高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1全冊同步練習(xí)

課時分層作業(yè)(十四)

(建議用時：40分鐘)

［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、選擇題

1.以夕為公比的等比數(shù)列｛即｝中，夕>0,則“。1<的”是“q>l”的()

A.必要不充分條件B,充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A［等比數(shù)列｛%｝中，若41>0,則可得［2>1,即夕>1或夕<—1；若

q>l,則有/>1,所以a\q2>a\,即所以“?<的"是“夕>1"的必要不充分條

件.］

2.已知,：x+yW—2,q；x,y不都是一1,則p是夕的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A［因為p:x+j#—2,q:J#—1或j#—1,所以㈱p:x+y=—2,㈱夕：

x=—1且》=-L因為㈱夕=懈〃但夕，所以㈱夕是㈱P的充分不必要

條件，即p是4的充分不必要條件.故選A.］

IO22X,X〉0,

一c有且只有一個零點的充分不必要條件是

｛2~1d9xWO,

()

A.a<0B.0<?<l

C.|<a<lD.后0或a>l

A［因為函數(shù)/(x)過點(1,0),所以函數(shù)/(x)有且只有一個零點Q函數(shù)j，=一

2x+a(xW0)沒有零點<=>函數(shù)尸=2、的圖象(xWO)與直線y=a無公共點.由數(shù)形結(jié)

合可知或根據(jù)集合之間的關(guān)系｛a|“V0｝窄｛研區(qū)0或n>l｝,可知選A.］

二、填空題

4.已知a,/是兩個不同的平面，直線“Ua,直線〃up,p：a與〃無公共

點，q：a///i,則p是夕的條件.

［解析］a//p^a,力無公共點，反之不成立.故p是4的必要不充分條件.

［答案］必要不充分

5.給出下列三個命題：

①“4=0”是“函數(shù)/)=r+d戊62為奇函數(shù)”的充要條件；

②ua>pn是“cosaVcos/T的必要不充分條件；

③“a>b”是“2E”的充分不必要條件.

其中正確命題的序號為.

［解析］對于①，當(dāng)?=0時，/(X)=AJ+?X2=X3為奇函數(shù).即"4=0"=>

"/(x)=3+ax2［xeR)為奇函數(shù).”

若./0=^3+奴2(*《［<)為奇函數(shù)，則任意xCR，都有/(—*)=(—*)3+4(一

x)2=—/(x)=-x3—ox?成立，即2ax2=()對任意xGR都必成立，所以4=0.故

“於)=^+?2*￡］<)為奇函數(shù)”-“4=0”.綜上所述，可知“4=0”是

”函數(shù),仆0=3+?2(*￡2為奇函數(shù)”的充要條件，是正確的；對于②，因為

ua>f}n是“cosaVcos/T的既不充分又不必要條件，故②錯誤；對于③，因

為指數(shù)函數(shù)j，=2'是R上的單調(diào)增函數(shù)，所以“a>b”是的充要條件，

故③錯誤.

［答案］①

6.函數(shù)夕=*+ftx+c(xe［0,+8))是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(填

序號).

①后0；②方〉0；③6<0；④/W0.

［解析］,函數(shù)y=x2+法+c(x￡［0,+8))是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)得出：—‘WO,b20,.,.函數(shù)y=x2+bx+c(xe［0,+8))是單調(diào)函數(shù)的

充票條件是820,故填①.

［答案］①

7.如果x,7是實數(shù)，那么"x#V'是"cosxWcosy”的條件.

［解析］充分性："xrj，"不一定能推出"cosxWcosV'，如x=0,y=2n,

此時cosx=cosy.必要性：“cosxWcosy”一定能推出"x#y",所以"x#y”

是"cosxWcosy”的必要不充分條件.

［答案］必要不充分

8.若條件p：|x|42,條件4：xWa,且〃是夕的充分不必要條件，則”的

取值范圍是.

［解析］由題意可知p:—2WxW2,q:xWa.p是g的充分不必要條件，所

以“22.

［答案］［2,+8)

三、解答題

9.若方程/一〃儀+2/〃=0有兩根，求其中一根大于3,一根小于3的充要

條件.

［解］方程X2—，〃X+2/M=0對應(yīng)的二次函數(shù)於)=*2—優(yōu)X+2，”，

則方程A2—〃?x+2/”=0有兩根，其中一根大于3,一根小于3的充要條件

是/(3)<0,即32-3/M+2/M<0,

解得〃i>9.

故其中一根大于3,一根小于3的充要條件是(9,+8).

