湖南省株洲、長沙、益陽2019年中考數(shù)學真題試題（含解析）

2019年湖南省株洲市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）-3的倒數(shù)是（）

2.（3分）后乂我=（

A.472c.VTo

3.（3分）下列各式中，與3//是同類項的是（

「23

A.2xB.3%yC.-xy

4.（3分）對于任意的矩形，下列說法一定正確的是（）

A.對角線垂直且相等

B.四邊都互相垂直

C.四個角都相等

D.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

5.（3分）關于x的分式方程-=0的解為（）

A.-3B.-2C.2D.3

6.（3分）在平面直角坐標系中，點力（2,-3）位于哪個象限？（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.（3分）若一組數(shù)據(jù)x,3,1,6,3的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則x的值為（）

A.2B.3C.4D.5

8.（3分）下列各選項中因式分解正確的是（）

A.x-B.a-2a+a—if（a-2）

C.-2y+4y=-2y（j+2）D.mn-2mn+n=n（z?-1）'

9.（3分）如圖所示，在直角平面坐標系Oxy中，點/、B、C為反比例函數(shù)y=（k>0）上

不同的三點，連接總、OB、0C,過點/作軸于點〃，過點8、。分別作廢；（T垂

直x軸于點&F,%與私1相交于點記△40。、△80V、四邊形磁7;'的面積分別為S、

星、S,貝（1（）

C.￡>S>SD.SSV。

10.（3分）從-1,1,2,4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)（記作a,也）構(gòu)成一個數(shù)組赫=

｛a,&｝（其中衣=1,2…S,且將｛&,6J與｛b,&｝視為同一個數(shù)組），若滿足：對于任

意的M=｛a,,6,｝和跖=｛a”心（Kj,1W/WS,—都有a,+6,#a.,+。,，則S的

最大值（）

A.10B.6C.5D.4

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）若二次函數(shù)y=a*+法的圖象開口向下，則a0（填“=”或“>"或“<

12.（3分）若一個盒子中有6個白球，4個黑球，2個紅球，且各球的大小與質(zhì)地都相同，

現(xiàn)隨機從中摸出一個球，得到白球的概率是.

13.（3分）如圖所示，在RtZX/a1中，N4cB=90°,CM是斜邊46上的中線，E、尸分別為

MB,比1的中點，若跖=1,則48=.

14.（3分）若a為有理數(shù)，且2-a的值大于1,則a的取值范圍為.

15.（3分）如圖所示，過正五邊形/微石的頂點6作一條射線與其內(nèi)角N分4的角平分線相

交于點只且N4%60°,則/力如=度.

16.（3分）如圖所示，四為。。的直徑，點C在。。上，且Od3過點C的弦⑶與線段

仍相交于點區(qū)滿足N/比1=65°,連接/〃，則N為。=度.

17.（3分）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有善

行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及

之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100

步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走步才能追到速度慢的人.

18.（3分）如圖所示，在平面直角坐標系中，在直線x=l處放置反光鏡I,在y軸處

放置一個有缺口的擋板H,缺口為線段48,其中點/（0,1）,點8在點/上方，且

=1,在直線x=-1處放置一個擋板1H,從點。發(fā)出的光線經(jīng)反光鏡I反射后，通過缺

口45照射在擋板HI上，則落在擋板HI上的光線的長度為.

y

擋板m

擋圓I反光鏡i

X

三、解答題（本大題共8小題，共66分）

19.（6分）計算:|-V3l+jt°-2cos30".

2

20.（6分）先化簡，再求值：a-a-,其中a=.

（a-1）2

21.（8分）小強的爸爸準備駕車外出.啟動汽車時，車載報警系統(tǒng)顯示正前方有障礙物，

此時在眼睛點4處測得汽車前端廠的俯角為a,且tana=,若直線力下與地面1相交于

點、8,點A到地面h的垂線段/C的長度為1.6米，假設眼睛A處的水平線a與地面h

平行.

（1）求a'的長度；

（2）假如障礙物上的點"正好位于線段8c的中點位置（障礙物的橫截面為長方形，且

線段助V為此長方形前端的邊），，蛆工人，若小強的爸爸將汽車沿直線人后退0.6米，通

過汽車的前端E點恰好看見障礙物的頂部”點（點。為點A的對應點，點R為點尸的對

應點），求障礙物的高度.

