2020-2021學(xué)年吳忠中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(含解析)

2020-2021學(xué)年吳忠中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.直線/：x-2y+2=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)尸和一個(gè)頂點(diǎn)B,則該橢圓的離心率為（）

2.①線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線，=bx+'至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)。121），。2/2），“.（%，%）中的

一個(gè)點(diǎn);

②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;

③在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果f服從正態(tài)分布N（l42）9>0）,若f位于區(qū)域（0,1）內(nèi)的概率為0.4,則f位

于區(qū)域（0,2）內(nèi)的概率為0.8；

④對(duì)分類(lèi)變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越小，判斷“X與y有關(guān)系”的把握越大.其中

真命題的序號(hào)為（）

A.①④B.②④C.①③D.②③

3.如圖，在正方體4BCD-AiBiGA中，棱長(zhǎng)為a,M、N分別為和4C上的

點(diǎn),&M=AN=亨，則MN與平面BBiGC的位置關(guān)系是（）

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能確定

4.設(shè)貝ij是“一2<%<2”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知集合M={x||x+2|+|%—1|S5},N={x[a<x<6},且MnN=(-1,句，則b—a=()

A.-3B.—1C.3D.7

6.等差數(shù)列舸①中，嚓：畸心》則，目「噪:卜：|趣%為其前骸項(xiàng)之和，貝！1（）

A..髯］M晶/蜀4：都小于零,翼陟"r*都大于零

B.甩明門(mén)",瑞都小于零，，黑"球，,都大于零

C..琉用“，”晶都小于零，墨初露片?都大于零

D.僦明『”.黑：都小于零，即風(fēng)”…都大于零

7.已知在直三棱柱4BC-41B1G中，棱4B,BC,BB1兩兩垂直且長(zhǎng)度相等，點(diǎn)P在線段41cl(包括

端點(diǎn)4,G)上運(yùn)動(dòng)，直線8P與BiC所成角為d則0的取值范圍是()

A.0<0<B.^<9<^C.^<9<^D.0<0<^

ZoZ5Z3

8.在AHBC中，角4,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若。2+。2=2c2,貝iJcosC的最小值為().

A.更B.無(wú)C.-D.--

寓香念S

9.已知實(shí)數(shù)x>l,則三+x的最小值為()

X—1

A.4B.6C.7D.10

10.在等比數(shù)列｛即｝中，若。廠。7=4,且。2,%0=16,則。4。。6=()

(

A.±8B.8C.±4D.4

11.在AABC中，角A、B、C的對(duì)邊為a,b,c滿足c=2acos8cosC+2bcosCcos4，且△4BC的面

積為38，c=V13，則a+b=()

A.4B.5C.6D.7

12.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且過(guò)兩點(diǎn)(4,0),(0,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.亡+日=1B.二+式=1C.旺+式=1D.日+火=1

4242164164

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.在銳角△ABC中，a,b,c分別為角4B,C所對(duì)的邊，且Ka=2csin4c=夕，且△ABC的

面積為迪，則a+b=.

2

y<2

14.若變量％,y滿足約束條件％-y-2W0,則z=x-2y的最大值為.

4-y-2>0

15.設(shè)/(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(O)=j且對(duì)任意的x6R,滿足/0+2)-/(；033L/Q+

O

4)-/(x+2)>9x3x,則f(8)=.

16.直線y=1與橢圓次+g=1總有公共點(diǎn)，則m的值是____.

5m

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知函數(shù)/(%)=ax2+ax—l(aGR).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求f(%)>0的解集；

(II)對(duì)于任意％6R,不等式/(%)V0恒成立，求Q的取值范圍；

(HI)求關(guān)于％的不等式/(%)<0的解集.

18.已知四棱柱48。。一48傳1。［的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2百的正方形，平面

ACCJABCD,BCi=C(\,直線DB與平面3"祖成30°角，

(1)求證：平面8GDJ_平面ABCD；'

(2)求四棱柱4BCD-&B1GD1的體積.