10.已知p：x2—4x—5W0,q：|x—3|<?(a>0).若p是q的充分不必要條

件，求實數(shù)4的取值范圍.

［解］解不等式X2—4X一5/0,得一1WXW5,解不等式|x-3|<a(Q0),得

—a+3<x<a+3,設(shè)/={x|—1WxW5},B={x|—a+3<x<a+3},因為p是夕的

a+3<-1,

充分不必要條件，從而有.故、+3>5,解得心4.所以實數(shù)a的取值

范圍是(4,+°°).

［能力提升練］

1—X2

2

1.設(shè)P：X—X—20>0,q：|v|_2<0,則p是夕成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

1—X2

A|不等式*2—*-20>0的解集/={x|*V—4或*>5},不等式后二3Vo

的解集5={x|x>2或xV—2或一1VxVl},由于N窄5,所以p=q且q為p,

所以p是q的充分不必要條件.故選A.］

2.已知於)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則'/x)為［0,1］上的

增函數(shù)"是'/X)為［3,4］上的減函數(shù)”的條件.

［解析］若函數(shù)心)在［0,1］上是增函數(shù)，則根據(jù)/(x)是偶函數(shù)可知人x)在［一

1,0］上是減函數(shù)，結(jié)合/(x)的周期為2可知幾0在［3,4］上是減函數(shù).反過來，若

函數(shù)作)為［3,4］上的減函數(shù)，則根據(jù)/(x)的周期為2,可知/(x)為［-1,0］上的減

函數(shù).因此“/(X)為［0,1］上的增函數(shù)”是“本)為［3,4］上的減函數(shù)”的充要條件.

［答案】充要

3.“〃>4,b<5"是"一次函數(shù)j，=(A—4)x+/>—5的圖象交少軸于負(fù)半軸，

交x軸于正半軸”的條件.

［解析］①當(dāng)A>4,加：5時，一次函數(shù)y=(A-4)x+b-5的大致

圖象如圖.“/至

②若一■次函數(shù)y=(4—4)x+b—5交y軸于負(fù)半軸，交*軸于正

半軸，當(dāng)x=0時，y=h-5<0,：.h<5.

5~b

當(dāng)y=0時,x=^q>0.

"：b<5,:.k>4.

故"k>4,b<5”是“一次函數(shù)y=(A-4)x+b-5的圖象交j，軸于負(fù)半軸，

交x軸于正半軸”的充要條件.

［答案］充要

4.已知求證：“+方=1的充要條件是/+63+必一“2—62=0.

［證明］必栗性：\"a+h=l,即/>=l—a,

.\a3+b3+ab—a2—b2=a3+(l—a)i+a(l—a)—a2—(l-a)2=a3+l-3a+

3a2—a3+?—a2—?2—1+2G—?2=0.

充分性：Va3+/>3+flA—a2-/>2=0,即(a+〃)(“2—a/>+〃2)—(々2—4力+方2)=

0,

/.(a+ft—l)(a2—?/>+/>2)=0.

*；abW0,且/>W0,'.a2—ah+h2^d,故a+b=L

綜上可知，當(dāng)必#0時，a+/>=l的充要條件是加+於+時―/—〃2=0.

課時分層作業(yè)(十五)

(建議用時：40分鐘)

［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、選擇題

1.下列命題中為全稱命題的是（）

A.過直線外一點有一條直線和已知直線平行

B?矩形都有外接圓

C.存在一個實數(shù)與它的相反數(shù)的和為0

D-0沒有倒數(shù)

B［命題“矩形都有外接圓”可改寫為“每一個矩形都有外接圓”，是全稱命

題.故選B.］

2.下列命題中為存在性命題的是（）

A.所有的整數(shù)都是有理數(shù)

B?三角形的內(nèi)角和都是180°

C.有些三角形是等腰三角形

D?正方形都是菱形

C［A,B,D為全稱命題，而C含有存在量詞“有些”，故為存在性命題.］

3.下列命題中，是全稱命題且是真命題的是（）

A.對任意的a,66R,都有序+反一？”-26+2<0

B?菱形的兩條對角線相等

C.VxGR,

D?對數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)

D［A中的命題是全稱命題，但a2+/>2—2?—2A4-2=（a—1）2+（/>—1）2^0,

故是假命題；B中的命題是全稱命題，但是假命題；C中的命題是全稱命題，

但舊=兇，故是假命題；很明顯D中的命題是全稱命題且是真命題，故選D.］

二、填空題

4.命題“Vx〉0,x2+x>0w的否定是.

［解析］因為全稱命題的否定是存在性命題，所以命題“Vx>0,9+x>

o”的否定是r+x/o”.

