2019山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷 解析版

2019年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正

確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）

1.（4分）在實數(shù)|-3.14|,-3,-用，TT中，最小的數(shù)是（）

A.-V3B.-3C.|-3.14|D.it

2.（4分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.<764-tz3=a3B.a4,a2=a8C.(2a2)3=6a6D.c^+a2=a4

3.（4分）2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“嫦娥四號”探測器，“嫦

娥四號”進(jìn)入近地點(diǎn)約200公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)約42萬公里的地月轉(zhuǎn)移軌道，將數(shù)據(jù)42萬公

里用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4.2X109米B.4.2X108米C.42X1()7米D.4.2X1Q7米

是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

D.240°

6.（4分）某射擊運(yùn)動員在訓(xùn)練中射擊了10次，成績?nèi)鐖D所示:

下列結(jié)論不正確的是（）

A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8

C.平均數(shù)是8.2D.方差是1.2

f5x+4>2（x-l）,

7.（4分）不等式組<2x+53x-2、的解集是（）

~~~2

A.尤W2B.x2-2C.-2<xW2D.-2Wx<2

8.（4分）如圖，一艘船由A港沿北偏東65。方向航行30證切2至2港，然后再沿北偏西

400方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A,C兩港之間的距離為（）

km.

A.30+3073B.3O+1OA/3C.10+30加D.3073

9.（4分）如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，ZA=119°,過點(diǎn)C的圓的切線交BO于點(diǎn)

10.（4分）一個盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的五個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，

從中隨機(jī)摸出兩個小球，則摸出的小球標(biāo)號之和大于5的概率為（）

A.1B.2C.且D.A

5555

11.（4分）如圖，將。。沿弦AB折疊，品恰好經(jīng)過圓心O,若。。的半徑為3,則窟的

長為（）

A.—itB.itC.2nD.3TT

2

12.（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn)，尸為EC上一動點(diǎn)，P

為DF中點(diǎn),連接PB,則PB的最小值是（）

A.2B.4C.^2D.2亞

二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分）

13.（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程/-（24-1）%+必+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，

則實數(shù)k的取值范圍是.

14.（4分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，

白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思

是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量

相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不

計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重龍兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意可

列方程組為.

15.（4分）如圖，ZAOB=90°,ZB=30°,以點(diǎn)。為圓心，04為半徑作弧交AB于點(diǎn)

A、點(diǎn)C,交于點(diǎn)D,若04=3,則陰影都分的面積為.

16.（4分）若二次函數(shù)-5的對稱軸為直線尤=2,貝快于x的方程x2+6x-5=2r

-13的解為.

17.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=x+l與y軸交于點(diǎn)4，如圖所示，依次作正

方形。4181。，正方形CiA222c2,正方形C2A323c3,正方形C3A4&C4,……,點(diǎn)4,

人2，人3，人4,在直線/上，點(diǎn)Ci,C2,Q,C4,在尤軸正半軸上，則前"個正

18.（4分）如圖，矩形ABC。中，AB=3娓,BC=12,E為A。中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn),

將AAE尸沿EF折疊后，點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長是.

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演

步驟）

19.（8分）先化簡，再求值：（a-9+匹）+（a-1-4a-1）,其中a=&.

a+1a+1

20.（8分）為弘揚(yáng)泰山文化，某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生

的比賽成績，根據(jù)成績（成績都高于50分），繪制了如下的統(tǒng)計圖表（不完整）：

組別分?jǐn)?shù)人數(shù)

第1組90cxW1008

第2組80<rW90a

第3組70cxW8010

第4組60<x^70b

第5組50VxW603

