ch7剛體的平面運動

第七章剛體的平面運動理論力學(xué)

剛體的平面運動是工程上常見的一種運動，這是一種較為復(fù)雜的運動。對它的研究可以在研究剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動的基礎(chǔ)上，通過運動合成和分解的方法，將平面運動分解為上述兩種基本運動。然后應(yīng)用合成運動的理論，推導(dǎo)出平面運動剛體上一點的速度和加速度的計算公式。

§7–1剛體平面運動概述

§7–2平面圖形內(nèi)各點的速度

§7–3平面圖形內(nèi)各點的加速度

§7–4機(jī)構(gòu)運動分析習(xí)題課第七章剛體的平面運動例如:

曲柄連桿機(jī)構(gòu)中連桿AB的運動，其上A點作圓周運動，B點作直線運動，因此，AB桿的運動既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動，而是平面運動．§7-1剛體平面運動的概述一、剛體平面運動的定義

在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變．也就是說，剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運動．具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動．

剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運動．（即在研究平面運動時，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運動，確定平面圖形上各點的速度和加速度．）二、平面運動的簡化

為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置．

任意線段AB的位置可用A點（基點）的坐標(biāo)和AB與x軸夾角表示．因此圖形S的位置決定于三個獨立的參變量．所以：三、平面運動方程平面運動方程對于每一瞬時

t

，都可以求出對應(yīng)的，圖形S在該瞬時的位置也就確定了。

當(dāng)圖形Ｓ上Ａ點不動時，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動；當(dāng)圖形Ｓ上

角不變時，則剛體作平動。四、平面運動的分解故剛體平面運動可以看成是隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動的合成．例如車輪的運動

車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉(zhuǎn)動的合成．車輪對于靜系的平面運動（絕對運動）車廂（動系A(chǔ)x

y

)相對靜系的平動

（牽連運動）車輪相對車廂（動系A(chǔ)x

y

）的轉(zhuǎn)動（相對運動）

我們稱動系上的原點Ａ為基點車輪的平面運動隨基點A的平動繞基點A'的轉(zhuǎn)動剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動．

平面圖形Ｓ在

ｔ時間內(nèi)從位置I運動到位置IIa.以A為基點:

隨基點A平動到A'B''后,繞基點轉(zhuǎn)角到A'B'b.以B為基點:

隨基點B平動到A''B'后,繞基點轉(zhuǎn)角到A'B'圖中看出：AB

A'B''

A''B'，于是有五、剛體平面運動的角速度和角加速度

平面運動隨基點平動的運動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)，而繞基點轉(zhuǎn)動的規(guī)律與基點選取無關(guān)(即在同一瞬間，圖形繞任一基點轉(zhuǎn)動的都是相同的）

?；c的選取是任意的。(通常選取運動情況已知的點作為基點)曲柄連桿機(jī)構(gòu)AB桿作平面運動平面運動的分解§7-2平面圖形內(nèi)任一點的速度

根據(jù)速度合成定理，Ｂ點速度為：一、基點法（合成法）取B為動點,則B點的運動可視為牽連運動為平動和相對運動為圓周運動的合成，速度分析如圖。已知：圖形S內(nèi)一點A的速度，圖形角速度為

求：。取A為基點,將動系固結(jié)于A點,動系作平動。方向垂直于AB由于恒有，因此將上式在AB連線上投影，有：速度投影定理平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影相等．即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的速度的矢量和．二、投影法

三．瞬心法（瞬時速度中心法）

1．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時其上一點A速度,圖形角速度

，沿方向取半直線AL,然后順

的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL'的位置,在AL'上取長度則P點速度為： 在某瞬時平面圖形S內(nèi)或其自身平面內(nèi)必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心．2．幾種確定速度瞬心位置的方法①已知圖形上一點的速度和圖形角速度

，可以確定速度瞬心的位置。

即Ｐ在順

轉(zhuǎn)向繞A點轉(zhuǎn)90o的方向的半垂線上，距A點距離處②已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動,則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心．

④

已知某瞬時圖形上A、B兩點速度大小,且，則兩速度矢端連線與AB連線之交點即為速度瞬心。(b)(a)

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度的方向，且，過A,B兩點分別作速度的垂線,兩垂線交點P即為該瞬間的速度瞬心.

