2024年黃岡市浠水縣高三數(shù)學(xué)5月第四次模擬考試卷附答案解析

年黃岡市浠水縣高三數(shù)學(xué)5月第四次模擬考試卷本試卷150分.考試時(shí)長120分鐘.2024.5一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知為虛數(shù)單位，，則（

）A．1 B．2 C． D．2．已知集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．163．已知圓，，，則“直線AB與圓C有公共點(diǎn)”的充要條件是（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．5．已知能被9整除，則整數(shù)的值可以是（

）A． B． C．9 D．136．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若的面積為，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰好有對關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則的值可以是（

）A．4 B．5 C．6 D．7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的有（）A．若隨機(jī)變量，且，則B．若隨機(jī)變量，則方差C．若從名男生、名女生中選取人，則其中至少有名女生的概率為D．若隨機(jī)變量X的分布列為，則10．已知，且，則下列說法正確的是（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最小值 D．的最小值為11．已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．隨著增大而減小B．曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為C．曲線與直線相交，且交點(diǎn)在第二象限D(zhuǎn)．是曲線上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在的展開式中，的系數(shù)為．13．在中，，，依次成等差數(shù)列，，的取值范圍為．14．如圖，球內(nèi)切于圓柱，圓柱的高為，為底面圓的一條直徑，為圓上任意一點(diǎn)，則平面截球所得截面面積最小值為若為球面和圓柱側(cè)面交線上的一點(diǎn)，則周長的取值范圍為．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知函數(shù).(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值;(2)討論的單調(diào)性與極值.16．如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.17．比亞迪，這個(gè)中國品牌的乘用車，如今已經(jīng)在全球汽車品牌銷量前十中占據(jù)一席之地.這一成就是中國新能源汽車行業(yè)的里程碑，標(biāo)志著中國已經(jīng)在全球范圍內(nèi)成為了新能源汽車領(lǐng)域的強(qiáng)國.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了自上市以來截止到2023年8月的宋plus的月銷量數(shù)據(jù).(1)通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，其他新能源汽車的崛起、購置稅減免政策的頒布等，影響了該款汽車的月銷量，現(xiàn)將殘差過大的數(shù)據(jù)剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月銷量y（單位：萬輛）和月份編號x的成對樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì).月份2022年8月2022年9月2022年12月2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年6月2023年7月2023年8月月份編號12345678910月銷量（單位：萬輛）4.254.594.993.563.723.012.462.723.023.28請用樣本相關(guān)系數(shù)說明y與x之間的關(guān)系可否用一元線性回歸模型擬合？若能，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；若不能，請說明理由.（運(yùn)算過程及結(jié)果均精確到0.01，若，則線性相關(guān)程度很高，可用一元線性回歸模型擬合）(2)為迎接2024新春佳節(jié)，某地4S店特推出盲盒抽獎營銷活動中，店家將從一批汽車模型中隨機(jī)抽取50個(gè)裝入盲盒用于抽獎，已知抽出的50個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示.紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾2010米色內(nèi)飾155①從這50個(gè)模型中隨機(jī)取1個(gè)，用A表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用B表示事件“取出的模型內(nèi)飾為米色”，求和，并判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；②活動規(guī)定：在一次抽獎中，每人可以一次性拿2個(gè)盲盒.對其中的模型給出以下假設(shè)：假設(shè)1：拿到的2個(gè)模型會出現(xiàn)3種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色.假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項(xiàng)越高.假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為一等獎3000元、二等獎2000元、三等獎1000元.請你分析獎項(xiàng)對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的期望（精確到元）.參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)，，.參考數(shù)據(jù)：，.18．已知點(diǎn)在拋物線E：（）的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)M作直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，斜率為2的直線與拋物線E交于A，C兩點(diǎn).(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)（?。┣笞C：直線過定點(diǎn)；（ⅱ）記（?。┲械亩c(diǎn)為H，設(shè)的面積為S，且滿足，求直線的斜率的取值范圍.19．已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．1．C【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等計(jì)算得解.