福建省漳州市鴻江中學高三數學理模擬試題含解析

福建省漳州市鴻江中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要條件是|x+1|＜b（a，b＞0），則a，b之間的關系是(

) A． B． C． D．參考答案：A考點：絕對值不等式；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：計算題．分析：化簡|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化簡|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由題意可得（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之間的關系．解答： 解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要條件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故選A．點評：本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．2.已知是等差數列，則該數列前10項和（

）A.100

B.64

C.110

D.120參考答案：A3.設函數f（x）在R上存在導函數f′（x），對任意的實數x都有f（x）=2x2﹣f（﹣x），當x∈（﹣∞，0）時，f′（x）+1＜2x．若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，則實數m的取值范圍是（）A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）參考答案：C【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】利用構造法設g（x）=f（x）﹣x2，推出g（x）為奇函數，判斷g（x）的單調性，然后推出不等式得到結果．【解答】解：∵f（x）=2x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，設g（x）=f（x）﹣x2，則g（x）+g（﹣x）=0，∴函數g（x）為奇函數．∵x∈（﹣∞，0）時，f′（x）+1＜2x，g′（x）=f′（x）﹣2x＜﹣1，故函數g（x）在（﹣∞，0）上是減函數，故函數g（x）在（0，+∞）上也是減函數，若f（m+2）≤f（﹣m）+4m+4，則f（m+2）﹣（m+2）2≤f（﹣m）﹣m2，即g（m+2）＜g（﹣m），∴m+2≥﹣m，解得：m≥﹣1，故選：C．4.使N展開式中含有常數項的的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C，令＝0，得，所以的最小值是55.已知＝（3，2），＝（－1，0），向量λ＋與－2垂直，則實數λ的值為

（A）

（B）－

（C）

（D）－

參考答案：D略6.若雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為（）

A、

B、5

C、

D、2參考答案：A略7.函數f（x）=的圖象可能是（）A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）參考答案：C【考點】3O：函數的圖象．【分析】分別令a=0，a＞0，a＜0，根據導數和函數的單調性即可判斷．【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正確；∴f′（x）=，當a＜0時，函數f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函數f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上單調遞減，故（3）正確；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，當f′（x）＞0，即x∈（﹣，）時，函數單調遞增，當f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）時，函數單調遞減，故（2）正確函數f（x）=的圖象可能是（2），（3），（4），故選：C8.曲線f（x）＝，g（x）＝－2x以及直線x＝1所圍成封閉圖形的面積為A．

B．1

C．

D．2參考答案：B略9.將函數y＝sin(6x＋)圖像上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，所得函數的一條對稱軸方程為A．

B.

C.

D.參考答案：A10.已知集合A={1,3,9,27}，B={y|y=log3x,x∈A}，則A∩B=

()A．{1,3}

B．{1,3,9}

C．{3,9,27}

D．{1,3,9,27}參考答案： A∵，，則，故應選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的定義域是________．參考答案：{x|－3<x<2}12.已知圓，過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，若為銳角，則的取值范圍是______．參考答案：試題分析：由于圓心到直線的距離,當時,,所以,即,注意到,故,即.考點：圓與直線的位置關系及運用．13.以下給出五個命題，其中真命題的序號為

①函數在區(qū)間上存在一個零點,則的取值范圍是或；②“菱形的對角線相等”的否定是“菱形的對角線不相等”；③；④若，則；⑤“”是“成等比數列”的充分不必要條件.參考答案：①③④略14.已知函數是偶函數，當時，；當時，記的最大值為，最小值為，則

.參考答案：答案：115.在區(qū)間[－1,1]上隨機取一個數，使直線與圓相交的概率為

．參考答案：16.已知集合，若，則實數的取值范圍是，其中=

。參考答案：4略17.函數f（x）=x2﹣2lnx的單調減區(qū)間是．參考答案：（0，1）【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】依題意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函數f（x）=x2﹣2lnx的單調減區(qū)間．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x﹣==，令f′（x）＜0由圖得：0＜x＜1．∴函數f（x）=x2﹣2lnx的單調減區(qū)間是（0，1）．故答案為（0，1）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.橢圓C：(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓C上，滿足，，．（1）求橢圓C的方程．（2）設過點D（0，2）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M、N，且N在D、M之間，設，求λ的取值范圍．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）由橢圓定義得，由，得c=2，由此能求出橢圓方程．（2）當直線L的斜率不存在時，直線L為x=0，DN=1，DM=3，；當直線L的斜率存在時，設直線L的方程為y=kx+2，代入，得（1+5k2）x2+20kx+15=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識，結合已知條件能求出λ的取值范圍．【解答】解：（1）∵橢圓的左右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓C上，滿足．∴，得，由得c=2，由c2=a2﹣b2得b=1，∴橢圓方程為．…（2）由題意可知：當直線L的斜率不存在時，直線L為x=0，DN=1，DM=3，；…當直線L的斜率存在時，設直線L的方程為y=kx+2，代入，得（1+5k2）x2+20kx+15=0，△=（20k）2﹣4×15（1+5k2）＞0，得k2＞，設M（x1，y1），N（x2，y2），則，…．由得（x2，y2﹣2）=λ（x1，y1﹣2）∴x2=λx1代入上式得再消去，得，∵，∴，∴，即，∴，解得，…又N在D，M之間，∴，…由上綜合可得．…19.（本小題滿分12分）已知等比數列的公比，前3項和.(1)求數列{an}的通項公式；(2)若函數＝在處取得最大值，且最大值為，求函數的解析式．參考答案：（1）方程的兩根為2,4，由題意得.設數列的公差為d，則，故，從而.所以的通項公式為（2）設的前n項和為，由（1）知則兩式相減得所以.20.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數f(x)=∣x-a∣，其中a>l.(I)當a=3時，求不等式，f(x)≥4-∣x-4∣的解集；(Ⅱ)若函數h(x)=f(2x+a)-2f(x))的圖象與x、y軸圍成的三角形面積大于a+4,求a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）當時，當時，由得，，解得；當時，，無解；當時，得，，解得．∴的解集為．…………5分（Ⅱ）記，則

所以

，解得.…………10分21.（本題滿分14分）如圖，曲線是以原點O為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以O為頂點、為焦點的拋物線的一部分，A是曲線和的交點且為鈍角，若，，（1）求曲線和的方程；（2）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.參考答案：解：（Ⅰ）設橢圓方程為，則，得

……………2分設，則，，兩式相減得，由拋物線定義可知，則或（舍去）所以橢圓方程為，拋物線方程為。

……………6分另解：過作垂直于軸的直線，即拋物線的準線，作垂直于該準線，作軸于，則由拋物線的定義得，所以，得，所以c＝1，所以橢圓方程為，拋物線方程為。

……………6分

…………8分…………10分…………12分

…………14分22.如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路l（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數的圖象，且點M到邊OA距離為t（0＜t＜2）．（I）當時，求直路l所在的直線方程；（Ⅱ）當t為何值時，地塊OABC在直路l不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？參考答案：解：（I）∵，∴y′=﹣x，∴過點M（）的切線的斜率為﹣t，所以，過點M的切線方程為，即．當t=時，切線l的方程為．即當時，直路l所在的直線方程為；（Ⅱ）由（I）