現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)

現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)

?前言

?第一章緒論

?第二章集合和映射

?第一節(jié)集合和集合論

?第二節(jié)關(guān)系和映射

?第三節(jié)從集合論觀點(diǎn)看中學(xué)數(shù)學(xué)

*第四節(jié)集合的序數(shù)和基數(shù)

?研究與思考題

?第三章代數(shù)

?第一節(jié)代數(shù)運(yùn)算

?第二節(jié)與中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)的代數(shù)系統(tǒng)

?第三節(jié)歸納原理和數(shù)學(xué)歸納法

?*第四節(jié)有限群和代數(shù)方程根式解

?研究與思考題

?第四章數(shù)系

?第一節(jié)自然數(shù)和數(shù)的擴(kuò)充

?第二節(jié)整數(shù)環(huán)和有理數(shù)域

?第三節(jié)實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域

第四節(jié)代數(shù)數(shù)、超越數(shù)和作圖不能問(wèn)題

研究與思考題

?第五章幾何

?第一節(jié)歐氏幾何與非歐幾何

?*第二節(jié)幾何基礎(chǔ)

?*第三節(jié)幾何學(xué)的向量結(jié)構(gòu)和度量結(jié)構(gòu)

?第四節(jié)中學(xué)幾何的幾個(gè)問(wèn)題

?研究與思考題

?第六章圖形

?第一節(jié)圖形的一般性質(zhì)

?第二節(jié)曲面和閉曲面

?第三節(jié)關(guān)于圖形的組合問(wèn)題

?第四節(jié)圖及其應(yīng)用

?研究與思考題

?第七章實(shí)值函數(shù)

?第一節(jié)數(shù)列

?第二節(jié)基本初等函數(shù)和函數(shù)方程

?第三節(jié)周期函數(shù)和分段函數(shù)

?第四節(jié)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中幾個(gè)函數(shù)問(wèn)題

?研究與思考題

?第八章不等式

?第一節(jié)從集合論觀點(diǎn)看不等式

第二節(jié)證明不等式的函數(shù)方法

第三節(jié)函數(shù)極值

第1頁(yè)，共293頁(yè)

?第四節(jié)線性不等式組和線性規(guī)劃

?研究與思考題

?第九章概率統(tǒng)計(jì)

?第一節(jié)隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述

?第二節(jié)概率和概率分布

?第三節(jié)統(tǒng)計(jì)推斷

?第四節(jié)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

?研究與思考題

?問(wèn)題答案和提示

前言

在我國(guó)高等師范院校包括教育學(xué)院中，無(wú)論是文、史、地、還是理、

化、生等各專業(yè)，所開設(shè)的專業(yè)課程，都是中學(xué)相應(yīng)課程內(nèi)容的加深、加

廣，螺旋式上升.因此，這些專業(yè)的畢業(yè)生到中學(xué)任教后，能夠較好地解

決“居高臨下”的問(wèn)題.而數(shù)學(xué)專業(yè)則是個(gè)例外.除微積分外，大學(xué)數(shù)學(xué)

課程所講的高等數(shù)學(xué)，與中學(xué)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、研究方法都有本質(zhì)的不同,

中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)是直線上升.大部分高等數(shù)學(xué)課程與中學(xué)數(shù)學(xué)嚴(yán)重脫

節(jié)，學(xué)生所學(xué)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系不上，“居高”而不能“臨下”.以

致數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生到中學(xué)后，往往需要重新學(xué)習(xí)相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間，才能熟

悉和掌握中學(xué)數(shù)學(xué)教材，勝任教學(xué)工作.

因此，高師數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)改革的一個(gè)迫切任務(wù)，就是要解決如何在現(xiàn)

代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)指導(dǎo)下，加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系.

本書是我國(guó)高師八五教材規(guī)劃中數(shù)學(xué)教育系列選修課教材之一.它的

主要任務(wù)就是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下，溝通高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系.它

的內(nèi)容主要有三個(gè)方面：一是將現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想和方法滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)中

去；二是用具體材料來(lái)說(shuō)明高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義；三是指出中

學(xué)數(shù)學(xué)某些難以處理的問(wèn)題的高等數(shù)學(xué)背景.

本書假定讀者已學(xué)過(guò)大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程一一數(shù)學(xué)分析、高等代

數(shù)、高等幾何、概率統(tǒng)計(jì)等.書中所聯(lián)系的中學(xué)數(shù)學(xué)，是指現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)

教材和競(jìng)賽數(shù)學(xué)中的某些內(nèi)容.

全書共九章，除緒論外，以中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容除微積分外為線索，分別

講述集合與映射、代數(shù)、數(shù)系、幾何、圖形、數(shù)值函數(shù)、不等式和概率統(tǒng)

計(jì).各章之間，既注意到一定的邏輯聯(lián)系，又具有相對(duì)獨(dú)立性.每章編有

研究和思考題，書末附有這些問(wèn)題的提示和答案，以及參考書目.

考慮到高師數(shù)學(xué)本科、?？坪屠^續(xù)教育的不同需要，其中部分可作選

讀的內(nèi)容加了“*”號(hào).全書安排教學(xué)課時(shí)在54?72之間.

在本書編寫和審稿過(guò)程中，得到過(guò)下列各位先生的幫助和指導(dǎo)：張奠

宙教授、鄒一心教授華東師大、李長(zhǎng)明教授貴州教育學(xué)院、唐復(fù)蘇教

第2頁(yè)，共293頁(yè)

授蘇州大學(xué)、戴再平教授浙江教育學(xué)院、趙振威教授常熟高專、沈

幼璋、沈傳龍、盧冠軍、王岳庭副教授杭州教院、任毅副教授蕪湖教

院、孫熙椿副教授江西師大和丁萬(wàn)鼎教授安徽師大等.謹(jǐn)向他們表

示衷心的感謝.我們還要特別感謝高等教育出版社的高尚華副編審，他在

本書編寫的全過(guò)程中，始終給以極大的關(guān)心、支持和指導(dǎo).

本書是在初稿《中學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代理論基礎(chǔ)》講義的基礎(chǔ)上修改而成

的.初稿由下列先生提供：胡炳生第一、二、十章，第七章第三節(jié)，第

八章第一、五節(jié)，吳俊第三、四章，孫國(guó)漢第五、六章，王佩瑾第

九、十一章，第七、八章其余部分.胡炳生根據(jù)審稿會(huì)意見和建議，并

參考其他作者的意見，對(duì)全書進(jìn)行全面修改，將原稿十一章精簡(jiǎn)成九章.吳

俊參加了全稿的修改工作，并對(duì)書中術(shù)語(yǔ)、外國(guó)人譯名和符號(hào)，進(jìn)行了統(tǒng)

一和標(biāo)準(zhǔn)化工作.