請根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）求出a,b的值;

（2）計算扇形統(tǒng)計圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù);

（3）若該校共有1800名學(xué)生，那么成績高于80分的共有多少人?

\第2組\第1組/

21.（11分）已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)>=皿的圖象交于點(diǎn)A,與無軸交于

x

點(diǎn)、B（5,0）,若j=LSAOAB=—.

2

（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，AAB尸是等腰三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

VA\

c|

22.（11分）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習(xí)俗.某商場在端午節(jié)來臨之際

用3000元購進(jìn)A、B兩種粽子1100個，購買4種粽子與購買B種粽子的費(fèi)用相同.已

知A種粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍.

（1）求A、8兩種粽子的單價各是多少？

（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購進(jìn)42兩種粽子共2600個，已知A、2兩

種粽子的進(jìn)價不變.求A種粽子最多能購進(jìn)多少個？

23.（13分）在矩形ABC。中，于點(diǎn)￡,點(diǎn)P是邊AL（上一點(diǎn).

（1）若B尸平分交AE于點(diǎn)G,于點(diǎn)R如圖①，證明四邊形AG/T

是菱形；

（2）PE±EC,如圖②，求證：AE'AB^DE'AP；

（3）在（2）的條件下，若AB=1,BC=2,求4P的長.

24.(13分)若二次函數(shù)y=a?+bx+c的圖象與無軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3,0)、B(0,-

2),且過點(diǎn)C(2,-2).

(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)尸為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且S"BA=4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點(diǎn)M,使若存在，求出點(diǎn)M到

25.(14分)如圖，四邊形A2CD是正方形，△斯C是等腰直角三角形，點(diǎn)E在上，且

ZCEF=9Q°,FG±AD,垂足為點(diǎn)C.

(1)試判斷AG與FG是否相等？并給出證明;

(2)若點(diǎn)H為Cr的中點(diǎn)，GH與?！ù怪眴?？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理

由.

B

2019年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正

確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）

1.（4分）在實數(shù)|-3.14|,-3,-V3，IT中，最小的數(shù)是（）

A.-V3B.-3C.|-3.14|D.it

【分析】根據(jù)絕對值的大小進(jìn)行比較即可，兩負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反爾小.

【解答】解：

??,|^3I=V3<|-3|=3

（-3）

C、。項為正數(shù)，A、B項為負(fù)數(shù),

正數(shù)大于負(fù)數(shù)，

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查利用絕對值來比較實數(shù)的大小，此題要掌握性質(zhì)”兩負(fù)數(shù)比較大

小，絕對值大的反爾小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的絕對值為正數(shù)

2.（4分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.a64-tz3=a3B.a4'a2=a8C.（2a2）3=6a6D.a2+a2=a4

【分析】直接利用合并同類項法則以及積的乘方運(yùn)算法則、同底數(shù)累的乘除運(yùn)算法則分

別計算得出答案.

【解答】解：A、a6-^-a3=a3,故此選項正確；

B、a4,a2=a6,故此選項錯誤；

C、（2/）3=8/,故此選項錯誤；

D、a2+c^=2a2,故此選項錯誤；

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了合并同類項以及積的乘方運(yùn)算、同底數(shù)累的乘除運(yùn)算，正確掌

握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

3.（4分）2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“嫦娥四號”探測器，“嫦

娥四號”進(jìn)入近地點(diǎn)約200公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)約42萬公里的地月轉(zhuǎn)移軌道，將數(shù)據(jù)42萬公

里用科學(xué)記數(shù)法表示為()

A.4.2X1()9米B.4.2X108米c42X1()7米D.4.2Xl(f米

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值>1時，w是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時，w是負(fù)數(shù).

【解答】解：42萬公里=420000000〃2用科學(xué)記數(shù)法表示為：4.2X1()8米，

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式,

其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念分別確定出對稱軸的條數(shù)，從而得解.