19.若橢圓5+《=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為小F2,線段尸也被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成

3：1的兩段，過(guò)點(diǎn)C(-1,0),斜率上為的直線I交橢圓于不同兩點(diǎn)4、B,滿足m=2下.

(1)求橢圓的離心率；

(2)當(dāng)三角形048的面積最大時(shí)，求橢圓的方程.

20.把一個(gè)帶+q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上原點(diǎn)處，形成一個(gè)電場(chǎng)，已知在該電場(chǎng)中，距離原點(diǎn)為r處

的單位電荷受到的電場(chǎng)力由公式尸=k2(其中k為常數(shù))確定.在該電場(chǎng)中，一個(gè)單位正電荷在

電場(chǎng)力的作用下，沿著r軸的方向從r=a處移動(dòng)到r=b(a<b)處，求電場(chǎng)力對(duì)它所做的功.

21.(本題滿分13分)如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距卡+0海里的B處有一艘走私船,

正沿東偏南45°的方向以3海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以2五海里/小時(shí)的速

度沿著正東方向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了

巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以30海里/小時(shí)的速度沿

著直線追擊.

B

(I)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里?

(H)問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船?

22.已知數(shù)列｛a｝滿足的=1,即+1=￡~,(nGN*)

n1-'run

(1)證明數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，并求出通項(xiàng)an.

an

25，、.

(2)若；<a-a+a-a+a-a+-+a^-a<-,求般的值.

D122334nOn

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解析：分析：分別令直線方程中y=0和x=0,進(jìn)而求得匕和c,進(jìn)而根據(jù)b,c和a的關(guān)系求得

a,則橢圓的離心率可得.

解答：解：在八x-2y+2=0上，

令y=0得&(-2,0),

令x=0得即c=2,b=1.

故選。

2.答案：D

解析：解：①線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線￡+￡不一定經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)

(%1，乃)，(%2，為)，…中的一個(gè)點(diǎn)，但一定過(guò)(元/，故①錯(cuò)誤;

②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故②正確；

③在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果f服從正態(tài)分布N(l82)9>0),若f位于區(qū)域(0,1)內(nèi)的概率為0.4,

則f位于區(qū)域(0,2)內(nèi)的概率為0.8,故③正確；

④對(duì)分類(lèi)變量x與y的隨機(jī)變量/的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越大，

判斷“x與y有關(guān)系”的把握越大，故④錯(cuò)誤.

故選：D.

根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)和正態(tài)分布特點(diǎn)，以及線性回歸直線的特點(diǎn)，即可判斷正確結(jié)論.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類(lèi)題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬

于基礎(chǔ)題.

3.答案：B

解析：

本題考查線面平行的判定，在適當(dāng)條件下，可以用向量法證明，只需證明該直線的一個(gè)方向向量與

該平面的一個(gè)法向量垂直即可.要注意的是這兩個(gè)向量必須用同一組基底來(lái)表示.由于CDJ■平面

BiBCCi，所以而是平面&BCC1的法向量，因此只需證明向量而與前垂直即可，而而與瓦萬(wàn)和瓦片

均垂直，而瓦厄和瓦7又可以作為一組基底表示向量而，因此可以證明.

解：???正方體棱長(zhǎng)為a,A1M=AN=^-,

13

------>2------------------->2,

???M8=W/i8,CN=-CA,

313

2____9

??.麗=麗+就+而=-A^B+就+-CA

313

2>■■,■■>*2,>

=g(4出+B]B)+BC+§(CD+DA)

2-------*1--------->

又???麗是平面&BCG的法向量，

且麗?麗=(|瓦+：瓦瓦).而=0,

???MNLCD，

MN〃平面為BCC1.

故選:B.

4.答案：A

解析：解：記4={%|1<%<2},B={x\—2<x<2],

???/￡B,

???“1VxV2”是“一2VxV2”的充分而不必要條件，

故選：A.

記4={%|1V%V2},B={x\-2<x<2]f根據(jù)集合的關(guān)系判斷充分、必要條件.