編寫本書是作者的一個(gè)嘗試，是關(guān)于這個(gè)課題研究的初步結(jié)果.盡管

我們作了種種努力，廣泛吸收國(guó)內(nèi)外有關(guān)研究成果，但限于知識(shí)水平和教

學(xué)經(jīng)驗(yàn)，許多問(wèn)題還未很好研究，對(duì)某些問(wèn)題的看法也未必妥當(dāng)，書中一

定還存在不少缺點(diǎn)和錯(cuò)誤.誠(chéng)懇希望廣大讀者予以批評(píng)和指正.

作者于安徽師大

1997年12月

第一章緒論

本書的主題是，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)指導(dǎo)下，研究高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的

聯(lián)系.因此，我們首先要說(shuō)明什么是現(xiàn)代數(shù)學(xué)，什么是中學(xué)數(shù)學(xué)，以及高

等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系的途徑和方法.

1.現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其特點(diǎn)

一般說(shuō)來(lái)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)30年代以后誕生的數(shù)學(xué).它的主要

標(biāo)志是：Lobatchevsky1792-1856、Gauss1777-1855和

J.Bolyai1802-1860創(chuàng)立非歐幾何，Galois1811-1832創(chuàng)立群論,

Hamilton1805-1865創(chuàng)立四元數(shù)，以及Cantor1845—1918創(chuàng)立集合

論.從那以后發(fā)展起來(lái)的非歐幾何、抽象代數(shù)、集合論、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分

析、數(shù)理邏輯、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等，都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容.

現(xiàn)代數(shù)學(xué)，跟以微積分、解析幾何為基本內(nèi)容的古典高等數(shù)學(xué)相比，

在研究對(duì)象和研究方法上都與初等數(shù)學(xué)有顯著的不同.

在研究對(duì)象上，初等數(shù)學(xué)以數(shù)和三維空間的圖形為主要研究對(duì)象，現(xiàn)

代數(shù)學(xué)則以任意集合及其間的種種關(guān)系為研究對(duì)象在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，數(shù)推廣

成一般集合的元素；數(shù)的計(jì)算推廣為集合中元素的一般運(yùn)算；函數(shù)推廣為

集合的映射；曲面、曲線推廣為一般空間的任意流形，等等.

第3頁(yè)，共293頁(yè)

如果說(shuō)，恩格斯在一百多年前所說(shuō)，純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間

形式和數(shù)量關(guān)系，主要是對(duì)集合論產(chǎn)生以前的數(shù)學(xué)研究對(duì)象的科學(xué)概括的

話，那么，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)而言，今天就要對(duì)“空間形式”和“數(shù)量關(guān)系”作

本質(zhì)上的推廣.“空間形式”應(yīng)理解為抽象空間的任一子集；“數(shù)量關(guān)系”

應(yīng)理解為集合與集合之間的一般關(guān)系.

在思想觀念和方法上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)以集合論為基礎(chǔ)，普遍采用公理化方

法和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)進(jìn)行統(tǒng)一處理.如Kolmogorov1903-1987所說(shuō)：現(xiàn)

代數(shù)學(xué)的觀念就是：

1純集合論是所有數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

2數(shù)學(xué)的各專門分支研究某一特殊類型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，每一結(jié)構(gòu)類型

由相應(yīng)的公理體系確定.數(shù)學(xué)所感興趣的僅僅是結(jié)構(gòu)的一些性質(zhì)，它們是

由所采用的公理體系導(dǎo)出的，即研究結(jié)構(gòu)僅僅精確到同構(gòu).

因此，集合論觀點(diǎn)、公理化觀點(diǎn)、結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)和同構(gòu)觀點(diǎn)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)

的基本觀點(diǎn).

此外，電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，“機(jī)器證明論”的興起，正在

改變以前人們只承認(rèn)邏輯證明的傳統(tǒng)觀點(diǎn).

在數(shù)學(xué)語(yǔ)言上，現(xiàn)代數(shù)學(xué)全面使用集合論符號(hào)和數(shù)理邏輯符號(hào)，使其

語(yǔ)言更加統(tǒng)一和形式化，因此，也更加準(zhǔn)確和簡(jiǎn)煉.

在應(yīng)用上，不僅現(xiàn)代數(shù)學(xué)在力學(xué)、物理、天文、化學(xué)、機(jī)械學(xué)等傳統(tǒng)

領(lǐng)域中的應(yīng)用不斷拓廣和加深，而且對(duì)于生物學(xué)、地學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)，甚至語(yǔ)

言學(xué)、歷史學(xué)和社會(huì)學(xué)等原來(lái)不用或少用數(shù)學(xué)的學(xué)科領(lǐng)域，數(shù)學(xué)的應(yīng)用也

越來(lái)越廣泛，越來(lái)越顯得重要.

現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，它已經(jīng)劃分為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)技術(shù)

三大部分，而數(shù)學(xué)技術(shù)是“未來(lái)高科技的核心”.

2.中學(xué)數(shù)學(xué)改革的新要求

中學(xué)數(shù)學(xué)，是指在中學(xué)數(shù)學(xué)教材和課外活動(dòng)數(shù)學(xué)競(jìng)賽等中所包含的

數(shù)學(xué).因此，隨著中學(xué)教材的改革和更新，隨著數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)的發(fā)展，中

學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容也在不斷變化和發(fā)展.

從現(xiàn)在起到21世紀(jì)初，正是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革、教材全面更新

的時(shí)期.九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材已經(jīng)普遍使用；與此相銜接的新編高

中數(shù)學(xué)教材試驗(yàn)本1997年已經(jīng)在部分省市試用，并將于1999年在全國(guó)

使用與原有中學(xué)數(shù)學(xué)教材相比，新教材在編寫思想和內(nèi)容選擇等方面，有

很大的進(jìn)步.

第4頁(yè)，共293頁(yè)

首先，新編高中教材更新了內(nèi)容，刪減了傳統(tǒng)初等數(shù)學(xué)中次要的、用

處不大的，或?qū)W生學(xué)習(xí)有困難的內(nèi)容，如皋函數(shù)、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、

一些三角恒等式、反三角函數(shù)、三角方程，以及立體幾何中的梭臺(tái)、圓臺(tái)

等；新增了向量、簡(jiǎn)易邏輯、概率統(tǒng)計(jì)和微積分初步.