［答案］3x>0,x2+x^0

5.已知命題p：x2<4,則非〃為.

［解析］因為存在性命題的否定是全稱命題，所以非〃為VxGN,X224.

［答案］Vx￡N,X224

6.對任意*>3,恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

［解析］因為x>3時，x>a恒成立，所以“43.

［答案1(-8,3］

7.若命題“mxGR,使得x2+(a-l)x+1^0w為假命題，則實數(shù)a的取

值范圍是.

［解析］由條件知，"VxCR,W+Oz—l)x+l>0"為真命題，即(4—1)2—

4<0,解得一l<a<3.

［答案］(-1,3)

8.對下列命題的否定說法錯誤的是.

①〃：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，非p：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)；

②P：有些矩形是正方形，非p：所有的矩形都不是正方形；

③夕有的三角形為正三角形，非p：所有的三角形不都是正三角形；

④p：*+x+2W0,非p：VxGR,W+x+ZX).

［解析］根據(jù)含有一個量詞的命題的否定知③錯誤.

［答案］③

三、解答題

9.寫出下列命題的否定并判斷其真假.

(l)p：所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；

(2)p：每一個非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)；

(3)夕：存在一個三角形，它的內(nèi)角和不等于180°；

(4加：有的四邊形沒有外接圓；

(5步：某些梯形的對角線互相平分.

［解］(1)非p：存在一個末位數(shù)字是0或5的整數(shù)不能被5整除，假命題.

(2)非p:存在一個非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)，真命題.

(3)非p:任意三角形的內(nèi)角和都等于180。，真命題.

(4)非p:所有的四邊形都有外接圓，假命題.

(5)非p:所有梯形的對角線都不互相平分，真命題.

10.已知命題p：“至少存在一個實數(shù)*0仁［1,2］,使不等式爐+2批+2—4

〉0成立”為真，試求參數(shù)。的取值范圍.

［解］法一：由題意知，*2+2奴+2—4>0在［1,2］上有解，令於)=x?+2依

+2~a,則只需?1)>0或八2)>0,即1+2“+2—4>0或4+44+2-a>0.

整理得?>—3或2,

即”>一3.故參數(shù)a的取值范圍為(-3,+8).

法二：非p:VxG［1,2］,x2+2ax+2—a>0無解，

令J(x)=x2+2ax+2-a,

優(yōu)1)<0,［l+2a+2-a^0,

貝心即VII7解得后一3.

/(2)W0,［4+4a+2—a<0,

故命題p中，a>一3.

即參數(shù)a的取值范圍為(-3,+8).

［能力提升練］

1.有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：

pitVxCR,sin2r+cos2r=l；

P2：y￡R,sin(x-y)=sinx—siny；

/l-cos2x

P3：Vx^[0,n],\2=§inx；

P4：sinx=cosy^x+y=

其中的假命題是()

A[,.*VxGR,均有sin2r+cos2r=l,而不是J,故pi為假命題.當(dāng)x,y,

x—y有一個為2A元(A￡Z)時，sinx—§iny=sin(x—y)成立，故pz是真命題.Vcos

[—cos2x1-1+Zsin^x

2x=l-2sin2x,:.-----------=--------]-------=sin2x.又x￡[0,九]時，sinx^O,

/1—co§2x

Vx《[0,7r],均有\(zhòng)/--------=sinx,故p3是真命題.當(dāng)sinx=cosy,即

Cf時,

sinx=sinx=2kn+^-y或x+《一y，=(2A+l)九，即笨+丁=2〃兀+］或

x~y=2kn+^(k^Z),故為假命題.故選A.］

2.下列命題中，是假命題的是()

A.3mGR,使於)=(加-1)52—4,〃+3是募函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)

遞減

B-Va>0,函數(shù)/(x)=(lnx)2+lnx—a有零點

C.Ba,/SR,使cos(a+p)=cosa+sin/

D?V°CR,函數(shù)/(x)=sin(2x十0)都不是偶函數(shù)

_|

D「.,/(x)為幕函數(shù)，1=1,：.tn=2,.*./(x)=x).\/(2在(0,+

8)上單調(diào)遞減，故A中的命題為真命題；..？=(lnxp+lnx的值域為

一:，AVa>0,方程(lnx)2+lnx-n=0有解，即函數(shù)外)有零點，故

B中的命題為真命題；當(dāng)4=今，0=2兀時，cos(a+A)=cos<z+sin/成立，故C

中的命題為真命題；當(dāng)9=1時，/(x)=sin(2x+a=cos2x為偶函數(shù)，故D中的

命題為假命題.］

3.若命題“Vx2L/2屋，的否定為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為

［解析］命題“VxNl,WNa”的否定為“mxNLfva”為真命題，所

以“￡(1,+00).

