黑龍江省哈爾濱市賓縣第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

黑龍江省哈爾濱市賓縣第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)是冪函數(shù)且是上的增函數(shù)，則的值為A.2

B.－1

C.－1或2

D.0參考答案：B因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，即，解得或.因?yàn)閮绾瘮?shù)在，所以，即，所以.選B.2.下列不等式一定成立的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】不等式比較大?。?/p>

E1【答案解析】C

解析：A選項(xiàng)不成立，當(dāng)x=時，不等式兩邊相等；B選項(xiàng)不成立，這是因?yàn)檎抑悼梢允秦?fù)的，故不一定能得出sinx+≥2；C選項(xiàng)是正確的，這是因?yàn)閤2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0，D選項(xiàng)不正確，令x=0，則不等式左右兩邊都為1，不等式不成立綜上，C選項(xiàng)是正確的.故選C【思路點(diǎn)撥】由題意，可對四個選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，其中C選項(xiàng)用配方法驗(yàn)證，A，B，D三個選項(xiàng)代入特殊值排除即可.3.已知a∈R，b∈R，若兩集合相等，即＝{a2，a＋b,0}，則a2014＋b2014＝(

)

A.1

B.-1

C.0

D.2參考答案：【知識點(diǎn)】集合的相等.A1【答案解析】A解析：解：由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2014＋b2014＝(－1)2014＝1.故選A【思路點(diǎn)撥】由題意，a≠0，則b=0，代入化簡求出a，可求a2014+b20144.命題“，”的否定是（

）參考答案：D略5.函數(shù)的定義域是A.

B.

C.D.參考答案：D6.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為S1，圓面中剩余部分的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為(

)A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)扇形與圓面積公式，可知面積比即為圓心角之比，再根據(jù)圓心角和的關(guān)系，求解出扇形的圓心角.【詳解】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得【點(diǎn)睛】本題考查圓與扇形的面積計算，難度較易.扇形的面積公式：，其中是扇形圓心角的弧度數(shù)，是扇形的弧長.7.對于命題和命題，“為真命題”的必要不充分條件是（

）A．為假命題Ｂ．為假命題Ｃ．為真命題Ｄ．為真命題參考答案：C略8.下列命題中，錯誤的是A．在中，是的充要條件；B．在銳角中，不等式恒成立；C．在中，若，則必是等腰直角三角形；D．在中，若，，則必是等邊三角形．參考答案：【知識點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．A2C

解析：對于A．在△ABC中，若A＞B，則a＞b，即由正弦定理有sinA＞sinB，反之也成立，故A正確；對于B．在銳角△ABC中，A+B＞，則A＞﹣B，由y=sinx在（0，）上遞增，則sinA＞sin（﹣B）=cosB，故B正確；對于C．在中，，則,即,所以即或,所以是等腰或直角三角形,故C錯誤;對于D．在中，若，，所以,聯(lián)立解得:,,所以必是等邊三角形．【思路點(diǎn)撥】對選項(xiàng)依此判斷即可.9.“”是“點(diǎn)到直線的距離為3”的（

）A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：B由點(diǎn)到直線的距離為3等價于，解得或，所以“”是“點(diǎn)到直線的距離為3”的充分不必要條件，故選B．10.已知函數(shù)f（x）=+b+6，其中，a，b為常數(shù)，a＞1，b≠0，若f（lglog210）=8，則f（lglg2）的值為(

) A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4參考答案：B考點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：函數(shù)f（x）=+b+6，可得f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵函數(shù)f（x）=+b+6，∴f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，而lg（log210）+lg（lg2）==0，∴f（lglog210）+f（lglg2）=12，∴f（lglg2）=12﹣8=4．故選：B．點(diǎn)評：本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，則

。參考答案：5略12.設(shè)集合A(p,q)=,當(dāng)實(shí)數(shù)取遍的所有值時，所有集合A(p,q)的并集為

．

參考答案：13.在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，，其中____________.參考答案：因?yàn)镋和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，所以,又，所用,又,所以，即，所以，所以.14.已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點(diǎn)A，B，C，給出以下判斷：①△ABC一定是鈍角三角形

