符號(hào)表達(dá)，

體驗(yàn)符號(hào)運(yùn)算對證明猜想的作用，享受數(shù)學(xué)符號(hào)表示運(yùn)算規(guī)律的簡捷美，從而體

會(huì)數(shù)學(xué)語言的簡潔美，培養(yǎng)他們的合情推理和歸納的能力以及在解決問題過程中

與他人合作交流的重要性.同時(shí)，讓學(xué)生在公式的運(yùn)用中積累解題的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)

成功的喜悅.培養(yǎng)學(xué)生的建模思想和抽象思維能力，感受換元和化歸的思想。

2、理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征與本質(zhì)特征--形變質(zhì)不變，即“結(jié)構(gòu)特征

的不變性，字母形式的可變性”；掌握平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2,達(dá)到正

用公式的水平，形成正向產(chǎn)生式：

“（□+△）（□-△）”一“口2一a.

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛

含義，并在練習(xí)中，對發(fā)生的錯(cuò)誤做具體分析，加深學(xué)生對公式的理解.通過練

習(xí)滲透數(shù)學(xué)中的“整體思想”與“配湊思想”，提高同學(xué)們解決問題的能力。

3、在拼圖游戲中對平方差公式有一個(gè)直觀的幾何解釋，會(huì)用幾何圖形說明

公式的意義，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際，高于實(shí)際，運(yùn)用于

實(shí)際的科學(xué)價(jià)值與文化價(jià)值。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：經(jīng)歷探索并歸納平方差公式的過程，理解公式的本質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征，能

用自己的語言說明公式及其特點(diǎn)，靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算。

難點(diǎn)：1.利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋平方差公式，從實(shí)際中抽象出字

母符號(hào)式子的符號(hào)化的過程，發(fā)展觀察、歸納、概括等能力。

2.平方差公式的本質(zhì)：形變質(zhì)不變，即“結(jié)構(gòu)特征的不變性，字母形式的可變

性”（強(qiáng)調(diào)平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)特征的不變性，字母形式的可變性；指出學(xué)習(xí)此公式

的用途；通過問題進(jìn)一步化解，結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性'這一難點(diǎn)，并為下一節(jié)內(nèi)容的

學(xué)習(xí)埋下伏筆）

3.理解公式中字母的廣泛含義

（預(yù)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)上的困難：（1）對于平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b\引入

是為了簡化多項(xiàng)式乘法，沒有這種認(rèn)識(shí)之前，學(xué)生對左右兩邊都是多項(xiàng)式的“公

式”還不認(rèn)可，這會(huì)增加教學(xué)的困難.（2）數(shù)學(xué)公式都有其產(chǎn)生的背景、引入的

目的、形成的過程和自身的結(jié)構(gòu)特征，這些教材上是無法一一闡述的.我們教學(xué)

時(shí)往往不去刻意創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情景，營造公式產(chǎn)生的氛圍，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷公式的探索

過程，而是照本宣科，生搬硬套，過于直接的教學(xué)不利于化解難點(diǎn).（3）數(shù)學(xué)公

式中字母的高度概括性、廣泛應(yīng)用性及換元思想的滲透，對八年級(jí)學(xué)生的思維水

平還難適應(yīng)，（a+b）（a-b）=a2-b2；（l+2x）（l-2x）=l-4x2；（-4a-l）（4a-l）

=1-I6a2都是用平方差公式，102X98也能用平方差公式，使得習(xí)慣于機(jī)械模仿

和解題程序化的學(xué)生思維受阻，造成困難.

基于以上情況，我們把教學(xué)難點(diǎn)定為：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法解釋

平方差公式，從實(shí)際中抽象出字母符號(hào)式子的符號(hào)化的過程，發(fā)展觀察、歸納、

概括等能力）

關(guān)鍵：對于平方差公式的推導(dǎo)，我們可以通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察、?總結(jié)、

猜想，然后得出結(jié)論來突破；抓住平方差公式的本質(zhì)特征，是正確應(yīng)用公式來計(jì)

算的關(guān)鍵.教學(xué)方法采用“情境——探究——猜想——?dú)w納——驗(yàn)證——

應(yīng)用——拓展”的教學(xué)方法，讓學(xué)生在觀察、猜想中總結(jié)出平方差.