22.（8分）某甜品店計劃訂購一種鮮奶，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗，當天的需求量與當天的最

高氣溫7有關，現(xiàn)將去年六月份（按30天計算）的有關情況統(tǒng)計如下：

（最高氣溫與需求量統(tǒng)計表）

最高氣溫7（單位：℃）需求量（單位：杯）

7<25200

25W7V30250

疹30400

（1）求去年六月份最高氣溫不低于30℃的天數(shù)；

（2）若以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率，求去年六月份這

種鮮奶一天的需求量不超過200杯的概率；

（3）若今年六月份每天的進貨量均為350杯，每杯的進價為4元，售價為8元，未售出

的這種鮮奶廠家以1元的價格收回銷毀，假設今年與去年的情況大致一樣，若今年六月

份某天的最高氣溫T滿足25WTV30（單位：。C）,試估計這一天銷售這種鮮奶所獲得的

利潤為多少元？

9

6

3

2

071520$5「03540最盛溫

（單位管0C）

23.(8分)如圖所示，已知正方形頌；的頂點。為正方形加切對角線/G外的交點，連

接區(qū)DG.

(1)求證：儂△，龐；

(2)若DG1BD,正方形力靦的邊長為2,線段力〃與線段OG相交于點也AM=,求正方

形龍尸。的邊長.

24.(8分)如圖所示，在平面直角坐標系。沙中，等腰△如6的邊防與反比例函數(shù)y=(m

>0)的圖象相交于點C,其中必=46,點力在x軸的正半軸上，點6的坐標為(2,4),

過點，作Mx軸于點H.

(1)已知一次函數(shù)的圖象過點0,B,求該一次函數(shù)的表達式；

(2)若點尸是線段48上的一點，滿足OC=&AP,過點尸作P0J_x軸于點Q,連結(jié)OP,

記△初0的面積為九帶設力0=1，T=O計-S40m

①用t表示7(不需要寫出t的取值范圍)；

②當7取最小值時，求必的值.

25.（11分）四邊形46徵是。。的圓內(nèi)接四邊形，線段M是?！ǖ闹睆?，連結(jié)4GBD.點、

〃是線段劭上的一點，連結(jié)力從CH,RNACH=NCBD,AD=CH,胡的延長線與切的延

長線相交與點P.

（1）求證：四邊形力戊方是平行四邊形；

（2）若AC=8C,PB=y[^PD,AB^CD=2（遍+1）

①求證：△雁■為等腰直角三角形；

②求。/的長度.

⑴若a=1,b=-2,c=-1

①求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；

②定義：對于二次函數(shù)y=pV+/tr（pWO）,滿足方程y=x的x的值叫做該二次函數(shù)的

“不動點”.求證：二次函數(shù)尸aV+方廣c有兩個不同的“不動點”.

（2）設如圖所示，在平面直角坐標系公y中，二次函數(shù)產(chǎn)=@/+灰+。的圖象與x

軸分別相交于不同的兩點/（為，0）,B（X2,0）,其中為<0,彳2>0,與y軸相交于點G

連結(jié)式1，點〃在y軸的正半軸上，豆OgQD,又點6的坐標為（1,0）,過點。作垂直

于y軸的直線與直線位相交于點F,滿足/加匕FA的延長線與比1的延長線相

2019年湖南省株洲市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）-3的倒數(shù)是（）

A.B.C.-3D.3

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù).

【解答】解：v-3X（-）=1,

???-3的倒數(shù)是

故選：A.

【點評】主要考查倒數(shù)的概念及性質(zhì).倒數(shù)的定義：若兩個數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩

個數(shù)互為倒數(shù)，屬于基礎題.

2.（3分）"\/"^義"\/"§=（）

A.4我B.4C.V10D.272

【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案.

【解答】解：V2xV8=Vi6=4.

故選：B.

【點評】此題主要考查了二次根式的乘法運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.

3.（3分）下列各式中，與/是同類項的是（）

A.2xB.3xyC.-xyD.-y

【分析】根據(jù)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，進行判斷即可.