【解答】解：①是軸對稱圖形且有兩條對稱軸，故本選項正確;

②是軸對稱圖形且有兩條對稱軸，故本選項正確；

③是軸對稱圖形且有4條對稱軸，故本選項錯誤；

④不是軸對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

折疊后可重合.

5.(4分)如圖，直線Zl=30°,則/2+/3=()

-~''

<2

3

A.150°B.180°C.210°D.240°

【分析】過點(diǎn)E作EP〃:11,利用平行線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：過點(diǎn)E作EE〃li，

Vh/712，EF//h，

：.EF//h//12,

：.Zl=ZAEF=3Q°,ZFEC+Z3=180°,

：.Z2+Z3=ZAEF+ZFEC+Z3=30°+180°=210°,

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

6.(4分)某射擊運(yùn)動員在訓(xùn)練中射擊了10次，成績?nèi)鐖D所示：

下列結(jié)論不正確的是()

A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8

C.平均數(shù)是8.2D.方差是1.2

【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差的算法進(jìn)行計算，即可得到不正確的選項.

【解答】解：由圖可得，數(shù)據(jù)8出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)為8,故A選項正確；

10次成績排序后為：6,7,7,8,8,8,9,9,10,10,所以中位數(shù)是工(8+8)=8,

2

故B選項正確；

平均數(shù)為」-(6+7X2+8X3+9X2+10X2)=8.2,故C選項正確；

10

方差為_L[(6-8.2)2+(7-8.2)2+(7-8.2)2+(8-8.2)2+(8-8.2)2+(8-8.2)

10

2+(9-8.2)2+(9-8.2)2+(10-8.2)2+(10-8.2)2]=1.56,故。選項錯誤;

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)以及方差，用“先平均，再求差，然后

平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個結(jié)果叫方差.

‘5x+4>2（x-l）,

7.（4分）不等式組<2X+53X-2、的解集是（）

2~

A.xW2B.x2-2C.-2<xW2D.-2W尤<2

【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解.

'5x+4>2（x-l）①

【解答】解：?2x+5_3x-2〉］②，

由①得，尤2-2,

由②得，x<2,

所以不等式組的解集是-2W尤<2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解.求

不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

8.（4分）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30&A"至8港，然后再沿北偏西

40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A,C兩港之間的距離為（）

km.

A.30+3073B.30+10V3C.10+30^3D.30M

【分析】根據(jù)題意得，ZCAB=65°-20°,ZACB=400+20°=60°,45=3072-

過B作BELAC于E,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)題意得，NCAB=65°-20°,ZACB=40°+20°=60°,AB=30&,

過8作BELAC于E,

；./AEB=NCEB=90°,

在RtZiABE中，VZABE=45°,AB=30后,

：.AE=BE=2L^AB=3Qkm,

2

在RtZXCBE中，VZACB=60°,

:.CE=?BE=lO-J^km,

3

.?.AC=AE+CE=30+10?,

AA,C兩港之間的距離為（30+10加）km,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，三角形的內(nèi)角和，是基礎(chǔ)知識

比較簡單.

9.（4分）如圖，△ABC是的內(nèi)接三角形，ZA=119°,過點(diǎn)C的圓的切線交80于點(diǎn)

A.32°B.31°C.29°D.61°

【分析】連接OC、CD,由切線的性質(zhì)得出/OCP=90°,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出

ZODC=180°-ZA=61°,由等腰三角形的性質(zhì)得出NOCZ）=NODC=61°,求出/

DOC=5S°,由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【解答】解：如圖所示：連接。C、CD,

是OO的切線，

：.PC±OC,

：.ZOCP=90°,

VZA=119°,

AZODC=180°-ZA=61°,

"：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC^61°,

AZDOC=180°-2X61°=58°,

ZP=90°-ZDOC=32°；

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角

和定理；熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（4分）一個盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的五個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，

從中隨機(jī)摸出兩個小球，則摸出的小球標(biāo)號之和大于5的概率為（）

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次摸出的

小球的標(biāo)號之和大于5的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：國樹狀圖如圖所示：