三、教學(xué)過程

L創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入課題

（1）速算王比拼：智力搶答

1.21X192.103X97

3.26X244.55X455.32X28

大家都在筆算，但有人能一口清，快速心算出來，他是用什么方法心算的呢？

(通過“速算王的絕招”這一故事的情境創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)激發(fā)

了學(xué)生的好奇心和求知欲，順利引入新課)

2.探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)

問題1：這一組算式有什么共同特征，你能用統(tǒng)一的形式表示嗎？

【生】這里的兩個(gè)數(shù)相加都是整十或整百的數(shù)(21+19=40；103+97=200；26+24

=50.....)，都可以表示成兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差的形式：(20+1)(20-1)；(100+3)

(100-3)；(25+1)(25-1)；(50+5)(50-5)；(30+2)(30-2)

問題2：如果我們用字母表示這兩個(gè)數(shù)，比如用字母a,b分別表示這兩個(gè)數(shù)，

那么以上各個(gè)算式，可以用字母表示成什么形式？

【生】(a+b)(a-b)

【師】這是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的形式，利用多項(xiàng)式乘法法則，大家計(jì)算一下，結(jié)

果是什么形式？

【生】(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2

【師】根據(jù)上面用字母a,b表示的算式的一般形式右邊的結(jié)果，大家再回過頭

來，計(jì)算上面的智力搶答題：

1.21X19=(20+1)(20-1)=20-12=399；2.103X97=(100+3)(100-3)

=1002-32=9991；3.26X24=(25+1)(25-1)=252-12=624；4.55X45(=50+5)

(50-5)=50-52=2475；5.32X28=(30+2)(30-2)=302-22=896

3.數(shù)形結(jié)合，幾何說理

問題3：在邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，然后把剩余的兩個(gè)長方形拼

成一個(gè)長方形，你能用這兩個(gè)圖形的面積說明(a+b)(a-b)=14?的正確性嗎？

如圖：在邊長為a的大正方形的一角剪去一個(gè)邊長為b的小正方形。

(1)圖中的陰影部分(即余下部分)的面積是

［生］剪去一個(gè)邊長為8的小正方形，余下圖形的面積，即陰影部分的面積

為3—陰.

(2)你能否將陰影部分拼成一個(gè)完整的長方形圖案嗎？

［生］把剩下的圖形（即上圖陰影部分）先剪成兩個(gè)長方形（沿上圖虛線剪

開），我們可以注意到，上面的大長方形寬是（a—力，長是a;下面的小長方形長

是（a—6）,寬是b.我們可以將兩個(gè)長方形拼成一個(gè)更大長方形，是由于大長方形

的寬和小長方形的長都是（a—8）,我們可以將這兩個(gè)邊重合，這樣就拼成了一個(gè)

如圖1一24所示的圖形（陰影部分），它的長和寬分別為（a+6）,（a—6）,面積為

（a+b）（a—b）.

（3）比較上面兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

［生］割補(bǔ)不改變圖形面積的大小，這兩部分面積應(yīng)該是相等的，即

（先■垃（a—吩=^—

4.觀察思考，發(fā)現(xiàn)新知

問題4：觀察等式（廣力（a-6）=a2—斤的形式，你看到了什么？

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察，可介紹觀察的方法：有序觀察，局部觀察（把握細(xì)節(jié)）,

整體觀察（抓住關(guān)鍵），如從左到右的順序，觀察漢字“明”，可看到日與月，它

們組成漢字“明”