【解答】解：/、2f與394不是同類項，故本選項錯誤；

B、3爐/與3寸/不是同類項，故本選項錯誤；

C、-V/與3**3是同類項，故本選項正確；

D、與33/是同類項，故本選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了同類項的知識，解答本題的關鍵是理解同類項的定義.

4.（3分）對于任意的矩形，下列說法一定正確的是（）

A.對角線垂直且相等

B.四邊都互相垂直

C.四個角都相等

1）.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

【分析】直接利用矩形的性質(zhì)分析得出答案.

【解答】解：4矩形的對角線相等，但不垂直，故此選項錯誤；

反矩形的鄰邊都互相垂直，對邊互相平行，故此選項錯誤；

a矩形的四個角都相等，正確；

。、矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，正確把握矩形的性質(zhì)是解題關鍵.

5.（3分）關于x的分式方程-=0的解為（）

A.-3B.-2C.2D.3

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：2x-6-5x=0,

解得：X--2,

經(jīng)檢驗x=-2是分式方程的解，

故選：B.

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

6.（3分）在平面直角坐標系中，點力（2,-3）位于哪個象限？（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特征解答即可.

【解答】解：點/坐標為（2,-3）,則它位于第四象限，

故選：D.

【點評】本題考查了各象限內(nèi)點的坐標的符號特征，記住各象限內(nèi)點的坐標的符號是解

決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象

限（-,-）；第四象限（+,-）.

7.（3分）若一組數(shù)據(jù)x,3,1,6,3的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則x的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)的定義分三種情況后1,l<x<3,3Wx<6,x26時，分

別列出方程，進行計算即可求出答案.

【解答】解：當xWl時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：(戶3+1+6+3)=3,

解得x=2(舍去)；

當1<XV3時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：(戶3+1+6+3)=3,

解得x=2；

當3WxV6時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到:(A+3+1+6+3)=3,

解得x=2(舍去)；

當x26時，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則得到：(戶3+1+6+3)=3,

解得x=2(舍去).

所以”的值為2.

故選：A.

【點評】本題考查平均數(shù)和中位數(shù).求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)時，先將該組數(shù)據(jù)按從小到大

(或按從大到小)的順序排列，然后根據(jù)數(shù)據(jù)的個數(shù)確定中位數(shù)：當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時,

則中間的一個數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，則最中間的兩個數(shù)的算

術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).同時運用分類討論的思想解決問題.

8.(3分)下列各選項中因式分解正確的是()

A.x-1—(x-1)2B.a-2a+a—a(a-2)

C.-2y+4y=-2y(y+2)D.mn-2mn+n=n(/?-1)~

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式進而判斷即可.

【解答】解：A,V-l=(e1)(x-1),故此選項錯誤；

B、a-2a+a—^(a-1),故此選項錯誤；

C、-2/+4y=-2y(y-2),故此選項錯誤；

D、nfn-2mn^n=n(/?-1)\正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應用公式是解題關鍵.

9.(3分)如圖所示，在直角平面坐標系中，點4、B、C為反比例函數(shù)尸(Q0)上

不同的三點，連接的、OB、0C,過點/作軸于點〃過點8、。分別作出1,C77垂

直x軸于點E、F,0C與跖相交于點M,記△/!如、叢BOM、四邊形。監(jiān)尸的面積分別為S、

￡、W,則()

C.￡>S>SD.SSV。

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)4的兒何意義得到S=W,S<W,S<S,用排除法即可

得到結(jié)論.

【解答】解：???點4、B、C為反比例函數(shù)y=(k>0)上不同的三點，軸，BE,CF

垂直x軸于點6、F,

**?St—k>SACOF-ki

?St^BOl:-So?i：=-S&atE?

??SVW,￡VS,

：.A,B,C選項錯誤,

故選：D.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)％的幾何意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確的識別圖

形是解題的關鍵.

10.(3分)從-1,1,2,4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)(記作血,8)構(gòu)成一個數(shù)組肱=

{,,口(其中〃=1,2…S,且將{為,從}與出，為}視為同一個數(shù)組)，若滿足：對于任

意的必={a,和彬={a”bji(i豐j,1W/WS,1WJWS)都有則S的

最大值()

A.10B.6C.5D.4

【分析】找出a,+4的值，結(jié)合對于任意的機={a,,4}和防={a”b,](/#/1W/WS,

1WJWS)都有a,+8*2,+九，即可得出S的最大值.