［答案］(L+°°)

4.已知命題p：VxG［l,2］,X，一”20,命題qBxGR,xl+2ax+2-a

=0.若命題“p和4”都是真命題，求實數(shù)。的取值范圍.

［解］VxG［l,2］,x2—aNO,

即

當(dāng)x￡［l,2］時恒成立，

3xGR,X2+2?X+2-?=0>

即方程x2+2ax+2—n=0有實根，

.e.J=4a2-4(2-?)^0.

:?a&-2或

faWl,

又p和4為真，或心i,

:.a&-2或a=l.

課時分層作業(yè)（十六）

（建議用時：40分鐘）

［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、選擇題

1.已知點M到兩個定點4-1,0）和5（1,0）的距離之和是定值2,則動點M

的軌跡是（）

A一個橢圓

B?線段

C.線段的垂直平分線

D?直線AB

B［定值2等于|/為，

故點M只能在線段4s上.］

2.“好＜0”是“方程奴2+"2=。表示雙曲線，，的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A［當(dāng)方程表示雙曲線時，一定有必＜0,反之，當(dāng)好＜0時，若c=0,

則方程不表示雙曲線.］

3.已知尸1（一5,0）,尸2（5,0）,動點尸滿足|PQ|-|PB|=2a,當(dāng)a為3或5時,

點P的軌跡分別是（）

A.雙曲線和一條直線

B?雙曲線和一條射線

C.雙曲線的一支和一條直線

D?雙曲線的一支和一條射線

D［依題意得嗎尸2|=10,當(dāng)。=3時，2a=6＜\FiF2\,故點尸的軌跡為雙曲

線的一支；當(dāng)。=5時，2a=10=|FiF2|,故點尸的軌跡為一條射線.故選D.］

二、填空題

4.已知雙曲線的焦點為尸i,Fz,雙曲線上一點P滿足|PB一尸尸2|=2.若點

M也在雙曲線上，且MB=4,則MB=.

［解析］由雙曲線的定義可知，\MFi-MF2\=2.yLMFt=4,所以|4一MB|

=2,解得M尸2=2或6.

［答案】2或6

5.已知點Z(—1,0),5(1,0).曲線C上任意一點尸滿足扇2一而2=火|扇|一

I麗)W0.則動點P的軌跡是.

［解析］由條件可化簡為以十03=4,因為4>2=/5,

所以曲線C是橢圓.

［答案］橢圓

6.若點P到直線乂=-1的距離比它到點Q,0)的距離小1,則點尸的軌跡為

.(填“橢圓”、“雙曲線”、“拋物線”)

［解析］由題意P到直線*=-2的距離等于它到點(2,0)的距離，故點P的

軌跡為一條拋物線.

［答案］拋物線

7.已知平面上定點B,B及動點M,命題甲：尸1一加尸2|=2"(4為常數(shù)),

命題乙：點M的軌跡是以B為焦點的雙曲線，則甲是乙的條件.

［解析］根據(jù)雙曲線的定義，乙今甲，但甲乙，只有當(dāng)0<2a<|BB|

時，其軌跡才是雙曲線.故甲是乙的必要不充分條件.

［答案］必要不充分

8.△NSC的頂點4(0,-4),5(0,4),且4(sin6—sinN)=3sinC,則頂點

C的軌跡是.

［解析］運用正弦定理，將4(sin6—sin/)=3sinC轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，即

4匿一會)=3></，則/C—8C=%8=6<4B.顯然'頂點C的軌跡是以''B

為焦點的雙曲線的上支去掉點(0,3).

［答案］以/,8為焦點的雙曲線的上支去掉點(0,3)

三、解答題

9.已知動點M的坐標(biāo)(x,刃滿足方程2(x—l)2+2(y—l)2=(x+y+6)2,試

確定動點M的軌跡.

［解］方程可變形為也

Y一a—1)2+?-1)2表示點M到點(1,1)的距離，

區(qū)3??表示點M到直線x+j+6=o的距離.

\l(x-1

又由VI—L=1知點加到定點(I4)的距離等于點知到直線x+y

+6=0的距離.

由拋物線的定義知點M的軌跡是拋物線.