???共有25種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球的標(biāo)號之和大于5的有15種結(jié)果，

???兩次摸出的小球的標(biāo)號之和大于5的概率為至=上；

255

故選：C.

/7W./Av.

1234512345123451234512345

【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.注意列表法或畫樹狀圖法可以不

重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比.

11.（4分）如圖，將OO沿弦折疊，AB恰好經(jīng)過圓心O,若。。的半徑為3,則AB的

長為（)

【分析】連接OA、0B,作OC_LAB于C,根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OC=L（9A,根據(jù)

2

等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出/AOB,根據(jù)弧長公式計算即可.

【解答】解：連接OA、OB,作OCLAB于C,

由題意得，0c

2

：.ZOAC=30°,

?：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAC=3Q°,

ZA0B=120°,

；?窟的長=120兀＞3=2m

180

【點(diǎn)評】本題考查的是弧長的計算、直角三角形的性質(zhì)、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握弧長公

式是解題的關(guān)鍵.

12.（4分）如圖，矩形ABCD中，A3=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為EC上一動點(diǎn),P

為DF中點(diǎn)，連接PB,則PB的最小值是（）

A.2B.4C.^2D.2亞

【分析】根據(jù)中位線定理可得出點(diǎn)點(diǎn)尸的運(yùn)動軌跡是線段尸1P2,再根據(jù)垂線段最短可得

當(dāng)3PLP1P2時，尸B取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BPI，PP2,故

BP的最小值為BPi的長，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖：

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)尸在Pi處，CPi=DPi,

當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)E重合時，點(diǎn)尸在尸2處，EP2=DP2,

；.PIP2〃CE且PIP2=—CE

2

當(dāng)點(diǎn)尸在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時，有DP=FP

由中位線定理可知：尸1尸〃CE且尸1尸=工。尸

2

二點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是線段P\P2,

...當(dāng)BP±P1P2時，PB取得最小值

.矩形A8CD中，AB=4,AD=2,E為AB的中點(diǎn)，

:ACBE、AADE,ABCB為等腰直角三角形，CPi=2

AZADE=ZCDE=ZCP\B=45°,ZPEC=90°

/￡（尸2尸1=90°

Zr>PiP2=45°

：.ZP2PIB=90°,即BPiJ_尸1尸2,

...BP的最小值為BP的長

在等腰直角2CP1中，CPi=BC=2

:.BPi=2正

：.PB的最小值是2亞

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查軌跡問題、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用特殊位置解決

問題，有難度.

二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分）

13.（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程（2左-1）無+正+3=0有兩個不相等的實數(shù)根,

則實數(shù)上的取值范圍是％<工.

—4—

【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根可得4=（2k-1）2-4（后+3）>0,求出k

的取值范圍；

【解答】解：.??原方程有兩個不相等的實數(shù)根，

/.△=⑵-1）2-4（正+3）=-4K1-12>0,

解得《《工；

4

故答案為：女〈工.

4

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程中2+bx+c=0（aWO）的根與△=%2-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△=（｝時，方程有兩個相等的兩

個實數(shù)根；③當(dāng)△<（）時，方程無實數(shù)根.

14.（4分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，

白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思

是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量

相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不

計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意可

列方程組為_19x=ny

1（10y+x）-（8x+y）=lW

【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①9枚黃金的重量=11枚白銀的重量；②（10枚白銀

的重量+1枚黃金的重量）-（1枚白銀的重量+8枚黃金的重量）=13兩，根據(jù)等量關(guān)系

列出方程組即可.

【解答】解：設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重〉兩，由題意得：

px=lly

1（10y+x）-（8x+y）=13

故答案為：儼

1（10y+x）-（8x+y）=15

