二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和習(xí)題教師用

二次根式的知識(shí)點(diǎn)匯總知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1.

二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)方數(shù)大于或等于零即可。2.

二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a﹤0時(shí)，沒(méi)有意義。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而.知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開(kāi)方數(shù)中有的因式能夠開(kāi)得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號(hào)外面；如果被開(kāi)方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號(hào)外面，反之也可以將根號(hào)外面的正因式平方后移到根號(hào)里面．（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式再合并同類二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開(kāi)方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開(kāi)方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算．【例題精選】二次根式有意義的條件： 例1：求下列各式有意義的所有x的取值范圍。 解：（1）要使有意義，必須，由得， 當(dāng)時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。 （2）要使有意義，為任意實(shí)數(shù)均可， 當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)均有意義。 （3）要使有意義，必須 的范圍內(nèi)。 當(dāng)時(shí)，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習(xí)：（1）當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？②（3）當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時(shí)，有意義。2.使式子有意義的未知數(shù)x有（）個(gè)．A．0B．1C．2D．無(wú)數(shù)3．已知y=++5，求的值．4．若+有意義，則=_______．5.若有意義，則的取值范圍是。最簡(jiǎn)二次根式 例2：把下列各根式化為最簡(jiǎn)二次根式： 分析：依據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念進(jìn)行化簡(jiǎn)， （1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； （2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。 解： 同類根式： 例3：判斷下列各組根式是否是同類根式： 分析：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，所以判斷幾個(gè)二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡(jiǎn)二次根式。 解： 分母有理化： 例4：把下列各式的分母有理化： 分析：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說(shuō)，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因子，如與，均為有理化因式。 解： 求值： 例5：計(jì)算： 分析：迅速、準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必須掌握，要特別注意運(yùn)算順序和有意識(shí)的使用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。 解：（1）原式 化簡(jiǎn)： 例6：化簡(jiǎn)： 分析：應(yīng)注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。 解： 例7：化簡(jiǎn)練習(xí)： 解： 化簡(jiǎn)求值： 例8：已知： 求：的值。 分析：如果把a(bǔ)，b的值直接代入計(jì)算的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計(jì)算，然后將求值式子化為的形式。 解： 小結(jié)：顯然上面的解法非常簡(jiǎn)捷，在運(yùn)算過(guò)程中我們必須注意尋求合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算能力。類似的解法在許多問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識(shí)的總結(jié)和積累。例9：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：*X*K]2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋）（x－）．．x4－2x2－3．【提示】先將x2看成整體，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．例10、綜合應(yīng)用：如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．問(wèn)：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示）【專項(xiàng)訓(xùn)練】：一、選擇題：在以下所給出的四個(gè)選擇支中，只有一個(gè)是正確的。1、成立的條件是： A． B． C． D．2、把化成最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果為： A． B． C． D．3、下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式為： A． B． C． D．4、已知t<1，化簡(jiǎn)得： A． B． C．2 D．05、下列各式中，正確的是： A． B． C． D．6、下列命題中假命題是： A．設(shè) B．設(shè) C．設(shè) D．設(shè)7、與是同類根式的是： A． B． C． D．8、下列各式中正確的是： A． B． C． D．三、 1、化簡(jiǎn) 2、已知： 求：【答案】：一、選擇題： 1、B 2、C 3、B 4、D 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、計(jì)算：三、拓展訓(xùn)練分式，平方根，絕對(duì)值；成立的條件是_______________當(dāng)a________時(shí)，；當(dāng)a________時(shí)，。若，則__________；若，則__________。把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為_(kāi)_______。把-3根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果為_(kāi)_______。x＜y，那么化簡(jiǎn)為_(kāi)_______10.若EQ\R(a+b,4b)與EQ\R(,3a＋b)是同類二次根式，則a=____，b=_____。11.求使為實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___。二、根式，絕對(duì)值的和為0；若=0，則=__________。如果求的算術(shù)平方根。6.在ΔABC中，a，b，c為三角形的三邊，則=_______。7.已知8.如果，則=_______。三、分式的有理化1、已知x=EQ\F(EQ\R(,2)+1,EQ\R(,2)－1),y=EQ\F(EQ\R(,3)－1,EQ\R(,3)+1)，求x2－y2的值。5.已知，求下列各式的值；；；yx四、整數(shù)部分與小數(shù)部分1.的整數(shù)部分是_________，小數(shù)部分是________。4.已知，的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值。根式，分式的倒數(shù)；1.已知x＋EQ\F(1,x)=4,求x－EQ\F(1,x)的值。