【詳解】依題意，，而，則，所以.故選：C2．D【分析】根據(jù)集合的描述法確定集合中的元素，根據(jù)交集的概念可得，從而根據(jù)其元素個(gè)數(shù)得子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以的子集個(gè)數(shù)為．故選：D．3．D【分析】根據(jù)題意可得直線AB的方程，再設(shè)圓的半徑為，其圓心到直線AB的距離為，從而可得“直線AB與圓C有公共點(diǎn)”的充要條件是“”，進(jìn)而求解即可．【詳解】由，，則直線AB的方程為，設(shè)圓的半徑為，其圓心到直線AB的距離為，則“直線AB與圓C有公共點(diǎn)”的充要條件是“”即，解得．故選：D．4．B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷的奇偶性，從而得解.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，從而ACD錯(cuò)誤，B正確.故選：B.5．B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，則能被整除，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)?，又能被整除，所以能被整除，由選項(xiàng)知當(dāng)時(shí)符合，當(dāng)，或時(shí)均不符合.故選：B．6．B【分析】根據(jù)已知條件利用二倍角公式化簡求出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求得結(jié)論.【詳解】令，則有，設(shè)向右平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)為，則有，根據(jù)已知條件的圖象與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有，即，所以，解得,又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取最小值為.故選：B7．D【分析】由面積公式得到，再由余弦定理得到，利用輔助角公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，所以．由余弦定理得，所以，故，當(dāng)時(shí)等號成立,即的最大值為.故選：D．8．C【分析】令，，根據(jù)對稱性，問題可以轉(zhuǎn)化為與的圖象在內(nèi)有個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】令，，因?yàn)榕c的圖象關(guān)于軸對稱，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)恰好有對關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，所以問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在內(nèi)有個(gè)不同的交點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下所示：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象及選項(xiàng)可得的值可以是，其他值均不符合要求,.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為與的圖象在內(nèi)有個(gè)不同的交點(diǎn).9．ABD【分析】由正態(tài)分布求解判斷出選項(xiàng)A正確，由二項(xiàng)分布即可判斷選項(xiàng)B正確，由超幾何分布求解概率即可判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤，由概率分布列的性質(zhì)求解判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，，故B正確；對于C，至少有一名女生的概率，故C錯(cuò)誤；對于D，，，，故D正確．故選：ABD.10．ABD【分析】利用基本不等式可判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由A的分析知且，時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD．11．AD【分析】首先對、分類討論分別得到曲線方程，畫出曲線圖形，數(shù)形結(jié)合判斷A、B，由雙曲線的漸近線與的關(guān)系判斷C，由點(diǎn)到直線的距離公式得到，即點(diǎn)到直線的距離的倍，求出直線與曲線相切時(shí)的值，再由兩平行線將的距離公式求出的最大值，即可判斷D.【詳解】因?yàn)榍€，當(dāng)，時(shí)，則曲線為橢圓的一部分；當(dāng)，時(shí)，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；當(dāng)，時(shí)，則曲線為雙曲線的一部分，且雙曲線的漸近線為；可得曲線的圖形如下所示：由圖可知隨著增大而減小，故A正確；曲線的橫坐標(biāo)取值范圍為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以曲線與直線相交，且交點(diǎn)在第四象限，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，即點(diǎn)到直線的距離的倍，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，由，消去整理得，則，解得（舍去）或，又與的距離，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分析出曲線的圖形，D選項(xiàng)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.12．224【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橥?xiàng)公式為，當(dāng)即時(shí)，，所以的系數(shù)為224，故答案為：224.13．【分析】根據(jù)題意可得，利用數(shù)量積公式得，進(jìn)一步由正弦定理、結(jié)合三角恒等變換將所求轉(zhuǎn)換為求三角函數(shù)值域即可.【詳解】根據(jù)題意，又，所以，而，由正弦定理有，所以，所以，而的取值范圍是，所以的取值范圍是，的取值范圍是，所以的取值范圍是，所以的取值范圍為.故答案為：.14．【分析】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，分析可知當(dāng)平面時(shí)，截面圓的半徑最小，求出截面圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式可求平面截得球的截面面積最小值；利設(shè)在底面的射影為，設(shè)令，則，其中，可得出，利用平方法和二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的取值范圍，可得周長的取值范圍．【詳解】過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為，如下圖