其次，改革了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)知識(shí)的處理方式和數(shù)學(xué)語(yǔ)言，廣泛地使用集合

符號(hào)、邏輯符號(hào)和標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量單位和符號(hào)，使用向量代數(shù)方法證明余弦定理,

處理空間線、面關(guān)系等.

第三，高中數(shù)學(xué)不再分科編寫，而是把多科數(shù)學(xué)內(nèi)容綜合為一門數(shù)學(xué)

教材，注意溝通各科知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，注意數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用.

與此同時(shí)，全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，主要是全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、中國(guó)數(shù)

學(xué)奧林匹克和國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克IMO的水平不斷提高，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想

和方法的滲透越來(lái)越普遍和深入.

這就要求中學(xué)數(shù)學(xué)教師拓寬知識(shí)面，提高綜合素質(zhì).因此，高師數(shù)學(xué)

專業(yè)不僅要有足夠多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程，而且要有相應(yīng)的課程指導(dǎo)學(xué)生用現(xiàn)

代數(shù)學(xué)思想、觀點(diǎn)和方法，將高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)，同時(shí)要培養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力.

3.高等數(shù)學(xué)聯(lián)系中學(xué)數(shù)學(xué)的途徑和方法

盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度抽象性，使它與中學(xué)數(shù)學(xué)拉大了距離，但從數(shù)學(xué)

發(fā)展的歷史來(lái)看，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是多級(jí)抽象的結(jié)果.它的原型和特例大都來(lái)自

變量數(shù)學(xué)，變量數(shù)學(xué)的原型和特例又來(lái)自常量數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)無(wú)疑最終還是

扎根于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系之中.

中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識(shí)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的

基礎(chǔ)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多不是全部概念和理論的原型和特例所在.因此,

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看中學(xué)數(shù)學(xué)，首先就要把現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的某些概念和理論

與中學(xué)數(shù)學(xué)里相應(yīng)的原型和特例聯(lián)系起來(lái).這樣，就不僅能夠加深對(duì)現(xiàn)代

數(shù)學(xué)的理解，而且能使我們準(zhǔn)確把握中學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和關(guān)鍵.從而高屋建

新地處理中學(xué)教材，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，提高教學(xué)

質(zhì)量和教學(xué)水平.

第5頁(yè)，共293頁(yè)

例如，數(shù)集和點(diǎn)集平面的和空間的是集合的特例.在高一講述“集

合”之后，在代數(shù)、立體幾何和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)中，可以而且應(yīng)當(dāng)普

遍使用集合符號(hào)，逐步使數(shù)學(xué)語(yǔ)言規(guī)范化.

整數(shù)環(huán)是可換環(huán)的原型，有理數(shù)域是域的原型，數(shù)的四則運(yùn)算是二元

運(yùn)算的特例，數(shù)值函數(shù)是映射的特例，變換又是特殊的函數(shù).它們都是集

合元素之間的對(duì)應(yīng)，而對(duì)應(yīng)法則并不限于解析表達(dá)式.由此，對(duì)于非常規(guī)

運(yùn)算和非常規(guī)函數(shù)如取整函數(shù)［X）等的理解，就不會(huì)發(fā)生困難.

平面和三維歐氏空間，是一般度量空間的原型，平面和立體幾何中有

關(guān)概念、公式，如兩點(diǎn)間距離、三角形不等式、鄰域、開集、閉集等，都

可以向高維空間、一般空間推廣.而距離空間又是拓?fù)淇臻g的特例.反過(guò)

來(lái)，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看歐氏空間，三角形不等式是一個(gè)基本不等式，鄰

域是一個(gè)基本概念.

其次，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)中某些不易交待清楚的問(wèn)題，要了解其在數(shù)學(xué)史

上產(chǎn)生和解決的過(guò)程，弄清楚它們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)里的背景.例如，為什么把

“0”作為第一個(gè)自然數(shù)？自然數(shù)與有理數(shù)、實(shí)數(shù)相比較，孰多孰少？何

謂作圖不能問(wèn)題？如何來(lái)判定它們……這些對(duì)于中學(xué)生未必要搞清的問(wèn)

題，中學(xué)數(shù)學(xué)教師則必須弄清楚其中道理.這就要求我們利用數(shù)學(xué)史和高

等數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)這些問(wèn)題予以說(shuō)明.當(dāng)學(xué)生提出這些疑問(wèn)時(shí)，能夠通俗地

給以科學(xué)的回答.

第三，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想方法，指導(dǎo)中學(xué)的問(wèn)題解決.例如，根據(jù)同構(gòu)

觀點(diǎn)，利用“關(guān)系映射反演原則”RMI對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)變換和求解.利

用邏輯真假值表來(lái)檢驗(yàn)命題證明過(guò)程的正確性.利用向量代數(shù)方法證明平

面和立體幾何題.利用射影變換、仿射變換方法對(duì)某些幾何題尋求證明思

路等.

又如，從公理化觀點(diǎn)來(lái)看，任何一門學(xué)科都要有一些基本概念和公理

作為理論的出發(fā)點(diǎn)；各個(gè)命題之間，都要有邏輯的先后順序，中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)

然也不能例外.現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材是各科知識(shí)的綜合和融會(huì)，更要注意此

點(diǎn).既不能對(duì)其中基本概念如集合等給以“定義”，也不能犯“循環(huán)定

義”的毛病.既不能對(duì)已明確為“公理”的命題如“邊角邊”公理等

給以“證明”，也不能犯“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.

總之，要力求將現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想全面滲透入中學(xué)數(shù)學(xué)，要在高等數(shù)學(xué)概

念、理論的通俗化，與中學(xué)數(shù)學(xué)概念、理論的抽象化上，尋找現(xiàn)代數(shù)學(xué)與

中學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn).以下各章，就是這種努力的一些初步結(jié)果.我們希望

讀者能從這些材料中得到若干啟示，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下，繼續(xù)深入研究和

發(fā)掘高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)更普遍、更深入的聯(lián)系.

第6頁(yè)，共293頁(yè)

第二章集合和映射

集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，映射是集合論中用以建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)概

念和理論的基本工具和手段.不僅如此，集合和映射作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種

重要思想方法，一種簡(jiǎn)單而明確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，有效地適用于數(shù)學(xué)的各個(gè)分

支.自然，集合和映射，也是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ).