【解答】解：，/-1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

?共有5個不同的值.

又???對于任意的歷={8,4}和防={a”歷}(?1W/WS,1WJWS)都有a,+6,Wa,+勿,

???S的最大值為5.

故選：c.

【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出2+4共有幾個不同的值是解題的關鍵.

二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）若二次函數(shù)尸a*+質(zhì)的圖象開口向下，則a<0（填“=”或“>"或“<”）.

【分析】由二次函數(shù)y=a*+"圖象的開口向下，可得aVO.

【解答】解：???二次函數(shù)y=aV+"的圖象開口向下，

：.a<0.

故答案是：<.

【點評】考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大

小.當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大

小，la!越大開口就越小.

12.（3分）若一個盒子中有6個白球，4個黑球，2個紅球，且各球的大小與質(zhì)地都相同，

現(xiàn)隨機從中摸出一個球，得到白球的概率是-.

【分析】先求出總球的個數(shù)，再用白球的個數(shù)除以總球的個數(shù)即可得出答案.

【解答】解：：布袋中有6個白球，4個黑球，2個紅球，共有12個球，

摸到白球的概率是=;

故答案為：.

【點評】本題考查了概率的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

13.（3分）如圖所示，在RtAJbC中，N4CB=90°,◎/是斜邊46上的中線，E、尸分別為

MB、8c的中點，若跖=1,則AB=4.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出4?.

【解答】解：：￡、尸分別為腦、重的中點，

：.CM=2EF=2,

?.?/4/=90°,CV是斜邊46上的中線，

：.AJ3=2af=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平

行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

14.（3分）若a為有理數(shù)，且2-a的值大于1,則a的取值范圍為且a為有理數(shù).

【分析】根據(jù)題意列出不等式，解之可得，

【解答】解：根據(jù)題意知2-a>l,

解得a<l,

故答案為：a<l且a為有理數(shù).

【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是

關鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變.

15.（3分）如圖所示，過正五邊形力必然的頂點6作一條射線與其內(nèi)角/創(chuàng)6的角平分線相

交于點尺且片60°,則4加=66度.

【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到/￡48=108度，然后根據(jù)角平分線的定義得到N

PAB=54度，再利用三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù).

【解答】解：???五邊形1比以為正五邊形，

度，

?.?"是/￡48的角平分線，

.?./月夜=54度，

；NABP=60°,

%=180°-60°-54°=66°.

故答案為：66.

【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，題目中還用到了角平分線的定義及三角形內(nèi)角

和定理.

16.（3分）如圖所示，力6為。。的直徑，點C在。。上，且施上46,過點。的弦切與線段

如相交于點發(fā)滿足/4尾=65°,連接和，則/以片20度.

【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出/。緲=25°,由等腰三角形的性質(zhì)得出/㈤

=25°,求出N〃OC=130°,得出NBOANDOC-NCOE=40°,再由圓周角定理即可得

出答案.

【解答】解：連接必，如圖：

'：OCLAB,

：.NC0E=9Q°,

,：AAEC=^°,

：./0CE=9Q"-65°=25°,

?：OC=OD,

：.40DC=40CE=25°,

:.NDOC=\8G-25°-25°=130°,

ZBOD=ZDOC-ACOE=W°,

故答案為：20.

【點評】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角

和定理；熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

17.（3分）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有善

行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及

之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100

步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走250步才能追到速度慢的人.

【分析】設走路快的人追上走路慢的人所用時間為t,根據(jù)二者的速度差X時間=路程，

即可求出t值，再將其代入路程=速度義時間，即可求出結(jié)論.

【解答】解：設走路快的人追上走路慢的人所用時間為t,

根據(jù)題意得：（100-60）t=100,

解得：t—1.5,

；.100t=100X2.5=250.

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

故答案是：250.

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解

題的關鍵.

18.（3分）如圖所示，在平面直角坐標系x0中，在直線x=l處放置反光鏡I,在y軸處

放置一個有缺口的擋板II,缺口為線段/氏其中點力（0,1）,點△在點4上方，且4?