10.一炮彈在某處爆炸，在尸1(一5000,0)處聽到爆炸聲的時間比在F2(5

000,0)處晚曙s,已知坐標(biāo)軸的單位長度為1m,聲速為340m/s,爆炸點應(yīng)在

什么樣的曲線上？

［解］由聲速為340m/s,可知Fi,B兩處與爆炸點的距離差為340

=6000(m),且小于尸i尸2=10000(m),

因此爆炸點在以E,b2為焦點的雙曲線上，

又因為爆炸點離尸1處比尸2處更遠(yuǎn)，所以爆炸點應(yīng)在靠近尸2處的雙曲線一

支上.

［能力提升練］

1.已知點尸(*,J)的坐標(biāo)滿足句(工-1)2+8—l)2—\/(x+3)2+(y+3)2=±4,

則動點尸的軌跡是.

［解析］方程表示點至1(1,1)和(一3,-3)兩點的距離差，

???4<^(1+3)2+(1+3)2,.?.點P的軌跡是雙曲線.

［答案］雙曲線

2.已知橢圓上一點P到兩焦點入，B的距離之和為20,則PFrPB的最

大值為

/、22

=倒=100.

［解析］由條件知PQ+P尸2=20,

當(dāng)且僅當(dāng)PFi=PB時取得等號.

［答案］100

3.如圖，一圓形紙片的圓心為O,廠是圓內(nèi)一定

點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與b重合，然

后抹平紙片，折痕為C。，設(shè)C0與交于點尸，則點

P的軌跡是.

［解析］連接正P(圖略)，,:M,/關(guān)于直線C0對稱,

:.PF=PM,：.PF+PO=OP+PM=

'：OM>OF,

.?.點P的軌跡是以尸，O為焦點的橢圓.

［答案］以RO為焦點的橢圓

4.在△/5C中，5(—6,0),4(0,8),且sinB,sinA,sinC成等差數(shù)列.

(1)頂點”的軌跡是什么？

(2)指出軌跡的焦點和焦距.

［解］(1)由sin5,sinA,sinC成等差數(shù)列,得sin6+sinC=2sin4由

正弦定理可得AB+AC=2BC.

又因為8C=10,所以/5+/C=20,且20>5C,

所以點A的軌跡是橢圓(除去直線5c與橢圓的交點).

⑵橢圓的焦點為5,C,焦距為10.

課時分層作業(yè)(十七)

(建議用時：40分鐘)

［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、選擇題

1.已知橢圓心~+一匕=1的長軸在J軸上.若焦距為4,則m等于

Ivillfit/

()

A.4B.7C.5D.8

D［將橢圓的方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)形式為77上=不+1冷=3=1.

（弋旭一2y（yio—

由題意知/?—2>10—/?>0,即6V—V10.由N〃i—2）2一川10—〃。2=22,

解得帆=8,滿足題意.］

2.已知橢圓\+爐=1的左、右焦點分別為Q,Fi,點尸在橢圓上，則

|PQ|?|P尸2|的最大值是（）

A.8B.2啦C.10D.4^2

A［由橢圓的定義得，

|PFi|+|PB|=2a=4啦，

：.\PF\|-=8（當(dāng)且僅當(dāng)|PFi|=|PB|時取等號）.

3.過橢圓4*+"=1的一個焦點B的直線與橢圓交于/,B兩點,則/與

5和橢圓的另一個焦點后構(gòu)成的/2的周長為（）

A.2B.4C.8D.2啦

B［因為橢圓方程為4x2+j2=l,所以。=1.根據(jù)橢圓的定義，知△45F2

的周長為|A5|+\AF2\+\BF2\=|AFI|+\BFI\+|AF2|+\BF2\=（|AFi|+|AF2|）+

（|BFi|+|BF2|）=4a=4.］

二、填空題

x2v2

4.若方程^一一J=1表示焦點在J，軸上的橢圓，那么實數(shù)m的取值范

/wnr—2

圍是.

［解析］?.?方程￡一工彳=1表示焦點在y軸上的橢圓，將方程改寫為

mm-2

22（2—m2>m

尸vfv.?.有c9

2-m2m［/w>0,

解得0<雁<1.

［答案］（0,1）

5.設(shè)尸是橢圓會+臺=1上一點，點尸到兩焦點R,B的距離之差為2,

lo1Z

則△PBB是三角形（填“直角”“銳角”或“鈍角”）

［解析］不妨設(shè)尸人>尸產(chǎn)2,由條件知尸F(xiàn)i—尸尸2=2,又"i+PB=2a=8,

解得PFi=5,PB=3.

又丁尸1尸2=2c=2^/16-12=4,：.FiFi+PFi=PFl,

故△PBB是直角三角形.