［生］（1）看到等式出現(xiàn)兩數(shù)和，兩數(shù)差，兩個(gè)數(shù)的平方差，兩數(shù)和乘以兩

數(shù)差，及它們之間的相等關(guān)系，等式的左右兩邊都是圍繞著兩個(gè)數(shù)展開運(yùn)算的。

2222

（2）看到計(jì)算結(jié)果簡單（四項(xiàng)差變成兩項(xiàng)：（a+b）（a-b）=azab+ab-b=a-b）0

（3）看到等式兩邊都有整齊對稱的特點(diǎn)：（a+b）|（a-b）=a21-b2

問題5：看到等式以上特點(diǎn)，你有什么感覺與想法？

［生］（1）有一種“二”的感覺（這里是指成雙成對的意思，采取詼諧的說

法，感覺更強(qiáng)烈）；有一種“萬變不離其宗”的感覺；有一種“生成”的感覺（對

同一現(xiàn)象，不同人的感覺有時(shí)是不同的，不一定都準(zhǔn)確，但產(chǎn)生感覺是非常重要

的，盡管感覺有時(shí)說不清道不明）；有一種“好事成雙”的感覺；有一種“陰陽

合一”的感覺；有一種“并駕齊驅(qū)”的感覺。

（2）有一種“簡單”的感覺。

（3）有一種“對稱美”的感覺。

［師］跟著感覺走，有感覺就會(huì)有興趣，就會(huì)思考其中的奧秘?？茖W(xué)上的許

多重要發(fā)現(xiàn)，就是科學(xué)家對觀察到的現(xiàn)象產(chǎn)生強(qiáng)烈感覺而去研究發(fā)現(xiàn)的。從感性

到理性，才是科學(xué)的態(tài)度。

觀察以上等式整齊對稱的特點(diǎn)，特別是運(yùn)算結(jié)果的簡單性，感覺以上形式的

多項(xiàng)式乘法，值得我們探索研究，總結(jié)規(guī)律。

5.剖析公式，總結(jié)規(guī)律

［師］上面，我們看到等式(外力)(〃-6)=&2—62整齊對稱，結(jié)果(平方差)

簡單易記的特點(diǎn).因此，如果我們把具有以上特殊形式的等式作為公式，熟記入

心，那么以后見到類似特殊形式的多項(xiàng)式相乘，就可以直接運(yùn)用公式寫出結(jié)果，

不需要運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則“項(xiàng)項(xiàng)相乘”這一復(fù)雜過程了，這就是我們研究以上

特殊關(guān)系的多項(xiàng)式乘法的價(jià)值所在。

上面，我們己經(jīng)看到等式(a+5)(&一力)=才一力2的特點(diǎn)及作為公式使用的原

因，為了更好的運(yùn)用此公式簡化多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，我們必須剖析公式，總結(jié)規(guī)

律。

(1)取名：在總結(jié)規(guī)律之前，先給它取個(gè)名稱，以便稱呼它，根據(jù)公式右邊

的特點(diǎn)，我們給它取名“平方差公式”。

(界6)(a—6)=才一〃

(2)你能用文字語言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

［生］兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

(a+b)(a—b)=a2-b2

(提供充分的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語言表述公式，教師巡回引導(dǎo)，并集

思廣益。從而提高學(xué)生觀察歸納、語言表達(dá)、合作交流等能力，平方差公式浮出

水面，培養(yǎng)了學(xué)生的文字語言、符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化能力，推理能力)

質(zhì)疑：根據(jù)上面的文字語言，我們還可寫出下面的式子，(a+b)(a-b)=b2-a2,

b2-￡也是這兩個(gè)數(shù)a,b的平方差，如此看來書上的文字語言有不嚴(yán)密之嫌。

敢于懷疑，向權(quán)威挑戰(zhàn)，才能有所發(fā)現(xiàn)有所創(chuàng)造。

［師］我們怎樣理解文字語言，才不會(huì)產(chǎn)生歧義呢？

自圓其說：兩個(gè)“這”，前一個(gè)“這”是指(a-b),不是(b-a),說明“這”

暗含有“順序”的意思，由前面兩個(gè)數(shù)排列順序，(一)a+b,(-)a-b,可

知，后面“這”兩個(gè)數(shù)的平方差就是(一)a2-b2To(注意這里只是自圓其說，

嚴(yán)格說來，課本上的文字語言是有漏洞的，文字語言的準(zhǔn)確性應(yīng)脫離外在形式獨(dú)

立存在的)

［師］我們再看一下平方差公式的變式：(b+a)(a-b)=a2-b)可見：平方差的

順序是按兩數(shù)差的順序排列的,不是按兩數(shù)和順序排列的。

怎樣表述平方差公式，才準(zhǔn)確無誤，不會(huì)產(chǎn)生歧義呢？

［生］兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于前面被減數(shù)與減數(shù)的平方差

6.牢記結(jié)構(gòu)，套用公式

由前面的分析可看出，運(yùn)用公式，關(guān)鍵是找出兩個(gè)數(shù)a,b。注意先后順序(a

是被減數(shù)，b是減數(shù))，為此，首先看公式是否是標(biāo)準(zhǔn)形式，不是標(biāo)準(zhǔn)形式要化

為標(biāo)準(zhǔn)形式，再找出兩數(shù)a,b.

