信號與系統(tǒng)課件(鄭君里版)第3章

第三章傅里葉變換

§3.1引言

§3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析

§3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)

§3.4傅里葉變換

§3.5典型非周期信號的傅里葉變換

§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換§3.7傅里葉變換的基本性質(zhì)

§3.8卷積特性（卷積定理）

§3.9周期信號的傅里葉變換

§3.10抽樣信號的傅里葉變換

§3.11抽樣定理頻域分析從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念?！?.1引言時域分析：信號或者系統(tǒng)模型的自變量為時間（t） 變換域分析：自變量為其他物理量頻域分析：自變量為頻率。相互關(guān)系密切發(fā)展歷史1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實際的電容器。進入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。主要內(nèi)容本章從傅里葉級數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號頻譜的概念。通過典型信號頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對于周期信號而言，在進行頻譜分析時，可以利用傅里葉級數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達形式。本章最后研究抽樣信號的傅里葉變換，引入抽樣定理。線性時不變（LTI)系統(tǒng)分析方法基本思路：已知一些基本信號，將任意一個信號e(t)（或者我們需要研究的信號）用一個基本信號的線性組合來表示（信號分解），如果已知基本信號通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)r(t)，那么任意信號通過系統(tǒng)的響應(yīng)就可以用r(t)的線性組合來表示。這些基本信號應(yīng)該具備下列性質(zhì)：

1、由這類基本信號能構(gòu)成相當(dāng)廣泛的一類信號

2、LTI系統(tǒng)對每一個基本信號的響應(yīng)，在結(jié)構(gòu)上因該十分簡單，以便使系統(tǒng)對任意輸入的響應(yīng)有一個方便的表達式?！?.2周期信號傅里葉級數(shù)分析主要內(nèi)容三角函數(shù)形式的傅氏級數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的傅氏級數(shù)兩種傅氏級數(shù)的關(guān)系頻譜圖函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)的關(guān)系周期信號的功率傅里葉有限級數(shù)與最小方均誤差一．三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)

是一個完備的正交函數(shù)集t在一個周期內(nèi)，n=0,1,...

由積分可知1.三角函數(shù)集2．級數(shù)形式在滿足狄氏條件時，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度稱為三角形式的傅里葉級數(shù)，其系數(shù)其他形式余弦形式正弦形式幅度頻率特性和相位頻率特性關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖?？僧嫵鲱l譜圖。周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性。

頻譜圖幅度頻譜相位頻譜離散譜，譜線二．指數(shù)函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)1．復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集2．級數(shù)形式3．系數(shù)利用復(fù)變函數(shù)的正交特性說明三．兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖利用歐拉公式幅頻特性和相頻特性相頻特性幅頻特性四．總結(jié)（1）周期信號f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式（3）周期信號的頻譜是離散譜，三個性質(zhì)（2）兩種頻譜圖的關(guān)系（4）引入負(fù)頻率五．周期信號的功率這是帕塞瓦爾定理在傅里葉級數(shù)情況下的具體體現(xiàn);表明：周期信號平均功率=直流、基波及各次諧波分量有效值的平方和；也就是說，時域和頻域的能量是守恒的。

繪成的線狀圖形，表示各次諧波的平均功率隨頻率分布的情況，稱為功率譜系數(shù)。證明對于三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)平均功率

對于指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)總平均功率=各次諧波的平均功率之和§3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)主要內(nèi)容本節(jié)以周期矩形脈沖信號為例進行分析主要討論：頻譜的特點，頻譜結(jié)構(gòu)，

頻帶寬度，能量分布。其他信號，如周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波余弦信號周期全波余弦信號一．頻譜結(jié)構(gòu)三角函數(shù)形式的譜系數(shù)指數(shù)函數(shù)形式的譜系數(shù)頻譜特點1．三角形式的譜系數(shù)

是個偶函數(shù)2．指數(shù)形式的譜系數(shù)3．頻譜及其特點(1)包絡(luò)線形狀：抽樣函數(shù)(3)離散譜（諧波性）4．總結(jié)

矩形脈沖的頻譜說明了周期信號頻譜的特點：離散性、諧波性、收斂性。二．頻帶寬度1.問題提出第一個零點集中了信號絕大部分能量（平均功率）由頻譜的收斂性可知，信號的功率集中在低頻段。2．頻帶寬度在滿足一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍的信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度。一般把第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：

語音信號 頻率大約為 300~3400Hz，音樂信號 50~15,000Hz，擴音器與揚聲器有效帶寬約為15~20,000Hz。3．系統(tǒng)的通頻帶>信號的帶寬，才能不失真§3.4傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換的表示傅里葉變換的物理意義傅里葉變換存在的條件一．傅里葉變換：周期信號非周期信號連續(xù)譜，幅度無限?。浑x散譜1.引出0再用表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。0（1）頻譜密度函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)單位頻帶上的頻譜值頻譜密度函數(shù)的表示2．反變換由復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)3．傅里葉變換對二．傅里葉變換的表示歐拉公式實部虛部實部虛部模相位實信號偶分量奇分量三．傅里葉變換的物理意義實函數(shù)歐拉公式積分為0解釋