本題考查了充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：C

(2%+1,%>1

解析：解：|久+2|+|%—11=13,-2<%<1,

(.-2x-1,x4-2

所以|x+2|+|x—1|W5=d]w5，

或「2<%<1或”-2

^13<5^1-2%-1<5'

解得一34%42,

???集合M={x|-3Wx<2}.

再由N={x\a<x<6},且MnN=(-1刈，

可得a=-1,6=2,

所以b-a=3,

故選C.

解絕對(duì)值不等式求得M={x|-3WxW2},再由N={%|a<%<6},且=可得a=

—1,b—2,從而求得b—a的值.

本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，兩個(gè)集合的交集的定義，屬于中檔題.

6.答案：C

解析：試題分析：等差數(shù)列的前隰項(xiàng)和公式有兩個(gè)，一個(gè)是關(guān)于考察等差前71項(xiàng)和，晁與項(xiàng)巡&的關(guān)系：

鼠=減%,另外一個(gè)是關(guān)于晁與％，盛的關(guān)系，畸M汕娜，可知等差數(shù)列中公差大于0,且各

鬟

項(xiàng)先負(fù)后正，所以前項(xiàng)和先負(fù)，后逐漸變?yōu)檎?/p>

事=也空亂$見(jiàn)%=戮觸：喊=筮1>/,>砥，又|睢H???

%外靴門(mén)啾冤;:=麓輛也臉=鮑羯北所,>(?,.?.選C.

''笠"'

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前制項(xiàng)和.

7.答案：C

解析：解：畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；

設(shè)棱長(zhǎng)AB=1,

則8(0,0,0),C(0,l,0),Bi(0,0,l),

設(shè)P(—a,l-a,l)(0<a<1),

則前=(一a,l—a,l),B^C=(0,1,-1)>

COS0—II

_?-axo+(l-a)xi+ix(-l).

—'y/(-a)2+(l-a)2+lXy/2'

2Va2-a+lf

當(dāng)Q=0時(shí)，COS。=0,

n1111

當(dāng)a‘°時(shí),的"二可二/盾蔻

v0<a<1,

1,

a

J(i-|)2+|>1，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)"=”成立;

:.cos9<I，即0Scosd<I；

又丁0<6<p

即。的取值范圍是Twe〈看

故選：c.

畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)AB=1,P(-a,l-a,1)(0<a<l),

求出而、町的坐標(biāo)表示，利用空間向量的夾角公式，求出結(jié)果.

本題考查了利用空間向量的知識(shí)求空間角的問(wèn)題，解題時(shí)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

8.答案：C

解析“cosC—'普繇一5——

^rl/T:,COSLt-------------------------9

又a?+b2>2ab,2ab<2c2,

則cosCN」，即cosC的最小值為工.

9.答案：C

解析：解：???x>1,則2+x=—+x-l+l>2-+1=7,

x-ix-iq、Jx-i

當(dāng)且僅當(dāng)X-1=2即x=4時(shí)取等號(hào)，

x-1

故選：C.

由-2-+x=&+%-1+1>2/(x-1),-二+1即可求解最小值.

x-ix-iq、)x-i

本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)試題.

10.答案:B

解析:解：丁等比數(shù)列｛On｝中，下1?a7=4,且口2?。10=16,

?*,Q]?CLj—CL^9CL,2.?Q10=Q2，

a4=±2,a6=±4,

?JQ4、生同號(hào)，

：?Q4?=8.

故選：B.

直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)論.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.答案：D

解析：解?：由正弦定理高=焉=肅=2R,

則Q=2Rsi7i4b=2RsinB,c=2RsinC,

由c=2acosBcosC+2bcosCcosA,則2Rs出C=2x2RsinAxcosBcosC+2x2RsinBxcosCcosA,

sinC=2cosC(sinAcosB+sinBcosA),

???sinC=IcosCsin^A+8)

由C=7T—(/+B),

則sinC=2coscsinC,

i

由s出CH0,則2cosc=1,cosC=

△ABC的面積為S=-absinC=-abx—=3V5,

222

則ab=12,

由余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC,

則彥+82=25,

由(G+b)2=Q2+2ab+墳=49,

則a+b=7,

故選O.