例1:運(yùn)用平方差公式計(jì)算：

(1)(3x+2)(3x-2);

⑵(b+2a)(2a-b);

(3)(-x+2y)(-x-2y).

分析：用公式的關(guān)鍵是找出兩個(gè)數(shù)a與b,化為標(biāo)準(zhǔn)形式，是準(zhǔn)確尋找a,b

兩個(gè)數(shù)的前提。

解：⑴(3x+2)(3x-2)

=(3X)2-22

=叱-4

(2)(b+2a)(2a-b)

=(2a+b)(2a-b)

=(2a)2-b2

=4a2-b2

(3)(—x+2y)(—x—2y)

=(-x)L(2y)2

=x2-4y'

例2計(jì)算：

(1)102X98;

⑵(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5);

解：⑴102x98

=(10()+2)(10()-2)

-1002-22

=1000()-4

=9996

(2)(y+2)(y-2)-(yT)(y+5)

222

=y-2_(y+”_5)

22

=y-4-y-4y+5

=-4y+l

例2讓學(xué)生明白用平方差公式計(jì)算數(shù)字問題的簡潔性和符合公式特征的才

能用公式簡化運(yùn)算，其余的仍然按乘法法則進(jìn)行。準(zhǔn)確運(yùn)用公式的重點(diǎn)得以實(shí)現(xiàn)。

7.平方差公式的再認(rèn)識(shí)

(1)從算術(shù)的角度認(rèn)識(shí)平方差公式

從平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式U+力)(&-6)=才一4及文字語言“兩個(gè)數(shù)的和與

這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差”，我們知道，平方差公式由三部分

組成：“(卅》兩個(gè)數(shù)的和，(a-力)兩個(gè)數(shù)的差，a2-4兩個(gè)數(shù)的平方差”，文字

語言里出現(xiàn)的“和”與“差”，指的是算術(shù)運(yùn)算(加法或減法運(yùn)算)的結(jié)果，顯

然，這是從小學(xué)算術(shù)的角度認(rèn)識(shí)平方差公式的(前面我們看到的及總結(jié)的規(guī)律都

是從算術(shù)角度理解的)

(2)從代數(shù)的角度認(rèn)識(shí)平方差公式

進(jìn)入初中，我們知道，加法與減法可統(tǒng)一成加法，每一個(gè)數(shù)都包括前面的符

號(hào),(a+b)可看成a與b的和，(a~b)可看成a與-b的和，即把(a+b)與(a-b)

看成兩個(gè)二項(xiàng)式。于是“兩數(shù)和X兩數(shù)差”，可看作“兩個(gè)二項(xiàng)式相乘”

這樣，從代數(shù)的角度看待平方差公式，我們可以看到平方差公式具有兩大的特征:

①結(jié)構(gòu)特征：

(a)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘；在兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同(a與a),

另一項(xiàng)互為相反數(shù)(b與-b)；.(判斷依據(jù))

(b)右邊為相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方(l-b》。(計(jì)算依據(jù))

②本質(zhì)特征：

結(jié)構(gòu)特征的不變性，字母形式的可變性(公式中的a,b可以表示數(shù)，也可

表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)

(通過觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡潔性并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握

公式.在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了

概念的核心，能突破公式字面意義的局限性，建立起較高層次的有意義條件反射,

而不是機(jī)械的記憶公式，使學(xué)生在公式的運(yùn)用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效

果)

平方差公式的特征形式：

相同項(xiàng)_相同項(xiàng)2.相反項(xiàng)2

(a+b)(a5)=a^b2

相反項(xiàng)

(3)揭示本質(zhì)，活用公式

練習(xí)：下列各式都能用平方差公式嗎？

(1)(2b+a)(a-2b)()

(2)(m-n)(-m-n)()

(3)(x+y)(-x-y)()

(4)(3b+2a)(2a-3b)()

能否用平方差公式，你有什么更快更好的判斷方法嗎?