=1,在直線x=-1處放置一個擋板IH,從點0發(fā)出的光線經(jīng)反光鏡I反射后，通過缺

口力6照射在擋板HI上，則落在擋板IH上的光線的長度為1.5.

反光鏡I

x

【分析】當光線沿0、G、B、C傳輸時，由tan/眺=tan/CG及即：，即：，解得：a=l,

求出yr=l+2=3,同理可得：yu—1.5,即可求解.

【解答】解：當光線沿0、G、B、C傳輸時，

過點8作8/UG〃于點F,過點C作CE,GH千點、E,

則NOGH=NCGE=a,設GH=a,則GF=2-a,

則tanZOGH=tanZCGE,即：，

即：，解得：a=l,

則a=45°,

：.GE=CE=2,片1+2=3,

當光線反射過點/時，

同理可得：yo—l.5,

落在擋板HLh的光線的長度=必=3-1.5=1.5,

故答案為1.5.

【點評】本題考查的是坐標與圖形的變化，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知識，本

題關鍵是弄懂題意，正確畫圖.

三、解答題（本大題共8小題，共66分）

19.（6分）計算：|-立|+n°-2cos30。.

【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)基的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得

出答案.

【解答】解：原式=6+1-2義

=丑+1-V3

=1.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關鍵.

2

20.(6分)先化簡，再求值：/一二其中a=.

(a-1)2

【分析】根據(jù)分式的減法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即可

解答本題.

2

【解答】解：a-—

(a-1)2

=a(aT)_a+l

(a-l)2③

=a2-Q-l)(a+1)

a(a-l)

_a2-a2.+.1

a(a-l)

=，

當a=時，原式=7j-Y---=-4.

—-1)

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法.

21.(8分)小強的爸爸準備駕車外出.啟動汽車時，車載報警系統(tǒng)顯示正前方有障礙物，

此時在眼睛點/處測得汽車前端尸的俯角為a,且tana=,若直線力下與地面力相交于

點8,點A到地面h的垂線段/1C的長度為1.6米，假設眼睛A處的水平線a與地面h

(1)求助的長度；

(2)假如障礙物上的點"正好位于線段形的中點位置(障礙物的橫截面為長方形，且

線段,府為此長方形前端的邊)，物V_L4,若小強的爸爸將汽車沿直線Z后退0.6米，通

過汽車的前端A點恰好看見障礙物的頂部N點(點〃為點/的對應點，點尤為點尸的對

應點)，求障礙物的高度.

【分析】(1)由題意得到,解直角三角形即可得到結(jié)論；

⑵過D作D1QBC于"于是得到四邊形/殞是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到加=5=

施=0.6,根據(jù)線段的中點的定義得到846￥=2.4米，求得EQ8M-BE=1.8,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）由題意得，ZABC=Za,

在RtZk/8C中，AC=1.6,tanN/8C=tana=,

.?.比==4^=4.8例

~3

答：比'的長度為4.8g

（2）這D作DH1BC于H,

則四邊形4%是矩形，

:.AgCH=BE=Q.6,

?.?點也是線段寬1的中點，

：.BM=CM=2.4米，

BE=L8,

■:MNLBC,

J.MN//DH,

:AEMNSAEHD,

??—J

??—f

:.蚌0.6,

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題問題，牢固掌握仰角俯角的定

義是解題的關鍵.

22.（8分）某甜品店計劃訂購一種鮮奶，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗，當天的需求量與當天的最

高氣溫7有關，現(xiàn)將去年六月份（按30天計算）的有關情況統(tǒng)計如下:

（最高氣溫與需求量統(tǒng)計表）

最高氣溫7（單位：℃）需求量（單位：杯）

7<25200

25W7K30250

7^30400

（1）求去年六月份最高氣溫不低于30℃的天數(shù)；

（2）若以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率，求去年六月份這

種鮮奶一天的需求量不超過200杯的概率；

（3）若今年六月份每天的進貨量均為350杯，每杯的進價為4元，售價為8元，未售出

的這種鮮奶廠家以1元的價格收回銷毀，假設今年與去年的情況大致一樣，若今年六月

份某天的最高氣溫「滿足25W7V30（單位：。C）,試估計這一天銷售這種鮮奶所獲得的

【分析】（1）由條形圖可得答案；

（2）用7<25的天數(shù)除以總天數(shù)即可得；

（3）根據(jù)利潤=銷售額-成本計算可得.