集合和映射，現(xiàn)已列入中學(xué)數(shù)學(xué)教材，這是實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教材現(xiàn)代化

的必要條件之一.但是，這并不等于說(shuō)，集合論的思想方法就已融入了整

個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材，貫徹于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中.

要做到這一點(diǎn)，需要中學(xué)數(shù)學(xué)教師從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，深刻理解集

合和映射的意義，掌握集合論的方法和語(yǔ)言，并用來(lái)處理教材，指導(dǎo)教學(xué).

第一節(jié)集合和集合論

1.樸素集合論

集合，是一個(gè)不加定義的基本概念.我們說(shuō)給定了一個(gè)集合A,就是

給定了一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)它可以確定哪些東西是A的元素，哪些東西

不是A的元素.如集合論創(chuàng)始人Cantor所說(shuō)，“集合”是指人們直觀上

或思想中完全確定的、不同事物x合成的一個(gè)整體A.這些事物x稱為A

的元素，或者說(shuō)x屬于A,記作xGA.

但Cantor的話并不能作為集合概念的定義，因?yàn)椤罢w”一詞并不

比“集合”更淺顯明白.還有人試圖作如下定義：”集合就是具有某種共

同屬性的事物的全體”.這也不行.例如，集合｛1,2,H｝中的兩個(gè)

元素一一數(shù)對(duì)1,2和氫原子H,很難說(shuō)它們有什么共同的屬性.而4與

1、2、3都是自然數(shù)，但4卻不是集合｛1,2,3）的元素.

事實(shí)上，集合作為一個(gè)抽象概念，它概括的內(nèi)容非常廣泛，很難給它

下一個(gè)定義使之適合每一種具體情況.而且在演繹數(shù)學(xué)體系中，為避免循

環(huán)定義，總要選定一些不加定義的基本概念作為理論的出發(fā)點(diǎn)，如在幾何

中以“點(diǎn)”、“線”、“面”、“體”作為基本概念那樣.有鑒于此，方

便的做法是，把“集合”作為整個(gè)數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念而不加定義.

對(duì)于基本概念，我們雖然不加定義，但可以用與它鄰近的概念或形象

的比喻來(lái)描述它，說(shuō)明它.如把集合說(shuō)成是一些東西的“匯集”、“總匯”、

“整體”，就是對(duì)集合這一概念的描述.通過(guò)描述，可以幫助我們對(duì)這一

概念加深理解.

19世紀(jì)70年代Cantor創(chuàng)立的集合論，雖然在上世紀(jì)末已被數(shù)學(xué)家

廣泛接受，并用它作為構(gòu)筑整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，但是它本身卻是用說(shuō)明

的方式建立的，未被嚴(yán)格理論化，因此被后人稱為“樸素”的集合論.盡

管如此，在我們中學(xué)數(shù)學(xué)教科書或一般高等數(shù)學(xué)非數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科書中所

第7頁(yè)，共293頁(yè)

講、所用的集合論知識(shí)，正是這種樸素的集合論.關(guān)于它，我們作幾點(diǎn)說(shuō)

明.

集合外延性原則集合由它所含的元素而唯一確定.兩個(gè)集合A與B

相等，即人=8,當(dāng)且僅當(dāng)

集合中的元素不重復(fù)計(jì)算，即一個(gè)集合中任意兩個(gè)元素都是彼此不同

的.

空

集是唯一存在的.例如，｛北極企鵝｝是一個(gè)元素十分明確的集合，但未

經(jīng)實(shí)證以前，其中有沒有元素存在并不知道，也就是說(shuō)它可能是個(gè)空集.要

保證任何兩個(gè)集合都可以作交集運(yùn)算，也需要承認(rèn)空集的存在.

只含一個(gè)元素a的集合{a},稱為單元素集合或單子集.這時(shí)要注

意a與{a}的區(qū)別：a是個(gè)體，{a}是整體，兩者是不同層次的概念.

一個(gè)集合的元素可以是集合.有時(shí)為方便起見，把集合的集合稱為集

族.

例如，設(shè)A是直線x+y=l上所有點(diǎn)的集合，B是平行線x+yp的

集合，于是集合A是集合B的一個(gè)元素，AEB.

概括性原則可以用一類事物的某一共有的特殊性質(zhì)p,來(lái)規(guī)定一個(gè)集

合：凡具有性質(zhì)p的事物x記為px合成一個(gè)集合p{xIpx}.

這樣，上面兩個(gè)集合就可寫成

A{x,y|x+y1}

B(I11:x+yp}

PP

子集把集合A中一部分元素合成一個(gè)整體所形成的集合M,稱作

元素，但

不是B的子集，因?yàn)锳的元素x,y不是B的元素.

特別地，對(duì)任何集合A而言，都有

第8頁(yè)，共293頁(yè)

即任何非空集合都有兩個(gè)當(dāng)然子集：自身和空集.空集則只有唯一的

子集一一它自身.空集是任何集合的子集.一個(gè)集合的非當(dāng)然子集，稱為

真子集.

在一般情況下，無(wú)需區(qū)別一個(gè)集合的當(dāng)然子集和真子集，因此用一

讀作A

真包含于B.

個(gè)

體與集合整體之間的關(guān)系；后者是集合與集合之間的關(guān)系.另外，兩

者的性質(zhì)也不同.

例如，集合的包含關(guān)系具有反身性和傳遞性，即對(duì)任意集合A、B、C,

都有

但屬于關(guān)系e卻不具有上述性質(zhì)

的

集合，稱為A的哥集，記為PA.若A是有限集，元素個(gè)數(shù)為n,那么

n

PA也是有限集，且有2個(gè)元素.

2.集合的運(yùn)算

設(shè)A、B為兩集合，則如下規(guī)定它們的并集、交集和差集：

AUB{x|xGA或XGB}

AAB{x|xGA且XGB}

特別地，若在我們考慮范圍中，A是所有對(duì)象合成的集合一一全集I,那

么它與集B的差集，稱為B的補(bǔ)集或余集，它由所有不屬于B的元素組

成：

第9頁(yè)，共293頁(yè)

利用Venn1834—1923創(chuàng)造的文氏圖，可以把集合運(yùn)算的結(jié)果直觀

地表示出來(lái)，并可證明如下運(yùn)算律:

I.等稚律AUB=A,AHAA

II.交換律AUBBUA,ACIBBHA

III.結(jié)合律AUBUCAUBUC

AHBncAnBCIC

IV.分配律AnBUCAHBUAAC

AUBACAUBnAUC

V.吸收律AUAHB=A,AnAUBA

VI.對(duì)合律CCAA

vn.德??摩根律CAUBCAHCB

CAAB=CAUCB

該公式可以推廣到任意多個(gè)集合的并與交的情況.