⑤已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與AB連線垂直，此時,圖形的瞬心在無窮遠(yuǎn)處,圖形的角速度

=0,圖形上各點速度相等,這種情況稱為瞬時平動。

(此時各點的加速度不相等)

曲柄連桿機(jī)構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動。此時連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點的速度都相等.但各點的加速度并不相等．設(shè)

＝常量，則而的方向沿AC的，瞬時平動與平動的區(qū)別平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心。若P點為速度瞬心，則任意一點A的速度，方向

AP，指向與

一致。

注意：

1.速度瞬心在平面圖形上的位置是隨時間變化的，即不同瞬時瞬心不同，在某一瞬時是唯一存在的。

2.速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動。

3.剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動。3.速度瞬心法例：滾子A沿水平面作純滾動，通過連桿AB帶動滑塊B沿鉛垂軸向上滑動。設(shè)連桿長l=0.8m，輪心速度v0=3m/s。求當(dāng)AB與鉛垂線成時，滑塊B的速度及連桿的角速度。解：1.基點法取A為基點，B點的速度(m/s)(m/s)（rad/s）2.投影法（m/s）曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)例：曲柄肘桿壓床機(jī)構(gòu)，已知：OA=0.15m,n=300r/min,AB=0.76m,BC=BD=0.53m。圖示位置時,AB水平。求該位置時的、及解：OA、BC作定軸轉(zhuǎn)動,

AB、BD均作平面運動P１為AB速度瞬心（）

P2為其BD速度瞬心,

BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD（）行星齒輪機(jī)構(gòu)解：OA定軸轉(zhuǎn)動，輪A作平面運動,瞬心P點。）(例：行星齒輪機(jī)構(gòu)，O輪固定，已知:R,r,

o

輪A作純滾動，求已知：曲柄連桿機(jī)構(gòu)OA=AB=l，曲柄OA以勻

轉(zhuǎn)動。求：當(dāng)

=45o時,滑塊B的速度及AB桿的角速度。

a.基點法

b.速度投影法

c.瞬心法課堂練習(xí)解：機(jī)構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動,AB作平面運動,滑塊B作平動。

1.基點法研究AB，以A為基點，且方向如圖示。B速度分析如圖。（）（）不能直接求出研究AB,

,方向

OA,

方向沿BO直線。

3.瞬心法

P點為AB的速度瞬心2.投影法平面機(jī)構(gòu)解：軸O,桿OC,楔塊M均作平動,

圓盤作平面運動，P為輪O速度瞬心）(平面機(jī)構(gòu)中,楔塊M:

=30o,v=12cm/s;盤:r=4cm,與楔塊間無滑動。求圓盤的

及軸O的速度和B點速度．A點不是輪O的速度瞬心，為什么？（可由點的復(fù)合運動求出）§7-3平面圖形內(nèi)任一點的加速度取A為基點，將平動坐標(biāo)系固結(jié)于A點取B動點，則B點的運動分解為相對運動為圓周運動和牽連運動為平動。由一.基點法已知：圖形S內(nèi)一點A的加速度和某一瞬時圖形的

,。求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。其中：，方向沿AB，指向A點；，方向

AB，指向與一致。平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求出其余兩個。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個要素，即可解出問題的待求量。二.投影法將上式在AB連線上投影，有：若，即（瞬時平動）時，有：加速度投影法只在瞬時平動時才能應(yīng)用

由于的大小和方向隨B點的不同而不同,所以總可以在圖形內(nèi)找到一點Q，在此瞬時，相對加速度大小恰與基點A的加速度等值反向，其絕對加速度Q點就稱為圖形在該瞬時的加速度瞬心．1.一般情況下,加速度瞬心與速度瞬心不是同一個點．三．加速度瞬心法2.由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般情況下又不存在類似于速度投影定理的關(guān)系式，故常采用基點法求圖形上各點的加速度或圖形角加速度．注意：大??？√Ｒw

2

方向？√√√

（）

例：半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點的速度及加速度,求車輪與軌道接觸點P的加速度．解：輪O作平面運動，P為其速度瞬心，由于此式在任何瞬時都成立，且O點作直線運動，故而（）以O(shè)為基點，P點加速度分析如圖。

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。當(dāng)車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心．解：(a)AB作平動，例:已知O1A=O2B,圖示瞬時O1A/O2B

試問(a),(b)兩種情況下

1和

2，和是否相等？(a)(b)(b)AB作平面運動,圖示瞬時作瞬時平動,此時曲柄滾輪機(jī)構(gòu)例:曲柄滾輪機(jī)構(gòu)，滾子半徑R=15cm,n=60r/min