［答案］直角

6.設(shè)B,Fi是橢圓需+?=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且

|PB|:|PB|=4：3,則△PBB的面積為.

［解析］根據(jù)橢圓定義有

\\PFX\：|P尸2|=4：3,

'\PFl\+\PF2\=7,因此|PB|=4,|PB|=3.又因為尸畫=5,因此

△PEB為直角三角形，5APFIF2=1X3X4=6.

［答案］6

7.過點(審,一函且與橢圓各￡1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

［解析］橢圓:+5=1的焦點為(0,—4),(0,4),即c=4.由橢圓的定義知,

2?=

0)2+(—A/5+4)2+^/(V3-0)2+(—^/5—4)2,

解得a=2y［5.

由c2=/一反，可得方2=%所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+?=i.

［答案15+9=1

2狩

8.橢圓x臺+手=1的一個焦點為E,點尸在橢圓上，如果線段PB的中點

M在y軸上，那么點M的縱坐標(biāo)是.

［解析］設(shè)橢圓的另一焦點為尸2,由條件可知PF2〃OM,...PBL：軸.設(shè)

P點縱坐標(biāo)為y，則由擊'+々=1,得7=土申，

1.4J乙

,,V3

?二點M的縱坐標(biāo)為土號

［答案］土申

三、解答題

9.已知為，尸2是橢圓C：7+11=1(4〉?！?)的兩個焦點，P為橢圓C上

的一點，且PE_LPB,若的面積為9,求力的值.

［解］如圖所示，PFJPF2,FtF2=2c,

根據(jù)橢圓的定義可知，PFi+PF2=2a,

在RtZXBPB中，P戶?+尸用=4。2.

又SAPFiFi=|PFIPF2=9,即PF「PF2=18.

222

，(PFI+PF2)=PF\+PF^+2PFIPF2=4C+36=4?,

/.4a2—4c2=36,

即/一c2=%即〃2=9,:.b=3.

10.求符合下列條件的參數(shù)的值或取值范圍.

⑴若方程x2+"=2表示焦點在X軸上的橢圓，求〃的取值范圍;

(2)若橢圓8爐/一〃產(chǎn)=8的一個焦點為(0,小),求人的值.

達(dá)

［解］(1)原方程可化為彳+2

一

〃

〃>0,

?.?其表示焦點在X軸上的橢圓，，2解得A>1.故4的取值范圍是(1,

產(chǎn)2，

+°°).

(2)原方程可化為"+々-=1

10

Q1

由題意得|一/R，

fA<0,

故k的值為一1或一；.

［能力提升練］

1.以圓(X—l)2+"=i的圓心為橢圓的右焦點，且過點(1,號的橢圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程為()

A與丐=1B號+(=1

C岑+產(chǎn)1D.x2+年=1

B|由已知c=l,且焦點在x軸上，

設(shè)橢圓方程為5+士7=1,

a廢一1

將點(1,1)代入求得a2=4或"2=/舍去).

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2.已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為

5,3,過P且與x軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，則橢圓的方程為

［解析】由題意知橢圓焦點在X軸上，設(shè)所求的橢圓方程為也+%=1(">人

>0),

2a=5+3,

由已知條件得

(2C)2=52-32,

解得a=4,c=2,b2=12.

故所求方程為奈

懵案1》JI

3.“而〃>0”是“方程〃/+中=i表示的曲線是橢圓”的條件.

［解析］由方程耀/+即2=1,得1+字=［,所以要使

mn

產(chǎn)>0,

方程mx2+ny2=l表示的曲線是橢圓，則<1即陽>0,〃>0且

zun,

<m^n,

〃1W〃.所以“膽〃>0”是“方程mx2+ny2=l表示的曲線是橢圓”的必要不充分

條件.

［答案］必要不充分

22

4.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x卷+5v=1的>0),焦距為6,求實數(shù)的值.

［解］①當(dāng)橢圓焦點在X軸上時，

由2c=6,得c=3.

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;：2=1(〃7>0)，

ZDm

22

得層=25,b=m9

所以/w2=25—9=16.

因為m>09所以m=4.

②當(dāng)橢圓焦點在j，軸上時，由2c=6,得c=3.

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為〃

2,65+nt2—1(7>0),

得層=”產(chǎn),1,2=25,

所以〃產(chǎn)=25+9=34.

因為”?>0,所以m=y［34.

綜上所述，實數(shù)”1的值為4或回.