例1IM0-14給出一個(gè)集合，它由10個(gè)互相不同的兩位十進(jìn)制的

正整數(shù)組成.證明：這個(gè)集合必有兩個(gè)無(wú)共同元素的子集，這兩個(gè)集中各

數(shù)之和相等.

證設(shè)此10元素集為5={a,a,…，a},其互不相同的子集共有

1210

2101024個(gè).但每個(gè)ai1,2,―,10W99,故每個(gè)子集

因此，必有兩個(gè)不空子集A、B,二者之中各數(shù)之和相等.

AA\AHB,BB\AHB

11

第10頁(yè)，共293頁(yè)

總之，在S的子集中，一定存在兩個(gè)無(wú)共同元素的集合，它們之中各

數(shù)之和相等.

3.集合的笛卡兒積

設(shè)X、Y為任兩非空集合，把所有以X中元素x為第一元，Y中元素y

為第二元的序?qū),y組成的集合，稱為X與Y的笛卡兒積，記為

XXY{x,y|xex,yGY}

2

特別地，當(dāng)XY時(shí)，XXX記為X.

例2設(shè)X(1,2,3},Y{0,1},貝1|

XXY(1,0,1,1,2,0,2,1,3,0,3,1)

例3設(shè)XY{x|lWxW2},則

XXY{x,ylWx,yW2}

它表示xOy平面上的正方形區(qū)域G.

笛卡兒積的性質(zhì)一般地說(shuō)，XWY時(shí)，XXYWYXX,即集合的笛卡兒

積不滿足交換律.但是它滿足對(duì)于并、交、差的左、右分配律：

XUXXY=XXYUXXY

1212

YXXUX=YXXUYXX

1212

反之亦然.

笛卡兒積容易推廣到任意多個(gè)集合的情形.設(shè)X,X,…，X是nn

12n

》2個(gè)集合，它們的笛卡兒積定義為

第11頁(yè)，共293頁(yè)

XXXX???XX{x,x,,,,,x|xex,i1,2,…，n)其中

12n12nii

x,x，…，x為n元有序組，x為它的第i個(gè)元，il,2,???,n.

12ni

在多元有序組中，諸如X,X,X、X,X,X與x,x,x

123123123

被認(rèn)為是相同的有序組.因此，集合的笛卡兒積滿足結(jié)合律.

22

例4設(shè)G{x,y|x+yWl},H={z|OWzWl},貝?。?/p>

22

GXH(x,y,z|x+yWLOWzWl}

表示底面半徑為1,高為1的圓柱體.

例5設(shè)XYR,Z{1},則

XXYXZ={x,y,1|x,yCR}

表示O-xyz空間中一個(gè)與坐標(biāo)平面xOy平行的平面a,它與Oz軸的截距

為1.

4.公理集合論

上世紀(jì)末，當(dāng)數(shù)學(xué)分析實(shí)現(xiàn)了嚴(yán)密化，并把集合論作為數(shù)學(xué)的統(tǒng)一基

礎(chǔ)之后，Poincare1845-1912在1900年的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上滿

懷信心地宣布：“現(xiàn)在我們可以說(shuō)，數(shù)學(xué)完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了

但僅事隔兩年，他的美夢(mèng)就被打破了.

1902年，英國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家Russell1872—1970提出的“羅素悖

論”，揭示出集合論本身存在的矛盾，動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ).

羅素悖論的通俗說(shuō)法，就是這樣一個(gè)理發(fā)師悖論：一個(gè)鄉(xiāng)村理發(fā)師宣

稱，他只給自己不刮臉的人刮臉，不給自己為自己刮臉的人刮臉.有一天

人們問(wèn)他：你本人的臉由誰(shuí)來(lái)刮呢？一一如果由他本人自己刮臉，按他的

聲明，他便不該給自己刮臉；如果由別人給他刮臉，那么他又應(yīng)該給他本

人刮臉.于是這個(gè)理發(fā)師陷入了邏輯矛盾之中.

人們發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生悖論的原因在于集合概念范圍任意擴(kuò)大和隨意使

用.因此數(shù)學(xué)家們?cè)O(shè)法用公理化方法對(duì)集合概念加以限制，將那些產(chǎn)生悖

論的集合排除在外.

由Zermelo1871—1953首先提出、經(jīng)Fraenkel1891—1965等修改

補(bǔ)充的策梅洛-弗倫克爾公理體系ZF,因易于理解而成為影響最廣的集

合論公理體系之一.在這個(gè)體系中，集合和屬于關(guān)系G作為原始概念，由

以下一組公理加以刻畫：

第12頁(yè)，共293頁(yè)

EB,而且若XGB,則XEA.

II.空集合存在公理存在一個(gè)沒有任何元素的集合一一空集，記

III.無(wú)序?qū)洗嬖诠韺?duì)于任意集合x,y,都存在集合乙它僅

有兩個(gè)元素x、y,記為Z{x,y},其中x、y是無(wú)序的.如果xy,

則Z{x}是單元素集.

有序?qū)t規(guī)定為x,y(x,{x,y}}.顯然x,yWy,x.這

樣就給定了x,y中元素的順序：x為第一元，y為第二元.

IV.并集合公理對(duì)于任意集合x,都存在一集合y,y的元素恰好是

x的所有元素的元素.此時(shí)稱y為x的并集合，記為Ux.

由此公理，任意兩個(gè)集合A與B的并集AUB,就是U{A,B）.對(duì)

于集族（BIaGA},它的并集記為

a

V.嘉集公理對(duì)于任意集合X,都有一個(gè)集合y,y的元素恰好是X

的子集合.此時(shí)V稱為x的累集，記為Px.

VI.無(wú)窮公理存在一個(gè)集合，它的元素恰好是所有自然數(shù).根據(jù)外延公

理，這個(gè)集合是唯一的，記為N.

這里的自然數(shù)是用下述方法歸納定義的：

一般地，若n已被定義，則

n+1（0,1,2,???,n}n+n的后繼

自然數(shù)集N{0,1,2,…，n,???）

第13頁(yè)，共293頁(yè)

在這里，數(shù)0是第一個(gè)自然數(shù).之所以這樣做，是因?yàn)閺募险摰挠^

點(diǎn)來(lái)看，把空集定義為第一個(gè)自然數(shù)0,是再自然不過(guò)的了.