【點(diǎn)評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找

出題目中的等量關(guān)系.

15.（4分）如圖，ZAOB^90°,ZB=30°,以點(diǎn)。為圓心，0A為半徑作弧交A3于點(diǎn)

A、點(diǎn)C,交0B于點(diǎn)D,若04=3,則陰影都分的面積為lit.

一4一

【分析】連接0C,作于H,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出根據(jù)勾股定理求

出BD,證明△AOC為等邊三角形，得到NAOC=60°,ZCOB=30°,根據(jù)扇形面積

公式、三角形面積公式計算即可.

【解答】解：連接。C,作CHLOB于

VZAOB=9Q°,ZB=30°,

AZOAB=60°,AB=2OA=6,

由勾股定理得，JAB2_QA2=3V^,

*：OA=OCfZOAB=60°,

???△AOC為等邊三角形，

AZAOC=60°,

???NCO5=30°,

:?CO=CB,CH=LOC=三,

22

???陰影都分的面積-6°兀x-1X3X3X2Z2+JLX3A/3X--30兀X§2=0二,

36022223604

故答案為：

【點(diǎn)評】本題考查的是扇形面積計算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握扇形面積公式、

三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

16.（4分）若二次函數(shù)y=/+Z?x-5的對稱軸為直線％=2,則關(guān)于x的方程/+次-5=2x

-13的解為xi=2,12=4.

【分析】根據(jù)對稱軸方程求得。，再解一元二次方程得解.

【解答】解：???二次函數(shù)y=W+灰-5的對稱軸為直線x=2,

得b=-4,

則jr+bx-5=2x-13可化為：/-4x-5=2x-13,

解得，xi=2,&=4.

故意答案為：xi=2,X2=4.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用拋物線的對稱性求得b的值是解

題的關(guān)鍵.

17.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=x+l與y軸交于點(diǎn)4,如圖所示，依次作正

方形。41B1G，正方形GA282c2，正方形C2A3B3c3,正方形C3A4B4c4,……，點(diǎn)4，

A2,A3,4,……在直線/上，點(diǎn)Ci,C2，C3,C4,……在x軸正半軸上，則前“個正

方形對角線長的和是&（2〃-

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以求得點(diǎn)4,42,A3,4的坐標(biāo)，從而可以得到前”個

正方形對角線長的和，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（0,1）,點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（1,2）,點(diǎn)心的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)A4的坐標(biāo)

為（7,8）,……,

：.OAi=l,CIA2=2,C2A3=4,C3A4=8,.......,

.?.前n個正方形對角線長的和是：M（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+-+C?-iAn）=[2

（l+2+4+8+?“+2”-i）,

設(shè)S=l+2+4+8+…+2”一1,則2s=2+4+8+…+2"一。2",

則2S-S=2n-1,

：.S=2n-1,

1+2+4+8+—+2n-1=2n-1,

...前w個正方形對角線長的和是：&X（2n-1）,

故答案為：V2（2〃-1）,

【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，解答本題的關(guān)鍵

是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

18.（4分）如圖，矩形ABCD中，AB=3?,BC=12,E為AD中點(diǎn)，尸為A3上一點(diǎn)，

將△AEF沿EF折疊后，點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長是，返

【分析】連接EC,利用矩形的性質(zhì)，求出EG,DE的長度，證明EC平分/OCF再證

NFEC=90°,最后證△即C,利用相似的性質(zhì)即可求出EF的長度.

【解答】解：如圖，連接EC,

:四邊形ABC。為矩形，

/.ZA=ZD=90°,BC=AD=U,DC=AB=3娓,

為AD中點(diǎn)，

：.AE=DE=LAD=6

2

由翻折知，△AEF經(jīng)△GEF,

：.AE=GE=6,ZAEF=ZGEF,NEGF=/EAF=90°=ZD,

：.GE=DE,

；.EC平分NDCG,

ZDCE=ZGCE,

"：ZGEC=90°-ZGCE,ZDEC=90°-ZDCE,

：.ZGEC=ZDEC,

：.ZFEC=ZFEG+ZGEC=k.X180°=90°,

2

AZFEC=ZD=90°,

又,：4DCE=4GCE,

：.AFEC^/\EDC,

?FE_EC.

"DF=DC，

￡C=VDE2+DC2=VS2+（3>/6）

.FE3V10

：.FE=2后,

故答案為：2<\/話.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)

鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)妮o助線，連接CE,構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果.

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演

步驟）

19.（8分）先化簡，再求值：Q-9+匹）+Q-1-%ZL）,其中

a+1a+1

【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將。的值代入計算可得.

22

【解答】解：原式=（-?-8a-9+^L）+（.?-1.-4a-l）

a+1a+1a+1a+1

=02-8&+16,

a+1a+1

=（a14）2.a+1

a+1a（a-4）

_a~4

a

當(dāng)〃=舊時，