判斷依據(jù)一一兩個(gè)二項(xiàng)式中：兩項(xiàng)相等，兩項(xiàng)互為相反數(shù)，牢牢抓住平方差

公式的結(jié)構(gòu)特征，則可快速判斷兩個(gè)二項(xiàng)式相乘能否運(yùn)用平方差公式。這組練習(xí)

主要是要考察學(xué)生有沒有掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征。

想一想，判斷下列計(jì)算對不對，如果不對應(yīng)怎樣改正？

(1)>(x+6)(x-6)=x2-6

(2)、(2a2+b2)(2a2-b2)=2a4-b'

(3)、(-5a-2b)(5a-2b)=(5a)-(2b)2=25a2-4b2

(4)、(l+3x)(-1-3x)=1-(3X)2=1-9X2

對左邊能否用平方差公式，可以根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷，右邊

平方差這個(gè)結(jié)果，誰作被減數(shù),誰作減數(shù)，你還有什么辦法確定？

計(jì)算依據(jù)一一相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方，公式的結(jié)構(gòu)特征被

突破，是運(yùn)用平方差公式的重點(diǎn)所在。

通過做題學(xué)生歸納出平方差公式的運(yùn)用技巧：

①兩個(gè)括號(hào)內(nèi)其中一組相同字母的符號(hào)相同，另一組相同字母的符號(hào)相反才能運(yùn)用平方

差公式；

②運(yùn)用平方差公式的結(jié)果等于符號(hào)相同的字母的平方減去符號(hào)相反的字母平方.

(這組練習(xí)主要是要考察學(xué)生有沒有掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)，尋找相同的a與a,相反

的b與-b,學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流，進(jìn)一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運(yùn)用平方

差公式必須具備的條件，鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會(huì)字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，

加深對字母含義廣泛性的理解)

(4)深化認(rèn)識(shí)，變用公式：

計(jì)算：

(l)(3x+l)(9x2+l)(3x-l)；

(2)(2x—y)(y+2x)-4(y—x)(—x—y)；

(3)20162-2015X2017.

(5)拓展應(yīng)用，強(qiáng)化思維

表面上看，平方差公式僅適用于兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的情況，實(shí)際上，對兩個(gè)三項(xiàng)式(或四

項(xiàng)式……)相乘的情況，可按相同項(xiàng)、相反項(xiàng)分組添括號(hào)的方法，轉(zhuǎn)化為平方差公式的特征

形式進(jìn)行計(jì)算。如

(―y+x—z)VATZ,—yy=[(x—y)—z][(x—y)+z]=(x—y)2—z2=,,

反

實(shí)際上,我們可省去中間一步“[(X—y)—z][(x—y)+z]”，直接由：同？=(x

—y)2,反2=Z2,寫出結(jié)果“同2—反2=(x—y)2—z2

同

(X—y+6)(―x—y—2)=(x—yi-2+4)—x—y+2—4)=(—y+2)2—(x+4)2

反|

'反,

這里巧在將6寫成2+4,將一2寫成2—4。

計(jì)算3(2?+1)(2"+1)

解：原式=(2+1)(2?+1)(2'+1)=(2—1)(2+1)(241)(2'+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)=(2'-1)(2'+1)

=28-1

本題巧在數(shù)的變形，3=2+1,1=2-1,并注意到一同任何數(shù)相乘都得原數(shù)。

采用達(dá)成訓(xùn)練、變式訓(xùn)練、延伸訓(xùn)練等方式進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，即可舉一反三、

融會(huì)貫通。

可見，從平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式及各種變式中抽象出反映公式本質(zhì)特征的應(yīng)

用模式，不為外在形式所迷惑，才能以不變應(yīng)萬變，走向公式應(yīng)用的自由王國。

(教學(xué)效果表明，采用“淡化標(biāo)準(zhǔn)形式，注重公式實(shí)質(zhì)”設(shè)計(jì)教學(xué)程序，可

一步到位，不留任何后遺癥。

總之，按照“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的觀點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)程序，將大大改變教學(xué)

現(xiàn)狀，極大地提供課堂教學(xué)效益)

8.歸納反思，概括小結(jié)

1、本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

2、平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式與特征形式是什么？

3、如何運(yùn)用平方差公式？應(yīng)用平方差公式時(shí)要注意什么？

①平方差公式的標(biāo)準(zhǔn)形式

(a+b)(a-b)=a2-b2

(算術(shù)形式)

兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于這兩數(shù)的平方差。