求和振幅正弦信號四．傅里葉變換存在的條件所有能量信號均滿足此條件。§3.5典型非周期信號的

傅里葉變換矩形脈沖單邊指數(shù)信號直流信號符號函數(shù)升余弦脈沖信號一．矩形脈沖信號幅度頻譜：相位頻譜：t0頻寬：二．單邊指數(shù)信號頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：三．直流信號不滿足絕對可積條件，不能直接用定義求四．符號函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個雙邊函數(shù)不滿足絕對可積條件五．升余弦脈沖信號§3.6沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的傅里葉變換沖激函數(shù)沖激偶單位階躍函數(shù)一．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對可積條件，不能用定義求。比較二．沖激偶的傅里葉變換三．單位階躍函數(shù)§3.7傅里葉變換的

基本性質(zhì)主要內(nèi)容對稱性質(zhì)

線性性質(zhì)奇偶虛實性

尺度變換性質(zhì)時移特性

頻移特性

微分性質(zhì)

時域積分性質(zhì)意義

傅里葉變換具有唯一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；用性質(zhì)求F(ω)；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。一．對稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義57例：直接定義求解？？？直接定義求解二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例三．奇偶虛實性設(shè)f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）顯然四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。(2)a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。a是非零常數(shù)尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因為(1)

0<a<1時域擴展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時間增加a倍，變化慢了，信號在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號的持續(xù)時間與信號占有頻帶成反比，有時為加速信號的傳遞，要將信號持續(xù)時間壓縮，則要以展開頻帶為代價。（2）a>1時域壓縮，頻域擴展a倍。五．時移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時移加尺度變換例：求圖(a)所示三脈沖信號的頻譜。解：因為脈沖個數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。()():為的頻譜函數(shù)數(shù)由時移性質(zhì)知三脈沖函wFtf六．頻移特性2．證明

1．性質(zhì)

3．說明4．應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。已知矩形調(diào)幅信號

解：因為頻譜圖一個未經(jīng)調(diào)制的高頻正弦信號為：振幅載頻相位均為常數(shù)載波調(diào)幅載波振幅隨調(diào)制信號的變化規(guī)律而變。調(diào)相載波相位隨調(diào)制信號的變化規(guī)律而變。調(diào)頻載波頻率隨調(diào)制信號的變化規(guī)律而變。脈沖調(diào)制經(jīng)調(diào)制后的高頻振蕩信號叫已調(diào)波（調(diào)幅波、調(diào)頻波、調(diào)相波和脈沖調(diào)制波），調(diào)頻和調(diào)相均表現(xiàn)為總相角受到調(diào)變，因此統(tǒng)稱為調(diào)角。二、調(diào)幅波其中是調(diào)制信號，K是信號強度與振幅增量間成比例關(guān)系的系數(shù)振幅按照調(diào)制信號的規(guī)律變化的高頻振蕩信號叫調(diào)幅波。調(diào)幅信號的頻譜（載波技術(shù)）求：的頻譜？

載波頻率頻移特性調(diào)幅信號都可看成乘積信號矩形調(diào)幅指數(shù)衰減振蕩三角調(diào)幅求它們的頻譜=？（略）七．微分性質(zhì)時域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或1．時域微分時域微分性質(zhì)證明即2．頻域微分性質(zhì)或推廣解：八．時域積分性質(zhì)也可以記作：§3.8卷積特性（卷積定理）卷積定理卷積定理的應(yīng)用一．卷積定理時域卷積定理時域卷積對應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。頻域卷積定理卷積定理揭示了時間域與頻率域的運算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。時域卷積定理的證明因此所以卷積定義時移性質(zhì)交換積分次序二．應(yīng)用求系統(tǒng)的響應(yīng)。將時域求響應(yīng)，轉(zhuǎn)化為頻域求響應(yīng)。已知信號f(t)波形如下，其頻譜密度為F(jω)，不必求出F(jω)的表達式，試計算下列值：

令t=0，則則分析：該信號是一個截斷函數(shù)，我們既可以把該信號看成是周期信號已知信號求該信號的傅里葉變換。經(jīng)過門函數(shù)的截取，被信號調(diào)制所得的信號。也可以看成是有以下兩種解法:

方法一：利用頻移性質(zhì)方法二：利用頻域卷積定理方法一：利用頻移性質(zhì)利用頻移性質(zhì)：由于利用歐拉公式，將化為虛指數(shù)信號，就可以看成是門函數(shù)被虛指數(shù)信號調(diào)制的結(jié)果。在頻域上，就相當(dāng)于對的頻譜進行平移。

又因所以根據(jù)頻移性質(zhì)，可得方法二：用頻域卷積定理將看成是信號經(jīng)過窗函數(shù)的截取，即時域中兩信號相乘根據(jù)頻域卷積定理有Parseval’s定理與能量頻譜從能量的角度來考察信號時域和頻域特性間的關(guān)系Parseval’s定理：周期信號的功率等于該信號在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。一般非周期信號屬于能量有限信號Parseval定理：非周期信號在時域中求得的信號能量等于在頻域中求得的信號能量?！?.9周期信號的傅里葉變換主要內(nèi)容正弦信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換如何由F0(ω)求F(nω1)單位沖激序列的傅氏變換周期矩形脈沖序列的傅氏變換引言周期信號：非周期信號：周期信號的傅里葉變換如何求？與傅里葉級數(shù)的關(guān)系？一．正弦信號的傅里葉變換由歐拉公式由頻移性質(zhì)同理已知頻譜圖二．一般周期信號的傅里葉變換由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式出發(fā)：其傅氏變換(用定義)幾點認(rèn)識三．如何由求比較式(1),(2)四．周期單位沖激序列的傅里葉變換頻譜五．周期矩形脈沖序列的傅氏變換§3.10