所有非零自然數(shù)，稱為正整數(shù)，正整數(shù)集常記作Z或N.

++

W.分離公理對(duì)于任意給定的集合論公式命題Az和任意集合X,

都存在一集合y,使得

y{z|zdx且Az}

由此公理，可以肯定兩個(gè)集合A、B交集的存在.這只須令xA,

Az為xGB即可：

AHB{z|zGA且ZGB)

同樣，也可以肯定兩個(gè)集合的差集和集合補(bǔ)集的存在.

這里要注意的是，并不是對(duì)任何公式Ax,{x|Ax}都

有當(dāng)它與一個(gè)給定的集合相交時(shí)，才確定出一個(gè)集合.

一般說(shuō)，分離公理是在公式Az限制下，確定出集合x的一個(gè)子集

y.所以分離公理又稱子集公理.

VH1.替換公理對(duì)于任意公式Ax,y,如果對(duì)任意集合x,都有唯一

的集合y,使得Ax,y成立，那么對(duì)任意集合S,有一集合s,使得S

122

{u|tes,且At,u}.

1

第14頁(yè)，共293頁(yè)

這就是說(shuō)，對(duì)一個(gè)具有一對(duì)一性質(zhì)的Ax,y,可以由集合S關(guān)于

1

某些x的集合,經(jīng)Ax,y確定其對(duì)應(yīng)值的集合S2關(guān)于某些y的集合.

公理VII與皿都是對(duì)某個(gè)公式而言的，對(duì)每一個(gè)公式，可得一條公理.所

以又稱它們?yōu)楣砟Ｊ?

IX.正則公理基礎(chǔ)公理對(duì)于任一非空集合S,都有一集合y存

正則公理指出，任何非空集合都有極小元.

一個(gè)集合中非集合的個(gè)體元素，稱為該集合的本元，一個(gè)集合中的本

元一定是極小元；此外還可能有其他的極小元.

例如，集合S{0,2,{2,3}）有兩個(gè)極小元：0和2；而

由正則公理可以直接推得兩個(gè)主要結(jié)論：

2°對(duì)任意集合S、S,sGS與Ses不能同時(shí)成立.

121221

X.選擇公理AC對(duì)于任一由不空集合組成的集合S,存在一個(gè)集

合A,它與S的每一個(gè)元素都恰好有一個(gè)公共元.

換句話說(shuō)，對(duì)于任何集族S,可以從它的每個(gè)元素集合x中選出一

個(gè)元素axex,組成一個(gè)集合稱作S的代表集或采樣集.

上

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第二節(jié)關(guān)系和映射

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第二節(jié)關(guān)系和映射

1.關(guān)系

第15頁(yè)，共293頁(yè)

前面所說(shuō)關(guān)于集合的運(yùn)算、子集、暴集和笛卡兒積，都是以集合為對(duì)

象，從已有集合得出新的集合.至于一個(gè)集合中元素之間，這個(gè)集合元素

與那個(gè)集合元素之間有什么聯(lián)系，尚未涉及；而這對(duì)于具體問(wèn)題的研究，

往往更有意義.這就是本節(jié)所要講的關(guān)系和映射.

從集合論觀點(diǎn)來(lái)看，集合X上一個(gè)關(guān)系R,是由全體滿足關(guān)系R的

XX的任一子集R,也確定了X上一個(gè)關(guān)系.這就是關(guān)系R與它對(duì)應(yīng)

的XXX的子集，用同一個(gè)字母來(lái)表示的道理.

按此觀點(diǎn)，可以方便地將“關(guān)系”推廣到不同集合上去.

關(guān)系設(shè)X,Y是兩個(gè)任意集合.笛卡兒積XXY的子集，稱作集合X

到Y(jié)的一個(gè)關(guān)系，或簡(jiǎn)稱關(guān)系.若有序?qū),yGR,則寫作Rx,y或

xRy,其中x稱為關(guān)系R的第一元，y稱為第二元.

這樣的關(guān)系R,也稱為集合D與V之間的二元對(duì)應(yīng)，或簡(jiǎn)稱對(duì)應(yīng).一

個(gè)關(guān)系或?qū)?yīng)R,也可以用其中序?qū),y所具有的性質(zhì)p來(lái)確定：

R{x,y|px,y)

對(duì)于有限集或可數(shù)集上的關(guān)系，可以用矩陣的形式來(lái)表示.

設(shè)A{a,…，a),B{b,…，b},R是A至！JB的一個(gè)關(guān)系.令

1n1m

于是得到關(guān)系R的表示矩陣：

第16頁(yè)，共293頁(yè)

例1設(shè)A(1,2},B{1,2,3},則A到B的“小于”關(guān)系〈的

表示矩陣是：

例2A(2,3,5,6,15}上整除關(guān)系R的表示矩陣是：

對(duì)應(yīng)和逆對(duì)應(yīng)關(guān)系和逆關(guān)系設(shè)R是集合X到Y(jié)的一個(gè)對(duì)應(yīng)，我們可

以定義一個(gè)新的Y到X的對(duì)應(yīng)R-1如下：

對(duì)應(yīng)R-1稱為對(duì)應(yīng)關(guān)系R的逆對(duì)應(yīng)逆關(guān)系.

對(duì)于任一元aex,集合{bIbdY,aRb}稱為a的象，記作

Ra；對(duì)于任一元bGY,集合｛alaex,aRb｝稱為b的原象，記

作R-lb.

例3設(shè)X為平面上所有直線的集合，Y為同一平面上所有圓的集合，

那么直線與圓相切是X到Y(jié)的一個(gè)關(guān)系R：

R｛I,c|ICc為單子集，lex,cEY)

第17頁(yè)，共293頁(yè)

-1

這個(gè)關(guān)系對(duì)應(yīng)的逆關(guān)系逆對(duì)應(yīng)R是：

-1

R(c,II圓c與直線I相切｝

這時(shí)，對(duì)一條確定的直線loex,I的象RI就是所有與I相切的圓

000

-1

族；對(duì)一個(gè)給定的圓cGY,c的原象Rc就是圓的所有切線組成的包絡(luò).

00

關(guān)系的某些性質(zhì)設(shè)R是集合X上的關(guān)系：

關(guān)系R稱為非自反的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意xGX,都有X,

X

關(guān)系R稱為非稱的，當(dāng)且僅當(dāng)若x,yER,貝Uy,xER.非稱關(guān)系

一定是非自反的.Q上小于關(guān)系也是非稱的.