易知，，由勾股定理可得，則由題可得，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，因?yàn)槠矫?，?dāng)平面，取最大值，即，所以，所以平面截得球的截面面積最小值為．由題可知，點(diǎn)在過球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面射影為，如圖：

則，，由勾股定理可得，令，則，其中，所以，所以，因此，所以周長的取值范圍為．故答案為：；【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：選擇填空題中，遇到求函數(shù)的最小值問題，常見的方法有：1.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題求解；2.利用基本（均值）不等式求最值；3.通過換元，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問題求解；4.利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)的最值.15．(1)(2)答案見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)直線垂直可得，即可求解，（2）求導(dǎo)，對進(jìn)行討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得函數(shù)的單調(diào)性和極值.【詳解】（1）由題得，的定義域?yàn)?.

的圖象在點(diǎn)處的切線與直線l:垂直，，

解得.（2）由（1）知.①當(dāng)時(shí)，恒成立.在上為減函數(shù)，此時(shí)無極值;

②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，無極大值.

綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，無極值;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.的極小值為，無極大值.16．(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的判定定理證明；（2）由已知可知，為等邊三角形，故，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得底面，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角余弦值.【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面是平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槊妫?，所以?（2）連接，，因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面，平面，所以底面，過點(diǎn)在底面內(nèi)作，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分布以，，的方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的法向量為，又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋瑒t，經(jīng)觀察，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.17．(1)可以使用一元線性回歸模型擬合，(2)①，，不獨(dú)立；②分布列見解析，期望為1694【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)和相關(guān)系數(shù)的公式求出相關(guān)系數(shù)，結(jié)合數(shù)值進(jìn)行判斷，利用公式可得回歸直線方程；（2）①利用古典概率和條件概率求解即可，結(jié)合獨(dú)立事件的判斷方法可知不獨(dú)立.②確定的所有取值，求出分布列，結(jié)合期望公式可得期望.【詳解】（1），，，因?yàn)椋钥梢允褂靡辉€性回歸模型擬合.，，所以回歸方程為：.（2）①模型內(nèi)飾為米色的共有20個(gè)，所以，紅色外觀的模型有35個(gè)，其中內(nèi)飾為米色的共有15個(gè)，所以，紅色外觀模型且內(nèi)飾為米色的共有15個(gè)，所以，，因?yàn)椋圆华?dú)立.②設(shè)事件“取出的模型外觀和內(nèi)飾均為同色”，事件“取出的模型外觀和內(nèi)飾都異色”，事件“僅外觀或僅內(nèi)飾同色”，，，，因?yàn)?，所以獲得一等獎的概率為，二等獎的概率為，三等獎的概率為.其分布列為300020001000期望為.18．(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上可得，即可求出拋物線方程（2）（?。┰O(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組得到，再寫出直線的方程，根據(jù)兩點(diǎn)式寫出，整理消去，即可求出直線所過定點(diǎn)（ⅱ）因?yàn)?，根?jù)（?。┲械慕Y(jié)論和弦長公式求出，再根據(jù)列出關(guān)于的不等式，解出的范圍即可【詳解】（1）由題意可知C：（）的準(zhǔn)線方程為：，即，所以.拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，，，（?。┯深}意知直線不與y軸垂直，故直線方程可設(shè)為：，與拋物線方程聯(lián)立，化簡得：，根據(jù)韋達(dá)定理可得：即，，直線方程為，整理得：.又因?yàn)椋?將代入化簡可得：，代入整理得：故直線過定點(diǎn)（ⅱ）由（?。┲cx軸平行，直線的斜率一定存在，由（ⅰ）知所以，又因?yàn)榧矗喌没蛴钟?，得：且，即或綜上所述，19．(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見解析