原式=四二1=1-2M.

V2

【點(diǎn)評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算

法則及二次根式的運(yùn)算能力.

20.（8分）為弘揚(yáng)泰山文化，某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生

的比賽成績，根據(jù)成績（成績都高于50分），繪制了如下的統(tǒng)計圖表（不完整）:

組別分?jǐn)?shù)人數(shù)

第1組90c尤W1008

第2組80VxW90a

第3組70<xW8010

第4組60cxW70b

第5組50cxW603

請根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）求出a,b的值；

（2）計算扇形統(tǒng)計圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)；

（3）若該校共有1800名學(xué)生，那么成績高于80分的共有多少人?

【分析】（1）抽取學(xué)生人數(shù)10?25%=40（人），第2組人數(shù)40X50%-8=12（人）,

第4組人數(shù)40X50%-10-3=7（人），所以a=12,b=7；

（2）360°X磊=27°，所以“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)為27°；

（3）成績高于80分：1800X50%=900（人），所以成績高于80分的共有900人.

【解答】解：（1）抽取學(xué)生人數(shù)10?25%=40（人），

第2組人數(shù)40X50%-8=12（人），

第4組人數(shù)40X50%-10-3=7（人），

??〃=12,b=7；

（2）360°X磊=27。，

“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)為27°；

（3）成績高于80分：1800義50%=900（人），

成績高于80分的共有900人.

【點(diǎn)評】本題考查了統(tǒng)計圖，熟練掌握條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵.

21.(11分)已知一次函數(shù)y=fcr+b的圖象與反比例函數(shù)y=皿的圖象交于點(diǎn)A,與x軸交于

X

點(diǎn)、B(5,0),OB=AB,且SWB=正.

2

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；

論；

(2)分三種情況，①當(dāng)時，得出尸B=5,即可得出結(jié)論；

②當(dāng)時，利用點(diǎn)P與點(diǎn)8關(guān)于AD對稱，得出。尸=8。=4,即可得出結(jié)論；

③當(dāng)尸時，先表示出4/=(9-a)2+9,BP2=(5-a)2,進(jìn)而建立方程求解即

可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1,過點(diǎn)A作AOLx軸于

'：B(5,0),

：.OB=5,

2

.,.1X5XAD=A^,

22

：.AD=3,

"：OB=AB,

'.AB—5,

在Rt^AOB中，B￡>=7AB2-AD2=4,

：?OD=OB+BD=9,

：.A(9,3),

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=EL中得，m=9X3=11,

...反比例函數(shù)的解析式為y=2L

將點(diǎn)A(9,3),B(5,0)代入直線>=依+匕中，19k+b=3

I5k+b=0

，直線AB的解析式為>=3-上；

44

(2)由(1)知，AB=5,

是等腰三角形，

，①當(dāng)4B=PB時，

:.PB=5,

：.P(0,0)或(10,0),

②當(dāng)AB=A尸時，如圖2,

由(1)知，BD=4,

易知，點(diǎn)尸與點(diǎn)2關(guān)于AD對稱，

：.DP=BD=4,

；.OP=5+4+4=13,：.P(13,0),

③當(dāng)PB=A尸時，設(shè)P(a,0),

VA(9,3),B(5,0),

：.AP2=(9-A)2+9,BP2=(5-a)2,

/.(9-a)2+9=(5-a)2

???C〃l=65f

8

：.P(箜，0),

8

即：滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,0)或(10,0)或(13,0)或(變，0).

8

【點(diǎn)評】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理，三角形的面積,

等腰三角形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

22.（11分）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習(xí)俗.某商場在端午節(jié)來臨之際

用3000元購進(jìn)A、B兩種粽子1100個，購買4種粽子與購買B種粽子的費(fèi)用相同.已

知A種粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍.

（1）求A、B兩種粽子的單價各是多少？

（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購進(jìn)4、2兩種粽子共2600個，已知A、B兩

種粽子的進(jìn)價不變.求A種粽子最多能購進(jìn)多少個？

【分析】（1）設(shè)2種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為L2x元/個，根據(jù)數(shù)量=總

價+單價結(jié)合用3000元購進(jìn)A、B兩種粽子1100個，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之

經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購進(jìn)A種粽子機(jī)個，則購進(jìn)3種粽子（2600-m）個，根據(jù)總價=單價X數(shù)量結(jié)

合總價不超過7000元，即可得出關(guān)于機(jī)的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得