關(guān)系R稱為反稱的，當(dāng)且僅當(dāng)若X,yWR且y,xGR,則x=y.例

如，Q上的不大于關(guān)系“W”是反稱的.

如果對(duì)任意x、yex,或xy,或xRy,或yRx,三者必居其一，貝！I

稱R是X上的聯(lián)絡(luò).

下面我們研究?jī)煞N重要關(guān)系：等價(jià)關(guān)系和序關(guān)系.

2.等價(jià)關(guān)系

如果集合X上的關(guān)系R是自反的、對(duì)稱的、傳遞的，則稱為等價(jià)關(guān)系.這

時(shí)aRb,亦說(shuō)a與b等價(jià).例如：

I.任何集合X上的恒等關(guān)系A(chǔ)x{a,aIaex}是等價(jià)關(guān)系；

II.設(shè)X是平面上所有三角形的集合.R是“全等”關(guān)系，則R是X

上的等價(jià)關(guān)系；

III.設(shè)X是整數(shù)集Z,關(guān)系R：aRba-b為偶數(shù).容易驗(yàn)證，R是Z

上的等價(jià)關(guān)系.

等價(jià)分類設(shè)R是集合X上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把與某一元素a等價(jià)的

所有元素歸為一類，合成一子集Xa,a為其代表元.這樣，便可把X中元

素進(jìn)行分類：X的每一個(gè)元素都屬于且僅屬于一類Xa.這些類彼此不交，

其并集為

其中A是所有代表元組成的集合代表集.集合X稱為X關(guān)于R的等價(jià)類.

a

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商集設(shè)R是集合X上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，由R的全體等價(jià)類X組成的

集合{Xa|aGA},稱為X關(guān)于R的商集，記作X/R.

商集是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，許多數(shù)學(xué)對(duì)象都可用此概念來(lái)構(gòu)建.

為兩個(gè)等價(jià)類：凡與0等價(jià)的歸為一類X.為偶數(shù)集；凡與1等價(jià)的歸為

0

一類X,為奇數(shù)集.于是得到Z關(guān)于R的商集{X,X},它是以2為模

101

的剩余類集.

一般地，設(shè)m為正整數(shù)，關(guān)于模m的同余R,是整數(shù)集Z上的等價(jià)關(guān)

系.這時(shí)關(guān)于m的剩余類C,C,…，C就是相應(yīng)的等價(jià)類.集合{C,

01m-10

C,―,C}就是相應(yīng)的商集；集合{0,1,2,—,m-1）就是其代表集.

1m1

集合的覆蓋與劃分設(shè)X為一集合，H{8a|aEA）為非空集合族，

如果

則稱集族H為X的覆蓋.

由集合X彼此不交的非空子集Xa組成的X的覆蓋H{Xa|

集合X的一個(gè)劃分H{Xa},可以確定x中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.事

實(shí)上，若令

便確定了X中一個(gè)關(guān)系.不難驗(yàn)證，R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.而劃分H,恰是X

關(guān)于R的商集：HX/R.

利用集合X中等價(jià)關(guān)系構(gòu)造商集，利用集合X的劃分確定等價(jià)關(guān)系，

在以后兩章中將多次用到.

3.序和序集

序，是從“數(shù)的大小”抽象出來(lái)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)概念.所謂“數(shù)的大小”，

是相對(duì)于數(shù)的某種順序而言的.當(dāng)一個(gè)集合中所有元素排列成一行時(shí)，便

形成一種順序.這時(shí)，不妨將排在前面的元素，視作比排在后面的元素“小

或者“大”.反之，若對(duì)集合X上每?jī)蓚€(gè)元素a、b都規(guī)定了“大小”

關(guān)系：aRb或a<b,那么集合X的所有元素之間，便規(guī)定了一種順序.

第19頁(yè)，共293頁(yè)

偏序設(shè)R是集合X上的傳遞關(guān)系，如果它是反稱的，則稱為弱偏序，

或不嚴(yán)格的偏序；如果它是非稱的，則稱為強(qiáng)偏序，或嚴(yán)格的偏序.弱偏

序和強(qiáng)偏序，統(tǒng)稱為偏序.

定義了偏序R的集合X,稱為偏序集.

序.整數(shù)的k>1倍關(guān)系，則是強(qiáng)偏序.

全序設(shè)R是集合X上的偏序弱或強(qiáng)的，如果R又是X上的聯(lián)絡(luò)，

那么就稱R是X上的弱或強(qiáng)的全序.

例如，實(shí)數(shù)集R上的“<”、"W”關(guān)系，都是R上的全序；前者是

強(qiáng)全序，后者是弱全序.

定義了全序的集合，稱為全序集.

偏序集、全序集，統(tǒng)稱序集.賦予集合X以序關(guān)系R,則將二元序組

X,R稱為一個(gè)序結(jié)構(gòu).

設(shè)R是集合X上的全序，那么R的逆關(guān)系R-1也是X上的全序.例如,

實(shí)數(shù)集上的和“W”是全序，其邊關(guān)系和也是全序.

在不致引起混亂的情況下，常用表示嚴(yán)格的序關(guān)系，并讀作“小

于”；用“W”表示不嚴(yán)格的序關(guān)系，讀作“不大于”或“小于等于”.

良序和良序集如果序集X的任何一個(gè)非空子集M,都有最小元，那么

稱此序集為良序集，其中的序關(guān)系稱為良序.自然數(shù)集N關(guān)于通常的小于

關(guān)系是良序集的典型例子.

從序的概念出發(fā)，可以把實(shí)數(shù)集的稠密性、連續(xù)性等概念，推廣到一

般有序集上去.

設(shè)X是有序集，序關(guān)系為<,如果對(duì)X的任意兩元素a<b,都至少

存在一個(gè)元cex,使a<c<b,則稱集X的序是稠密的，或集X關(guān)于序

<是稠密集.

設(shè)A、B是X的兩個(gè)子集，如果對(duì)任意aGA及任意beB,都有aWb,

則說(shuō)A在B的左邊，B在A的右邊.如果對(duì)任意adA,b￡B,有某一元c

ex,使aWcWb,則稱c是A與B的一個(gè)劃分元.顯然，若A、B有一劃

分元，則A在B的左邊或右邊.

集X的一個(gè)稠密序，如果對(duì)X的任兩個(gè)非空子集A、B,且A在B左

邊，都至少有一個(gè)劃分元，則稱集X的序是連續(xù)的容易證明，有理數(shù)集Q

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關(guān)于通常的大小順序〈是稠密的，但不是連續(xù)的；實(shí)數(shù)集R關(guān)于通常的大

小順序（不僅是稠密的，而且還是連續(xù)的.