【解答】解：（1）由條形統(tǒng)計圖知，去年六月份最高氣溫不低于30℃的天數(shù)為6+2=8（天）;

（2）去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過200杯的概率為=；

（3）250X8-350X4+100X1=730（元），

答：估計這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤為730元.

【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固

定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的

集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

23.（8分）如圖所示，已知正方形/7%的頂點。為正方形465對角線1C、陽的交點，連

接區(qū)DG.

(1)求證：△DOG^XCOE；

(2)若DG1BD,正方形4?5的邊長為2,線段力〃與線段%相交于點機AM=,求正方

形必％的邊長.

【分析】(1)由正方形的9與正方形必方,對角線4GBD,可得ND04=NO0C=9G°,

4GOE=90°,即可證得NG6?=/C%因iDO=OC,GO=EO,則可利用“邊角邊”即可證

兩三角形全等

(2)過點"作，血1。。交加于點〃，由于乙必6=45°,由可得揚/長，從而求得的,

即可求得，物，再通過J暇〃的，易證得△如以△〃%,則有=，求得GO即為正方形而G

的邊長.

【解答】解：

(1):正方形4BCD與正方形OEFG,對角線47、BD

：.DO^OC

'JDBLAC,

:.NDOA=NDOC=90°

■:/GOE=90°

:.NG0次ND0E=NDOE+NCOE=90°

：.AGOD=ACOE

'：GO=OE

.,.在△"萬和△C0￡中

"DO=OC

,ZG0D=ZC0E

GD=OE

：./\DOG^/\COE(545)

(2)如圖，過點“作，物L〃0交㈤于點〃

DA=2

：.DM=

,:/MDB=45°

：.MH=DH=s\n^°?DM=,Z?=cos45°?%=血

：.HO=DO-DH=42-=

，在Rt△物川中，由勾股定理得

加公兒苗+叱］(平產(chǎn)+(*")2=

'：DGLBD,MHLDO

：.MH//DG

，易證△CWM△勿G

V2返

；.==&=上一，得Gg2巡

V2GO

則正方形死尸。的邊長為2娓

【點評】本題主要考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)

和判定，比例的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題

目，有一定的難度.

24.(8分)如圖所示，在平面直角坐標系〃口中，等腰△刃6的邊加與反比例函數(shù)y=("

>0)的圖象相交于點C,其中5=47,點4在x軸的正半軸上，點8的坐標為(2,4),

過點。作軸于點II.

(1)已知一次函數(shù)的圖象過點0,B,求該一次函數(shù)的表達式；

(2)若點P是線段48上的一點，滿足0C=4^P,過點P作圖，x軸于點Q,連結(jié)0P,

記△0口的面積為區(qū)收，設40=3加

①用t表示7(不需要寫出t的取值范圍);

②當7取最小值時，求小的值.

【分析】(1)將點。、6的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=kx,即可求解；

(2)①sin/"V===sina=,則用=a=旄如貝?。蔹cC2V§t),T—Oft-

0P0=(a>sina)2-X(4-f)X2t=4d-4t；②當t=時，7取得最小值，而點以遮3

2Mt),即可求解.

【解答】解：(1)將點0、8的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=取得：4=2",

解得：k=2,

故一次函數(shù)表達式為：y=2x,

貝(Itana=,sina=,

,：0E=AB,則〃Q4JU2,則點/(4,0),

設：AP^a,則OC=Ma,

在中，sin//尸g==sina=,

同理止=2t,

則PA=a=y[^>tiOC=y/l^tf

則點C(如32Mt),

T—Obi-S^mv—(0c?sina)--X(4-t)X2t=4--4t,

②；4>0,...T有最小值，當t=時，

T取得最小值，

而點c(V3f>2Mt),

故：卬=tX2.

【點評】本題為反比例函數(shù)綜合運用題，涉及到等腰三角形性質(zhì)、解直角三角形、一次

函數(shù)等知識，其中(2)①，確定點C的坐標，是本題解題的關鍵.