求：當(dāng)

=60o時(OA

AB),滾輪的

Ｂ、。

解：OA定軸轉(zhuǎn)動，AB桿和輪B作平面運動（）P１為AB速度瞬心，P2為輪B速度瞬心分析:要想求出滾輪的

Ｂ、，先要求出vB、aBP2P1vB）(以A為基點，B點加速度分析如圖。指向O點大小？√

√？方向√√√√將上式向BA線上投影）(§7-4機(jī)構(gòu)運動分析一個運動機(jī)構(gòu)或運動系統(tǒng)是由多種運動的點和剛體組成，各構(gòu)件之間通過鉸鏈、套筒、銷釘、滑塊等聯(lián)接點傳遞運動。由已知運動的構(gòu)件，通過對某些聯(lián)結(jié)點和剛體的運動分析，確定機(jī)構(gòu)中所有構(gòu)件的運動，稱為機(jī)構(gòu)運動分析。分析機(jī)構(gòu)運動時，先應(yīng)分析各構(gòu)件作什么運動，計算各聯(lián)結(jié)點速度和加速度，再計算待求未知量。例：行星齒輪減速機(jī)構(gòu)。已知各齒輪的節(jié)圓半徑r1、r2、r3，求傳動比i1H（即/）。解：P點為輪2的速度瞬心，輪1與輪2的嚙合點A的速度輪2與系桿H的聯(lián)結(jié)點O2的速度由于故解:OA定軸轉(zhuǎn)動;AB,BC均作平面運動,

滑塊B和C均作平動對AB桿應(yīng)用速度投影定理：對BC桿應(yīng)用速度投影定理：例：已知：配氣機(jī)構(gòu)中，OA=r,以等

o轉(zhuǎn)動,在某瞬時

=60o

AB

BC,AB=6r,BC=

.求該瞬時滑塊C的速度和加速度．1.速度分析以A為基點求B點加速度：(a)P1為AB桿速度瞬心，而(a)式沿BA方向投影2.加速度分析P2為BC速度瞬心,而P2C=9r再以B為基點,求C點加速度。將(b)式在BC方向線上投影[注]

指向可假設(shè)，結(jié)果為正說明假設(shè)指向與實際指向相同；結(jié)果為負(fù)，說明假設(shè)指向與實際指向相反．30o(b

)

平面機(jī)構(gòu)運動學(xué)綜合舉例

例：平面機(jī)構(gòu)，圖示瞬時,O點在AB中點,

=60o,BC

AB,已知O,C在同一水平線上,AB=20cm,vA=16cm/s,試求該瞬時AB桿,BC桿的角速度及滑塊C的速度．解:輪A,桿AB,桿BC均作平面運動,套筒O作定軸轉(zhuǎn)動,滑塊C平動.

,由于沿AB,所以方向沿AB并且與反向。從而確定了AB桿上與O點接觸點的速度方向。所以P1為AB速度瞬心取套筒上O點為動點,動系固結(jié)于AB桿;靜系固結(jié)于機(jī)架,1.速度分析P2為BC的速度瞬心。）(（）導(dǎo)桿滑槽機(jī)構(gòu)解：動點：CD桿上C為，動系：固結(jié)于AE（平面運動）靜系：固結(jié)于機(jī)架

例：導(dǎo)桿滑槽機(jī)構(gòu)，已知圖示瞬時,桿AB速度u

，桿CD速度v及

角，AC=l,求導(dǎo)槽AE的角速度．(a)

C‘

點為AE上與C點重合的那點（牽連點），其速度以A點為基點來求。(b)將(b)代入(a)得：（）（c）式投影至

軸速度分析如圖vC＝v，vA＝u(c)例：圖示機(jī)構(gòu)中，AB桿一端連接滾子A，滾子的中心A以速度cm/s沿水平方向勻速運動，AB桿活套在可繞O軸轉(zhuǎn)動的套管C內(nèi)。求AB桿的角速度和角加速度。解：（1）求AB桿的角速度(rad/s)

（cm/s）

其中cmC’

是AB桿上與套筒C重合的那點。（2）求AB桿的角加速度取AB桿為研究對象。選A為基點，其上C’點的加速度為大?。?？√方向？0√√其中有三個未知要素，需另找補充方程。(1)由點的合成運動，取AB桿上C’點為動點，動系固定在套筒上。由于牽連運動為轉(zhuǎn)動，故加速度合成定