4.映射和函數(shù)

設(shè)R是集合X到丫的一個(gè)關(guān)系，如果對(duì)任一xGX,象集Rx都是單

元素集，則稱R為集X到Y(jié)的映射.若對(duì)每個(gè)ydY,R-ly都非空，則稱

R是X到Y(jié)上的滿射；若對(duì)每個(gè)yGY,R-ly都至多含一個(gè)元素，則稱R

是X至UY的單射.如果X到Y(jié)的映射R既是滿射，又是單射，則稱R為

X到Y(jié)的雙射.

集合X到Y(jié)的雙射R,又稱為X與Y之間的---映射，即對(duì)任一xGX,

有且僅有一個(gè)元yCY,使xRy；反之，對(duì)任一yGY,也有且僅有一個(gè)元x

-1

ex,使yRx.

映射，作為集合X到Y(jié)的一種特殊關(guān)系，一般記作f：X-Y,并用

fab來(lái)代替a,bef或afb.這時(shí)我們規(guī)定X是f的定義域：DfX.

映射的這種表示，與中學(xué)函數(shù)符號(hào)一致，這不是偶然的.從現(xiàn)代數(shù)學(xué)

觀點(diǎn)來(lái)看，函數(shù)就是映射.

歷史上，函數(shù)概念有一個(gè)發(fā)展和演進(jìn)的過(guò)程.1673年，“函數(shù)”一

詞，首先由Leibniz1646—1716提出，并用它來(lái)表示與自變量或自變

數(shù)同時(shí)變動(dòng)的變數(shù).Euler1707—1783發(fā)展了這種函數(shù)“變量說(shuō)”，并

創(chuàng)用函數(shù)符號(hào)yfx,其中f解釋為由變數(shù)與常數(shù)組成的解析表達(dá)式.

Dirichlet1805-1859提出函數(shù)“對(duì)應(yīng)說(shuō)”,把函數(shù)yfx視為x

取值與y取值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而這種對(duì)應(yīng)關(guān)系并非一定要有解析表達(dá)

式.他舉出著名的“狄利克雷函數(shù)”

來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn).

相比之下，“變量說(shuō)”對(duì)函數(shù)概念的外延限制過(guò)大，“對(duì)應(yīng)說(shuō)”則抓

住了函數(shù)的本質(zhì).但是，當(dāng)時(shí)所說(shuō)的函數(shù)，還只考慮數(shù)集之間的對(duì)應(yīng).19

世紀(jì)末以后，函數(shù)的定義域和值域都突破了數(shù)集的限制，函數(shù)理解為集合

X到Y(jié)的一種特殊的關(guān)系一一映射.這種“關(guān)系說(shuō)”，就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的函

數(shù)觀.符號(hào)f：X-Y,全面、準(zhǔn)確地反映了函數(shù)的“三要素”，優(yōu)于其他

函數(shù)記號(hào).

為了方便，同時(shí)也為了符合習(xí)慣，有時(shí)對(duì)某些特殊函數(shù)采用專門名

稱.例如，當(dāng)函數(shù)定義域X是實(shí)數(shù)集時(shí)，稱之為實(shí)函數(shù)；當(dāng)值域Y是實(shí)

第21頁(yè)，共293頁(yè)

的或復(fù)的數(shù)集時(shí)，稱之為實(shí)的或復(fù)的數(shù)值函數(shù)；當(dāng)X為函數(shù)集時(shí)，稱

之為泛函數(shù)等.

本書對(duì)函數(shù)與映射不加區(qū)別，認(rèn)為是一個(gè)概念.但在談及中學(xué)數(shù)學(xué)里

的函數(shù)時(shí)，多采用“函數(shù)”一詞.

映射的復(fù)合設(shè)有兩個(gè)映射f:X-Y,g：Y-Z.f與g的復(fù)合g°f

是X-Z的映射：對(duì)于xex,g°fx=g(fx)E

則g°f就稱為復(fù)合函數(shù).

-1

逆映射和反函數(shù)單射f：X-Y的逆對(duì)應(yīng)f,稱為f的逆映射，這時(shí)

-1-1-1

也稱f為函數(shù)f的反函數(shù)：f:Y-X.如果f：X-Y是雙射，那么f:Y

一X也是雙射.

{a,falaGXAA}稱為函數(shù)f在集合A中的限制.如果

擴(kuò)充.此時(shí)f是f的限制：f=fA.

11

例4設(shè)f：Rf乙使對(duì)任意XGR,fx〔X)取整函數(shù)；fl:N-N,

使對(duì)任意nGN,flnn.

則f是函數(shù)f在N中的限制：ffN；而f是函數(shù)f在R中的擴(kuò)充.

111

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第三節(jié)從集合論觀點(diǎn)看中學(xué)數(shù)學(xué)

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第三節(jié)從集合論觀點(diǎn)看中學(xué)數(shù)學(xué)

1.中學(xué)數(shù)學(xué)里的關(guān)系

第22頁(yè)，共293頁(yè)

中學(xué)數(shù)學(xué)里常見的關(guān)系很多，有的是序關(guān)系，有的是非序關(guān)系；有的

是等價(jià)關(guān)系，有的不是等價(jià)關(guān)系，各具個(gè)性.現(xiàn)將它們列表如下：

續(xù)表

2.中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的映射函數(shù)類型

第23頁(yè)，共293頁(yè)

I,數(shù)集到數(shù)集的函數(shù)，即數(shù)值自變量的數(shù)值函數(shù)，這是中學(xué)數(shù)學(xué)研

究的主要函數(shù)類型，所有初等函數(shù)都是這一類。

II.數(shù)有序數(shù)組集到點(diǎn)集、點(diǎn)集到數(shù)有序數(shù)組集的映射.如數(shù)軸

上點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)，坐標(biāo)平面上點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)，坐標(biāo)空間點(diǎn)與三元實(shí)

數(shù)組的對(duì)應(yīng)，復(fù)平面上點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)等.

III.點(diǎn)集到點(diǎn)集的映集，如幾何變換平移、旋轉(zhuǎn)、位似等。

IV.幾何圖形集到數(shù)集的映射，如幾何量長(zhǎng)度、面積、體積等的度

量.

此外，還有函數(shù)集到函數(shù)集的映射，如求導(dǎo)數(shù):

fx-f'X

求不定積分：

函數(shù)集到數(shù)集的映射，如求定積分：