利用正弦定理，代入，根據(jù)，兩角和的正弦公式即可求得C,根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理，即

可求得小+62,由完全平方公式即可求得a+b的值.

本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，兩角和的正弦公式，考查計(jì)算能力，

屬于中檔題.

12.答案:D

解析：解：設(shè)橢圓方程為4/+By2=L

(4,0),(0,2)代入可得164=1,4B=1,

二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是?+?=l.

故選：D.

設(shè)橢圓方程為4M+By2=1,(4,0),(0,2)代入可得164=1,4B=1,即可求出橢圓的方程.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).

13.答案：5

解析：解：,■=2csinAy?-VSsinA=2sinCsinA>?-sinC=—.

,:SA.BC=3absinC=ab=ab—6.

???△ABC是銳角三角形，二cosC=i,

(a+b)2-2ab-c2_(a+b)2-i9_1

由余弦定理得：cosC=2ab-12-2f

解得a+b=5.

故答案為：5.

利用正弦定理將邊化角求出sinC,根據(jù)面積公式求出ab,代入余弦定理得出(a+b)的值.

本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題.

14.答案：0

y<2

解析：解：由約束條件件％->一2W0作出可行域如圖，

%+y-2>0

由z=x—2y,得y=：-f;由圖可知，當(dāng)直線過(guò)可行域內(nèi)點(diǎn)B時(shí)直線在y軸上的截距最小，z最大.

聯(lián)立即解得修：「

即8(4,2).

???目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值為4一2x2=0.

故答案為：0.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)z=x-2y為直線方程的斜截式，可知當(dāng)直線在y軸上的截距最

小時(shí)z最大，結(jié)合圖象找出滿足條件的點(diǎn)，聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可求z的最大

值.

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵是正確作出可行域，是中檔題.

15.答案：竿

o

解析：解：???/(x+2)-/(x)<3x,

f(x+4)-/(x+2)<3X+2=9?3匕

又/。+4)-/(%+2)29*3，,

f(x+4)-/(%+2)=9x3X,=3X+2,

??./(2)-f(0)=3°,

/(4)-/(2)=32,

/(6)-/(4)=34,

/(8)-/(6)=36,

以上各式相加得，/(8)-/(0)=蕓

?1-941I94T6561

???f(8)=/(0)+-1-7=-o+—o=—o

故答案為：華.

o

先由題目中的兩個(gè)不等式推導(dǎo)出f(x+4)-f(x+2)的值,然后再用累加法和等比數(shù)列求和公式即可

求解

本題及考察了抽象函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，又考察了數(shù)列中的累加法和等比數(shù)列求前幾項(xiàng)和公式，注重知識(shí)

點(diǎn)的交匯和靈活運(yùn)用.屬難題

16.答案：7nzi且mW5

y=fcx+1

{正十e_],化為+5k2)%2+10入+5-5m=0,

5m~

?,?直線y=kx+1與橢圓次+”=1總有公共點(diǎn),

5m

.(m>0,且mH5

(△=lOOfc2-4(m+5A2)(5—5m)>0

由0化為m>1—5k2

解得m>1且THH5.

故答案為：血之1且血。5.

(y=kx+l22

聯(lián)立2化為(m+5/c2)%2+lOfcx4-5-5m=0,由于直線y=kx+1與橢圓上+—=1總

(----1--y--=15m

'5m

m>0,且m45

有公共點(diǎn)，可得.解得即可.

,△=100/c2-4(m+5k2)(5-5m)>0

本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立解方程組、一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系,

屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：(I)a=l時(shí)，/(x)=x2+x-l>0,

解得x>二歧—或x〈士班.

22

/(%)>0的解集為{x|x>二子或x<二#}.

(II)v/(x)=ax2+ax—l(aGR).

對(duì)于任意x6R,不等式f(x)<0恒成立，

a=0或<°2上4n，

(.△=az+4a<0

解得一4<a<0,

???a的取值范圍是(-2,0].