②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形

④△ABC不可能是等腰三角形其中，正確的判斷是

.參考答案：①④15.設(shè)過曲線f（x）=﹣ex﹣x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線為l1，總存在過曲線g（x）=ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：[﹣1，2]考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；直線與圓．分析：求出函數(shù)f（x）=﹣ex﹣x的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求得∈（0，1），再求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)的范圍，然后把過曲線f（x）=﹣ex﹣x上任意一點(diǎn)的切線為l1，總存在過曲線g（x）=ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解．解答： 解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，∵ex+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使過曲線f（x）=﹣ex﹣x上任意一點(diǎn)的切線為l1，總存在過曲線g（x）=ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范圍為﹣1≤a≤2．故答案為：[﹣1，2]．點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上的某點(diǎn)的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，是中檔題．16.若一個底面邊長為，側(cè)棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個球面上，則此球的體積為

．參考答案：17.如果定義在R上的函數(shù)對任意兩個不等的實(shí)數(shù)都有，則稱函數(shù)為“函數(shù)”給出函數(shù)：，。以上函數(shù)為“函數(shù)”的序號為

參考答案：【知識點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．B9【答案解析】②解析：∵對于任意給定的不等實(shí)數(shù)x1，x2，不等式恒成立，

∴不等式等價為（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．①函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減．不滿足條件．

②，y′=3-2cosx+2sinx=3+2（sinx-cox）=3-2sin（x-）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．

③f（x）=，當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．

④，當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．故答案為：②【思路點(diǎn)撥】不等式等價為（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查。（I）求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目。（II）若從抽取的6所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，

（1）列出所有可能的抽取結(jié)果；（2）求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率。參考答案：、19.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（a為常數(shù)），曲線y=f（x）在與y軸的交點(diǎn)A處的切線斜率為﹣1．（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時，ex＞x2+1；（Ⅲ）證明：當(dāng)n∈N*時，．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)歸納法．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的f′（x）=ex﹣a．通過f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．（Ⅱ）求出f（x）的最小值，化簡f（x）≥1﹣ln4．構(gòu)造g（x）=ex﹣x2﹣1，通過g′（x）＞0．判斷g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到g（x）＞g（0），推出結(jié)果．（Ⅲ）首先證明：當(dāng)x＞0時，恒有．令，則h′（x）=ex﹣x2．推出h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣ax﹣1，得f′（x）=ex﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，所以a=2．所以f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2．由f'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2．所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知．所以f（x）≥1﹣ln4，即ex﹣2x﹣1≥1﹣ln4，ex﹣2x≥2﹣ln4＞0．令g（x）=ex﹣x2﹣1，則g'（x）=ex﹣2x＞0．所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）=ex﹣x2﹣1＞g（0）=0，即ex＞x2+1．…（8分）（Ⅲ）首先證明：當(dāng)x＞0時，恒有．證明如下：令，則h'（x）=ex﹣x2．由（Ⅱ）知，當(dāng)x＞0時，ex＞x2，所以h（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）＞h（0）=1＞0，所以．所以，即x+ln3＞3lnx．依次取，代入上式，則，，…．以上各式相加，有所以，所以，即．…（14分）另解：用數(shù)學(xué)歸納法證明（略）點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造法以及累加法的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．是難題．20.在銳角中，已知角A、B、C所對的邊分別為，且（1）若，求角A、B、C大??；（2）已知向量，求的取值范圍。參考答案：

解：（1）由已知得，故.…………（2分）又

從而

即.由得

可得.…………（4分）由

可解得.………（5分）（2）

…………（8分）由

得從而

故

即…………（12分）

21.（本小題滿分13分）已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的方程.參考答案：【知識點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案解析】（1）（2）解析：解：（1）顯然是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)由題意

又離心率

，故橢圓的方程為

………….…………4分（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為,方程為聯(lián)立直線與橢圓方程：，化簡得：設(shè)，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為令，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立）故當(dāng)即，時的面積最大從而直線的方程為

.………………13分【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)F（c，0），利用直線的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2-c2，即可解得a，b；

（2）設(shè)，由題意可設(shè)直線的方程為：．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出的面積．通過換元再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．22.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線，（Ⅰ）當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；（Ⅱ）若OA⊥OB，弦AB是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】（I）對直線l的斜率是否存在進(jìn)行討論，利用中垂線的性質(zhì)列方程組得出直線l的截距b的范圍，從而得出結(jié)論；（II）設(shè)AB方程為y=kx+b，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系