浙江省衢州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題 含解析

衢州市2024年1月高一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)考生須知：1.全卷分試卷和答題卷.考試結(jié)束后，將答題卷上交.2.試卷共4頁(yè)，有4大題，22小題.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.3.請(qǐng)將答案做在答題卷的相應(yīng)位置上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.選擇題部分（共60分）一?選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合并集的概念運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榧?，所?故選：D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】，即可判斷出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義求解.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以.所以，所以所以，因?yàn)椴缓銥椋?，所?故選：C4.（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用輔助角公式、二倍角正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：D5.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角差的余弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，于是有，故選：C6.函數(shù)在的圖象如圖所示，則曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用特例法進(jìn)行判斷即可.【詳解】，因，所以曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)分別為，故選：B7.根據(jù)氣象部門(mén)提醒，在距離某基地正北方向處的熱帶風(fēng)暴中心正以的速度沿南偏東方向移動(dòng)，距離風(fēng)暴中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該基地受熱帶風(fēng)暴中心影響的時(shí)長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立合適的平面直角坐標(biāo)系，解三角形即可.【詳解】如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，假設(shè)，，由題意易知，則,所以該基地受熱帶風(fēng)暴中心影響的時(shí)長(zhǎng).故選：B8.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由，得到，結(jié)合函數(shù)為增函數(shù)，得到，求得，代入即可求解.【詳解】由，可得，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以，可得，即所以.故選：C.二?多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】AC【解析】【分析】通過(guò)最小正周期公式判斷A，通過(guò)求出所有對(duì)稱軸判斷B，通過(guò)求出所有單調(diào)區(qū)間判斷C，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移公式判斷D.【詳解】的最小正周期為，故A正確;由得的所有對(duì)稱軸為,其中不包含直線，故B不正確.由得的所有單調(diào)遞減區(qū)間為,當(dāng)時(shí)，，故C正確.的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到,故D不正確.故選：AC10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】運(yùn)用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以由，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)正確；B：當(dāng)時(shí)，顯然成立，但是不成立，因此本選項(xiàng)不正確；C：因?yàn)?，所以由，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)?，所以由，因此有，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，因此本選項(xiàng)正確，故選：ACD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，都有，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.為奇函數(shù)C.的值域?yàn)?D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】利用代入法，結(jié)合奇函數(shù)、單調(diào)性的定義逐一判斷即可.【詳解】在中，令，得，或，在中，令，得，因?yàn)闀r(shí)，，所以，顯然由，因此，因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以函?shù)不可能為奇函數(shù)，因此選項(xiàng)B不正確；在中，令，所以有，當(dāng)時(shí)，所以時(shí)，因此由，而，所以的值域?yàn)?，因此選項(xiàng)C正確；設(shè)，顯然，即有成立，因?yàn)?，所以由，而，所以由，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以，因此由，即在上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用代入法根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷函數(shù)的單調(diào)性.12.已知函數(shù)，則（）A.若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則B.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)C.，使得函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)D.，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)都不為4【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義逐一判斷即可.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：A：令，當(dāng)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知，，因此本選項(xiàng)不正確；B：由函數(shù)的圖象可知：，令，可解，舍去，當(dāng)時(shí)，由圖象可知有三個(gè)實(shí)數(shù)解，因此本選項(xiàng)正確；C：當(dāng)函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)時(shí)，此時(shí)有，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，由圖象可知，函數(shù)與直線最多有三個(gè)不同的交點(diǎn)，因此要想有函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，必有，因此本選項(xiàng)不正確；D：由，令，則，當(dāng)時(shí)，即或，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的實(shí)根所以此時(shí)函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，或，或，由圖象可知此時(shí)時(shí)函數(shù)一共有七個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，或，或，由圖象可知函數(shù)此時(shí)一共有6個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，或，由圖象可知函數(shù)此時(shí)一共有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)不等式的解集為空集，綜上所述：，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)都不為4，故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題一般都轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行判斷求解.非選擇題部分（共90分）三?填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.__________0（填“>”或“<”）.【答案】【解析】【分析】根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號(hào)確定.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以；為第三象限角，所以，所以故答案為?4.__________.【答案】##【解析】【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】易知.故答案為：15.已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則__________.【答案】2【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)利用其奇偶性計(jì)算即可.【詳解】易知，令，易知定義域?yàn)镽，且，即是奇函數(shù)，顯然，，由奇函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)易知.故答案為：16.已知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系及已知可求得，由,化簡(jiǎn)為關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)方程有解，利用判別式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，所以，解得，或，若，則即，因?yàn)?，故，若，則，不成立，若，則，故，故也不成立，故，所以，則，則，化簡(jiǎn)可得，由方程有解，可知：，即.解得：，則的最大值為.故答案為：.四?解答題：本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】17.18..【解析】【分析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合結(jié)合集合補(bǔ)集和交集的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)集合并集的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合子集的定義進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】，若，則，所以；【小問(wèn)2詳解】由知，所以，得.18.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且，終邊上有兩點(diǎn).（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：根據(jù)正切函數(shù)計(jì)算公式求解；法二：利用三角函數(shù)的定義計(jì)算即可；（2）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】法一：因?yàn)?，所以，所以所以；法二：由三角函?shù)的定義可知：，所以，易知同號(hào)，則或，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所?19.某汽車公司生產(chǎn)某品牌汽車的固定成本為48億元，每生產(chǎn)1萬(wàn)臺(tái)汽車還需投入2億元，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌汽車萬(wàn)臺(tái)并全部銷售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷售額為億元，且（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（億元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司在該品牌汽車的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為40萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司在該品牌汽車的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為112億元.【解析】【分析】（1）根據(jù)產(chǎn)量不同取值分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，當(dāng)，所以【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，對(duì)稱軸為，且開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，最大，最大利潤(rùn)為；當(dāng)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)最大為106，因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為40萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司在該品牌汽車的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為112億元.20.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的值域.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象，結(jié)合代入法，余弦型函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦二倍角公式，結(jié)合余弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，，則，由，得，設(shè)的周期為，則有，所以令，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，則，故的值域?yàn)?21.已知函數(shù)（1）若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)值域的定義計(jì)算即可；（2）先利用函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式分類討論時(shí)滿足的的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)適當(dāng)放縮證明在此條件下對(duì)恒成立即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，若，則，顯然不符合題意，若，則單調(diào)遞增，且時(shí)，，符合題意，故.【小問(wèn)2詳解】先考慮對(duì)恒成立.①若，則當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；②若對(duì)恒成立，滿足題意；③若對(duì)恒成立，令，則只需，由于，所以，解得，綜上得：.再證當(dāng)時(shí)對(duì)恒成立，由于，故當(dāng)時(shí)，有，又由得，所以.所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)解析式是分段形式，先分段討論對(duì)恒成立，分為三種情況，，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)依次討論得出滿足條件的；后檢驗(yàn)在時(shí)，對(duì)恒成立，根據(jù)及與適當(dāng)放縮得出與即可.22已知函數(shù).（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知需區(qū)間上單調(diào)遞減，然后根據(jù)對(duì)稱軸列不