(m)(i)a=0時(shí),/(x)=-1<0,

不等式的解集是R,

(ii)a>0時(shí)，/(x)=ax2+ax—1,

△=a2+4a>0,令尸(x)-0,

解得：尢=3三，

2a

故/(x)<0的解集是：(土等亞，士等四),

(iii)a<0時(shí)，△=a2+4a,

①Q(mào)<一4時(shí)，△>0,

令"X)=0,解得：X=一。士"可

-a-va^+4a,-a+va^+4a

故/(無(wú))<0的解集是:(-0°),+oo),

2a)I2Q

②a=-4時(shí)，△=(),f(x)<0的解集是｛x|xK-3，

③-4<a<0時(shí)，△<0,

/(x)<0的解集是R.

解析：(I)代入a的值，解不等式，求出不等式的解集即可；

(口)通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)到現(xiàn)在得到關(guān)于a的不等式組，解出即可；

(HI)通過(guò)討論a的范圍，結(jié)合判別式的符號(hào)，求出不等式的解集即可.

本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.答案：(1)證明：設(shè)AC,BD交于點(diǎn)0,連結(jié)G0,

取BC中點(diǎn)E,4B中點(diǎn)F,連結(jié)GE,0E,的尸，OF,

???四棱柱4BCD-41B1G5的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2%的正方形,

平面4CG1ABCD,BC]=CCr,

???CjF1BC,OE1BC,OF1AB,

又。EnnC]E=E,?1?BCJ■平面GOE,二BC1G。，

???OFIIBC,???OF1Cx0,

???平面ACC；1ABCD,?1.Cx01平面ABC。，

???Ci。u平面BC1。，.?.平面BC1。1平面4BCD.

(2)解：以。為原點(diǎn)，(M為x軸，0B為y軸，0cl為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

???4BCD是邊長(zhǎng)為2國(guó)的正方形，設(shè)。G=t,

則8(0,e,0),D(0,-V3,0).Ci(0,0,t),C(-V3,0,0)，

BD=(0.-2V3,0),屆=(O,-V3,t).BC=(-V3,-V3,0).

設(shè)平面BCG的法向量司=(x,y,z),

則y

度二1xM取…得X…造

?.?直線DB與平面BCGB1成30。角，

sin30°=\cos<n,BD>\=|2/!_|=-

2V3-J2+J2,

解得"黑"罟(舍)

???cr0=日

S正方形ABCD=2取X2V3=12,

x=

四棱柱4BCD-的體積V=S正方形ABCDG。=12X6>/6.

解析：(1)設(shè)AC,8。交于點(diǎn)0,連結(jié)G。，取BC中點(diǎn)E,4B中點(diǎn)F,連結(jié)QE,0E,C、F,OF,由已

知得BCICiO,再由平面ACC；14BCD,得的。_L平面4BCD,由此能證明平面Bq。_L平面48CD.

(2)以。為原點(diǎn)，。4為x軸，0B為y軸，0cl為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出四棱柱

4BCD-A/iGDi的體積.

本題考查平面與平面垂直的證明，考查四棱柱的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能

力的培養(yǎng).

19.答案：解：(1)由題意知，c+g=3(c—g,

???b=c,

???a2=2b2,

cVz

??一a?2?

(2)設(shè)直線l：x=ky-1,4(%21),B(x2,y2)>

?.■AC=2CB.

???(-1-xv-yj=2(X2+l,y2)>即2y2+%=°，①

由(1)知，Cl?=24>2,.?.橢圓方程為/+2y2=2/；2,

直線代入橢圓方程消去x,得(1+2)y2-2ky+1-2b2=0,

-,?%+丫2=落，…②為丫2=-③

由①②知，y2=-^月=看三，

1,,SAAOB=如1-yzl,

:.S=3-=3--^―<—

N+2扃+k-4'

當(dāng)且僅當(dāng)除『=2,即k=±或時(shí)取等號(hào),

又當(dāng)|/c『=2時(shí)，yry2=-1,

???由丫1，2=根］，得擾=|,

42y2

橢圓方程為三+牛=1.

解析：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意

合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

⑴由C+[=3(T),