二次根式知識點總結(jié)和習題教師用

二次根式的知識點匯總知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1.

二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.

二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當a﹤0時，沒有意義。知識點三：二次根式（）的非負性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即0（）。注：因為二次根式（）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識點四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負數(shù)。知識點五：二次根式的性質(zhì)知識點六：與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)。但與都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的結(jié)果是有差別的，

，而2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.知識點七：二次根式的運算（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運算結(jié)果化為最簡二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式的運算．【例題精選】二次根式有意義的條件： 例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。 解：（1）要使有意義，必須，由得， 當時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。 （2）要使有意義，為任意實數(shù)均可， 當x取任意實數(shù)時均有意義。 （3）要使有意義，必須 的范圍內(nèi)。 當時，式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習：（1）當x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當x是多少時，+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？②（3）當x是多少時，+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當時，有意義。2.使式子有意義的未知數(shù)x有（）個．A．0B．1C．2D．無數(shù)3．已知y=++5，求的值．4．若+有意義，則=_______．5.若有意義，則的取值范圍是。最簡二次根式 例2：把下列各根式化為最簡二次根式： 分析：依據(jù)最簡二次根式的概念進行化簡， （1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。 解： 同類根式： 例3：判斷下列各組根式是否是同類根式： 分析：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。 解： 分母有理化： 例4：把下列各式的分母有理化： 分析：把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個代數(shù)式互為有理化因子，如與，均為有理化因式。 解： 求值： 例5：計算： 分析：迅速、準確地進行二次根式的加減乘除運算是本章的重點內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運算順序和有意識的使用運算律，尋求合理的運算步驟，得到正確的運算結(jié)果。 解：（1）原式 化簡： 例6：化簡： 分析：應注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式來進行化簡，使運算變得簡單。 解： 例7：化簡練習： 解： 化簡求值： 例8：已知： 求：的值。 分析：如果把a，b的值直接代入計算的計算都較為繁瑣，應另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計算，然后將求值式子化為的形式。 解： 小結(jié)：顯然上面的解法非常簡捷，在運算過程中我們必須注意尋求合理的運算途徑，提高運算能力。類似的解法在許多問題中有廣泛的應用，大家應有意識的總結(jié)和積累。例9：在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：*X*K]2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋）（x－）．．x4－2x2－3．【提示】先將x2看成整體，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．例10、綜合應用：如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點P從點B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點A移動；同時，點Q也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）【專項訓練】：一、選擇題：在以下所給出的四個選擇支中，只有一個是正確的。1、成立的條件是： A． B． C． D．2、把化成最簡二次根式，結(jié)果為： A． B． C． D．3、下列根式中，最簡二次根式為： A． B． C． D．4、已知t<1，化簡得： A． B． C．2 D．05、下列各式中，正確的是： A． B． C． D．6、下列命題中假命題是： A．設 B．設 C．設 D．設7、與是同類根式的是： A． B． C． D．8、下列各式中正確的是： A． B． C． D．三、 1、化簡 2、已知： 求：【答案】：一、選擇題： 1、B 2、C 3、B 4、D 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、計算：三、拓展訓練分式，平方根，絕對值；成立的條件是_______________當a________時，；當a________時，。若，則__________；若，則__________。把根號外的因式移入根號內(nèi)，結(jié)果為________。把-3根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果為________。x＜y，那么化簡為________10.若EQ\R(a+b,4b)與EQ\R(,3a＋b)是同類二次根式，則a=____，b=_____。11.求使為實數(shù)的實數(shù)的值為____。二、根式，絕對值的和為0；若=0，則=__________。如果求的算術(shù)平方根。6.在ΔABC中，a，b，c為三角形的三邊，則=_______。7.已知8.如果，則=_______。三、分式的有理化1、已知x=EQ\F(EQ\R(,2)+1,EQ\R(,2)－1),y=EQ\F(EQ\R(,3)－1,EQ\R(,3)+1)，求x2－y2的值。5.已知，求下列各式的值；；；yx四、整數(shù)部分與小數(shù)部分1.的整數(shù)部分是_________，小數(shù)部分是________。4.已知，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值。根式，分式的倒數(shù)；1.已知x＋EQ\F(1,x)=4,求x－EQ\F(1,x)的值。