課時分層作業(yè)(十八)

(建議用時：40分鐘)

［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、選擇題

X2V2

1.已知橢圓束+%=1（〃，>0）的左焦點為尸|（一4,0）,則m等于（）

A.2B.3C.4D.9

B［由題意知25—/?2=16,解得帆2=%又機>0,所以機=3.］

2.已知橢圓C的短軸長為6,離心率為小則橢圓C的焦點尸到長軸的一

個端點的距離為（）

A.9B.1

C.1或9D.以上都不對

'b=3,

c4

C『解得〃=5,b=3,c=4.

??2=/>2+c2,

工橢圓C的焦點產(chǎn)到長軸的一個端點的距離為a+c=9或a-c=l.|

3.若直線,〃x+〃y=4和圓O：9+>2=4沒有交點，則過點PQ”，〃）的直

Y2V2

線與橢圓1的交點個數(shù)為（）

A.2B.1C.0D.0或1

4

A［由題意，得/,,,>2,所以〃產(chǎn)+/V4,則一2V/wV2,-2</i<2,

y/ffr+fi2

所以點〃）在橢圓卷+號=1內(nèi)，則過點PQ”，〃）的直線與橢圓］?+號=1有

2個交點.故選A.］

二、填空題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，長軸在軸上，離心率為且上

4.Gx2，G

一點到G的兩個焦點的距離之和為12,則橢圓G的方程為.

［解析］由題意得2a=12,所以n=6,c=35，8=3.故橢圓方程

U乙

為奈卡=L

［答案］今喏=1

5.橢圓5+1=1的離心率為點則實數(shù)利的值為________.

fflJ/

2

［解析］當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，a=m9力2=4,且/w>4,則《2=7=1

從41.16

—aL=1—tn=T4,..zw=3v；

當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，a2=4,b2=m，且0V，〃V4,

r11,〈力2，〃1

則e=浜=1_/=1一彳=7??陽=3.

［答案J3或號

*2

6.橢圓7+v==1（，>〃>0）的左焦點/到過頂點/（一4,0）,5（0,〃）的直線

的距離等于妄，則橢圓的離心率為

［解析］由題意知直線的方程為方=1,Fpbx—ay+ab=O.

，八」，，|——。力+〃萬|b

左焦點為F（—c,0）,則.丁+:丁=赤?

Ay［i（a—c）=yja2+b2,

A7（iz-c）2=a2+62=a2+a2—c2=2a2—c2,即5a2—14ac+8c2=0,

，8/—14e+5=0,解得或e=*

又V9??e=不?

［答案］I

7.某航天飛行控制中心對某衛(wèi)星成功實施了第二次近

月制動，衛(wèi)星順利進(jìn)入周期為3.5h的環(huán)月小橢圓軌道（以月/is

球球心為焦點）.衛(wèi)星遠(yuǎn)月點（距離月球表面最遠(yuǎn)的點）高度降匚/

至1700km,近月點（距離月球表面最近的點）高度是200

km,月球的半徑約是1800km,且近月點、遠(yuǎn)月點及月球的球心在同一直線上,

此時小橢圓軌道的離心率是.

［解析］可設(shè)小橢圓的長軸長為2a,焦距為2c,由已知得

2?=1700+2X1800+200,：.a=l750.

又〃+c=l700+1800,???c=750.

.c7503

??^=?=2750=ir

3

［答案】n

8.過橢圓$+2/2=4的左焦點作傾斜角為30。的直線，交橢圓于4,5兩

點，則弦長/5=.

［解析］橢圓左焦點為（一近，0）,

...直線方程為y=^（x+?

由《夕3（*+啦），得5X2+4^2X—8=0,

J?+2y2=4

8

-

Axi+x25，x\xi=

5J

，弦長AB=

［答案］y

三、解答題

9.若橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，點P是橢圓上的一點，P在x軸

上的射影恰為橢圓的左焦點，P與中心。的連線平行于右頂點與上頂點的連線,

且左焦點與左頂點的距離等于屈一小，試求橢圓的離心率及其方程.

Fv2

［解］令X=-C,代入涓+1=1（。＞方＞0）,

得戶從1-符=*...尸土,

設(shè)《一C,。），橢圓的右頂點/（4,0）,上頂點3（0,b）.

'：OP//AB,：.kop=kAB,?,?一￡=-%

:.b=c.而a2=h1^-c2=lc21a=y［ic,：??='=.

9a/?

又'；a—c=y［'R—#,解得c=\l5,:.b=y［^,

，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為普+1=1.

10.設(shè)直線y=x+/＞與橢圓］*+y2=l相交于/,B兩個不同的點.

(1)求實數(shù)〃的取值范圍；

(2)當(dāng)6=1時，求|/5|.