25.(11分)四邊形4版是。。的圓內(nèi)接四邊形，線段46是。。的直徑，連結(jié)4GBD.點、

〃是線段劭上的一點，連結(jié)/從CH,豆NACH=NCBD,AD=CH,力的延長線與切的延

長線相交與點P.

(1)求證：四邊形447/是平行四邊形；

(2)若AC=BC,PB=y[^PD,A丹CQ2(旄+1)

①求證：△腌'為等腰直角三角形：

②求。/的長度.

P/

【分析】(1)由圓周角的定理可得NZ?M/ZZ4gN〃77,可證4〃〃如由一組對邊平行

且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形/比方是平行四邊形；

(2)①由平行線的性質(zhì)可證NA9〃=NCW=90°,由/微?=/。6=45°,可證△質(zhì)1

為等腰直角三角形；

②通過證明可得，可得，通過證明可得，可得4?=遂/

可求徵=2,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求。/的長度.

【解答】證明：(1)VZ.DBC=Z.DAC,NACH=NCBD

：.ZDAC=ZAC//

：.AD//CH,且AD=C//

四邊形是平行四邊形

(2)①.."E是直徑

.,.ZJCS=90°=ZADB,KAC=BC

.,.ZCAB=ZABC=A5°,

：.NCDB=NCAB=45°

'：AD//CH

:.NADH=NCHD=9Q°,且/。?=45°

:.NCDB=NDCH=A5°

:.CH=DH,且4CHD=9Q°

...△腌'為等腰直角三角形；

②???四邊形/也是。。的圓內(nèi)接四邊形，

：.AADP=APBC,且/產(chǎn)=/產(chǎn)

:.△ADP^XCBP

豆PB=J^PD,

：.,AD^CH,

'：ZCDB=ZCAB=45°,ZC//D=ZACB=90°

二△CHD^XACB

：.AB=y/sO)

,：AB^CD=2(A/5+D

:.娓CMCD=2(V5+I)

.?.5=2,且△冊?為等腰直角三角形

."=我

【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)等知識，求切的長度是本題的關鍵.

26.(11分)已知二次函數(shù)冶"C(a>0)

(1)若a=l,b=-2,c=-1

①求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標；

②定義：對于二次函數(shù)y=pf+*+r(0±0),滿足方程廣=8的x的值叫做該二次函數(shù)的

“不動點”.求證：二次函數(shù)/=@^+6戶c有兩個不同的“不動點”.

(2)設方=。3,如圖所示，在平面直角坐標系0孫中，二次函數(shù)尸aV+8戶c的圖象與“

軸分別相交于不同的兩點4(*”0),8(x2,0),其中為＜0,涇＞0,與y軸相交于點G

連結(jié)6G點〃在y軸的正半軸上，且OC=OD,又點￡的坐標為(1,0),過點〃作垂直

于y軸的直線與直線◎'相交于點凡滿足/"'C=N4BC.FA的延長線與6C的延長線相

【分析】(1)①把a、6、c的值代入二次函數(shù)解析式并配方得頂點式，即求得頂點坐標.

②根據(jù)定義，把尸"弋入二次函數(shù)尸八2*-1,得V-2x-l=x,根據(jù)根的判別式可

知滿足此方程的x有兩個不相等的值，即原二次函數(shù)有兩個不同的“不動點”.

(2)由條件N加匕=/4政7與=.聯(lián)想到證△杼'Cs△物的對應邊的比，即有

—e二.由%Uy軸且%=必可得加〃x軸，由平行線分線段定理可證《

皿PA原牛

也為C77中點，其中比=爪2+1'"、=2方可用含c的式子表示.可用含屋-為表示，

通過韋達定理變形和6=d代入可得用a、c表示A9的式子.又由/和

=ZCEB可證/XAEFs叢CEB,對應邊成比例可得式子力。儲=龍?￡五，把含c、x?、汨的式

3

子代入再把韋達定理得到的%+及=不及=代入化簡，可得c=-2a.即能用a表

2a

示CF、AB,代回到史上=娓解方程即求得a的值,進而求&c的值，得到二

福PA樵而

次函數(shù)表達式.