出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)2種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為L2x元/個，

根據(jù)題意，得：1500+150°mo。,

x1.2x

解得：x=2.5,

經(jīng)檢驗，％=2.5是原方程的解，且符合題意，

??1.2%—3.

答：A種粽子單價為3元/個，B種粽子單價為2.5元/個.

(2)設(shè)購進(jìn)A種粽子m個，則購進(jìn)2種粽子(2600-m)個，

依題意，得：3m+2.5(2600-m)W7000,

解得：m^lOOO.

答：A種粽子最多能購進(jìn)1000個.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不

等式.

23.(13分)在矩形ABCD中，于點(diǎn)E,點(diǎn)P是邊AO上一點(diǎn).

(1)若8尸平分/ABD,交AE于點(diǎn)G,PFLBD于點(diǎn)F,如圖①，證明四邊形AGEP

是菱形；

(2)若PE_LEC,如圖②，求證：AE?AB=DE?AP；

(3)在(2)的條件下，若AB=1,BC=2,求AP的長.

【分析】(1)想辦法證明AG=PF,AG//PF,推出四邊形AGFP是平行四邊形，再證明

E4=P歹即可解決問題.

(2)證明△AEPS^DEC,可得膽=鯉，由此即可解決問題.

DEDC

(3)利用(2)中結(jié)論.求出DE,AE即可.

【解答】(1)證明：如圖①中，

:四邊形ABC。是矩形,

AZBAD=90°,

?：AE上BD,

ZAED=90°,

AZBAE+ZEAD=90°,ZEAD-^-ZADE=90o,

ZBAE=ZADE,

VZAGP=ZBAG+ZABG,NAPD=/ADE+/PBD,NABG=NPBD,

：.ZAGP=ZAPG,

：.AP=AG,

PALAB,PFtBD,B尸平分NA3O,

：.PA=PF,

：.PF=AG,

U：AE±BD,PFLBD,

：.PF//AG,

???四邊形AGFP是平行四邊形，

*：PA=PFf

???四邊形AG尸尸是菱形.

(2)證明：如圖②中,

'CAELBD,PELEC,

：.ZAED=ZPEC=90°,

???ZAEP=/DEC,

VZEA￡>+ZA￡>E=90°,NADE+NCDE=90°,

ZEAP=ZEDC,

：.AAEPsADEC,

?AE=AP

**DEDC?

*：AB=CD,

：.AE^B=DE^AP；

(3)解：:四邊形ABC。是矩形,

???BC=AO=2,ZBAZ)=90°,

BD=VAB2+AD2=^

VAEXBD,

.,?SAABZ)=—

22

；.AE=2疾,

5_

二D￡=7AD2-AE2=-^>

U：AE*AB^DE*AP；

??￡~\.l~?

蠣2

【點(diǎn)評】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直

角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

24.(13分)若二次函數(shù)y=o?+fcv+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3,0)、B(0,-

2),且過點(diǎn)C(2,-2).

(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且SAPBA=4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上(AB下方)是否存在點(diǎn)M,使/4BO=/ABM?若存在,求出點(diǎn)M到

【分析】(1)用A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式.

(2)設(shè)點(diǎn)尸橫坐標(biāo)為3用/代入二次函數(shù)表達(dá)式得其縱坐標(biāo).把/當(dāng)常數(shù)求直線8尸解

析式，進(jìn)而求直線8P與x軸交點(diǎn)。坐標(biāo)(用/表示)，即能用/表示AC的長.把△P84

以X軸為界分成△ABC與△ACP,即得至IJSAPBA=LC(OB+PD)=4,用含f的式子代

2

入即得到關(guān)于t的方程，解之即求得點(diǎn)P坐標(biāo).

(3)作點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)E,根據(jù)軸對稱性質(zhì)即有AB垂直平分OE,連接BE

交拋物線于點(diǎn)M,即有BE=OB,根據(jù)等腰三角形三線合一得即在拋

物線上(AB下方)存在點(diǎn)M使ZABM.設(shè)A8與OE交于點(diǎn)G,則G為OE中

點(diǎn)且0G_LA2,利用△OAB面積即求得0G進(jìn)而得0E的長.易求得/OAB=/BOG,

求/OAB的正弦和余弦值，應(yīng)用到RtZ\OEF即求得OF、E尸的長，即得到點(diǎn)E坐標(biāo).求

直線BE解析式，把BE解析式與拋物線解析式聯(lián)立，求得尤的解一個為點(diǎn)B橫坐標(biāo)，另

一個即為點(diǎn)M橫坐標(biāo)，即求出點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離.

【解答】解：(1)?二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)、B(0,-2)、C(2,-2)

9a+3b+c=0

；?<0+0+c=-2解得：

4a+2b+c=-2

c=-2

二次函數(shù)表達(dá)式為--lc-2

33

(2)如圖1,設(shè)直線BP交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)。

設(shè)尸(r,It2-At-2)(t>3)

33

OD=t,尸￡>=2*-Az-2

33

設(shè)直線BP解析式為y=kx-2

把點(diǎn)尸代入得：kt-2=2?-It-2

33

直線BP：y=(2r-1)x-2

■33

當(dāng)y=0時，(上L_1)X-2=0,解得：x=—=—

33t-2

：.C(_3_,0)

t-2

'：t>3

???一3_<3，即點(diǎn)C一定在點(diǎn)A左側(cè)

t-2

/.AC=3-3=3(t-3)

t-2-t-2

SAPBA=SAABC+SAACP=-AC-OB+LAC^PD=I