［解］(1)將y=x+/＞代入手+V=L

消去y,整理得3x2+4加c+2A2—2=0.①

因為直線y=*+6與橢圓；+產(chǎn)=1相交于4,5兩個不同的點，

所以/=16從一12(2加-2)=24—8/?2＞0,

解得一?。糱＜小.

所以〃的取值范圍為(一切，巾).

(2)設(shè)/(xi,y\),5(x2,丁2).

當(dāng)〃=1時，方程①為3x2+4x=0.

——4

解得Xl=0,X2=—

所以yi=LJ2=—1.

所以|/5|=.(XLX2)2+(yi-＞2)2=^^.

［能力提升練］

1.已知以為(一2,0),B(2,0)為焦點的橢圓與直線*+同+4=0有且僅有

一個交點，則橢圓的長軸長為()

A.3啦B.2#C.2s

D.472

股A2+孫2=1

C［設(shè)橢圓的方程為〃山+町^=1(〃層〃＞0),聯(lián)立x+y[3y+4=0，消去

x,得（3〃1+〃?2+8#,町+16〃2—1=0,/=192〃z2—4（16〃】-1）（3機+〃）=0,整

31

理得3〃z+/i=16/w〃，^p-+-=16①.又由焦點尸1（一2,0）,尸2（2,0）在x軸上，

r_i

11|/M-7*22

得金一2=4②，聯(lián)立①②，解得|,故橢圓的方程為5+(=1,所以

，，土>>I1I/

ln=3

長軸長為2市.故選C.］

2.若/為橢圓f+4爐=4的右頂點，以/為直角頂點作一個內(nèi)接于橢圓

的等腰直角三角形，則該三角形的面積為.

［解析］由題意得，該三角形的兩直角邊關(guān)于*軸對稱，且其中一邊在過點

z4(2,0),斜率為1的直線上，且此直線的方程為y=x-2,代入f+4y=4,得

5X2—16x4-12=0,解得xi=2,X2=**x=/代入橢圓方程，得尸土點所以三

角形的面積S=；x［><(2—：)=票.

［答案】瞿

r2v2

3.過橢圓C：/+］=1僅2>0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于

另一個點5,且點5在x軸上的射影恰好為右焦點尸，若上A<|，則橢圓離心率

JN

的取值范圍是.

［解析］因為;<A<；,所以點6在第一象限.由題意可知點6的坐標(biāo)為

(C,因為點Z的坐標(biāo)為(-4,0),

Rc/>2

—0,—0,

~a~1。1

所以A=-T-,所以.V,V彳.

c十〃3c-ra2

絲_0

(I力2層一〃。一。1

又因為/>2=/一〃，所以_=1一e,所以；vl一

c十〃ac十片aL+aca3

e<j,解得故橢圓離心率的取值范圍是g；).

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：5+^1

=l(a〉〃〉0)的左、右焦點分別為B,Fi,點P(3,l)在橢

圓上，△PB/2的面積為2啦.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若點。在橢圓C上，且求。尸「。尸2的值；

(3)設(shè)直線夕=x+A與橢圓C相交于/、B兩點,若以Z5為直徑的圓經(jīng)過坐

標(biāo)原點，求實數(shù)〃的值.

［解］(1)?.?橢圓過點P(3,l),

?*+/=L

又SaPFiB=；X2cXl=2啦，解得c=2啦.

又42=〃2+c2解得〃2=12,62=%

二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+［=l.

1xq

TT

(2)當(dāng)//1。尸2=§時,

,產(chǎn)1+2/2=24=45，

有《n

[。收+2問一2。尸1?2Bcosj=(2c)2=32,

'?QF\'QFi=~y-

(3)設(shè)4*1，)1)，5(X2,J2)>得4X2+6AX+3A2-12=0,

,,.3k3A2—12A2-12

故xi+x2=一-2'*1X2=4，yty2=―-.

V以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，

OA-OB=xiX2+J1J2=k2-6=0,解得k=±\[6,

此時/=120>0,滿足條件，因此A=i\M.

課時分層作業(yè)（十九）

（建議用時：40分鐘）

［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練］

一、選擇題

1.雙曲線5+」彳=1的焦距為（）

aa—1

A.1B.2

C.2.2a-1D.2y/l-2a

B［Va（?-l）<0,.,.0<a<l,方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為場一亡^=1,.\c2=

a+l~a=l,焦距2c=2.］

2.若雙曲線手一號=1上的一點P到它的右焦點的距離為8,則點尸到它

的左焦點的距離是（）

A.4B.12C.