【解答】解：(1)①b=-2,c=-1

：.y^x-2x-1=(x-1)J2

...該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1,-2)

②證明：當了=入時，x-2x-l=x

整理得：f-3x-1=0

；.△=(-3)2-4X1X(-1)=13>0

方程f-3x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根

即二次函數(shù)-2x-1有兩個不同的“不動點

(2)把6=</代入二次函數(shù)得：y—ax+cx^-c

?.,二次函數(shù)與x軸交于點/(小，0),8(x2,0)(劉<0,A2>0)

即小、生為方程aV+c：'廣c=0的兩個不相等實數(shù)根

a2a

?當x=0時，y—ax+cx^c—c

'.C(0,c)

?/￡,(1,0)

:.CE=41+c2,AE=\-x\,BE=X2-1

?.?〃凡Ly軸，OC=OD

底〃x軸

???跖=貶=&7,小=26

9

：ZAFC=ZABCfZAEF=ZCEB

:,XAEFsXCEB

???，於AE*BE=CE*EF

(1-)(A2-1)=l+c

展開得：l+c=x2-1-X\X^X\

c+2ac+2cMa=0

c(c+2a)+2(c+2a)=0

(c2+2)(c+2a)=0

Vc+2>0

.,.c+2a=0,即c=-2a

_Q3

，XI+E=-6a—=4a2,EE==-2,Cl

2a

(汨-*)2=(X1+X2)2-4%1%2=165+8

："B=xz-刀尸Ji6a4+8=2山&4+2

■:/AFC=/ABC,N-N尸

：./\PFCS/\PBA

.CF_PC_V5

244a4+25a2+1

解得：a=l,a=-1（舍去）

c=-2a=-2,b=c=-4

二次函數(shù)的表達式為y=^-4x-2

【點評】本題考查了求二次函數(shù)頂點式，一元二次方程的解法及根與系數(shù)的關系，相似

三角形的判定和性質(zhì)，因式分解.第（2）題條件較多且雜時，抓住比較特殊且有聯(lián)系的

條件入手，再通過方程思想不斷尋找等量關系列方程，逐個字母消去，求得最終結(jié)果.

2019年湖南省長沙市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本題共12小題，每題3分，共36分）

1.（3分）下列各數(shù)中，比-3小的數(shù)是（）

A.-5B.-1

2.（3分）根據(jù)《長沙市電網(wǎng)供電能力提升三年行動計劃》，明確到2020年，長沙電網(wǎng)建設

改造投資規(guī)模達，確保安全供用電需求.數(shù)科學記

數(shù)法表示為（）

A.15X109B.1.5X109C.1.5X1O10D.0.15X10"

3.（3分）下列計算正確的是（）

A.3a+2Z?=5aZ?B.(a3)7

C.a'-ra-aD.(a+Z?)2—a2+b'

4.（3分）下列事件中，是必然事件的是（）

A.購買一張彩票，中獎

B.射擊運動員射擊一次，命中靶心

C.經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

D.任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°

5.（3分）如圖，平行線48,必被直線所截，Zl=80°,則N2的度數(shù)是()

B1D1

A.80°B.90°C.100°D.110°

6.（3分）某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（)

c.D.

7.（3分）在慶祝新中國成立70周年的校園歌唱比賽中，H名參賽同學的成績各不相同，

按照成績?nèi)∏?名進入決賽.如果小明知道了自己的比賽成績，要判斷能否進入決賽，

小明需要知道這11名同學成績的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.方差

8.（3分）一個扇形的半徑為6,圓心角為120°,則該扇形的面積是（）

A.2冗B.4冗C.12nD.24n

9.（3分）如圖，以中，ZC=90°,N8=30°,分別以點4和點少為圓心，大于/切

的長為半徑作弧，兩弧相交于雙川兩點，作直線也V,交BC千點、D,連接A9,則NCL9

的度數(shù)是（）

C.45°D.60°

10.（3分）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60〃加Je的小島/

出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔。的南偏東45°方向上的8處，這時

輪船6與小島｛的距離是（）

北

B.QOnmile

C.\2QnmileD.(30+30"$/^)nmile

11.（3分）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，

不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？”意思是：用

一根繩子去量一根木頭的長、繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1

尺，問木頭長多少尺？可設木頭長為x尺，繩子長為y尺