高中數學人教A版選修21回扣驗收特訓（二）圓錐曲線與方程

回扣驗收特訓（二）圓錐曲線與方程1．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率是()A．2 B．eq\r(3)C．eq\r(2) D．eq\f(3,2)解析：選C由題可知y＝eq\f(b,a)x與y＝－eq\f(b,a)x互相垂直，可得－eq\f(b,a)·eq\f(b,a)＝－1，則a＝b．由離心率的計算公式，可得e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝2，e＝eq\r(2)．2．設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線的方程為()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x解析：選B由題可知拋物線的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，于是過焦點且斜率為2的直線的方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，令x＝0，可得點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))，所以S△OAF＝eq\f(1,2)×eq\f(|a|,4)×eq\f(|a|,2)＝4，得a＝±8，故拋物線的方程為y2＝±8x．3．已知一動圓P與圓O：x2＋y2＝1外切，而與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內切，則動圓的圓心P的軌跡是()A．雙曲線的一支 B．橢圓C．拋物線 D．圓解析：選A由題意，知圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝1，則圓C與圓O相離，設動圓P的半徑為R．∵圓P與圓O外切而與圓C內切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1．又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即點P在以O，C為焦點的雙曲線的右支上．4．我們把由半橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(x≥0)與半橢圓eq\f(y2,b2)＋eq\f(x2,c2)＝1(x<0)合成的曲線稱作“果圓”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如圖所示，其中點F0，F1，F2是相應橢圓的焦點．若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，則a，b的值分別為()A．eq\f(\r(7),2)，1 B．eq\r(3)，1C．5,3 D．5,4解析：選A∵|OF2|＝eq\r(b2－c2)＝eq\f(1,2)，|OF0|＝c＝eq\r(3)|OF2|＝eq\f(\r(3),2)，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋eq\f(3,4)＝eq\f(7,4)，得a＝eq\f(\r(7),2)．5．已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，則d1＋d2的最小值為()A．eq\f(5\r(2),2)＋2 B．eq\f(5\r(2),2)＋1C．eq\f(5\r(2),2)－2 D．eq\f(5\r(2),2)－1解析：選D因為拋物線的方程為y2＝4x，所以焦點坐標為F(1,0)，準線方程為x＝－1．因為點P到y(tǒng)軸的距離為d1，所以到準線的距離為d1＋1．又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1．焦點F到直線l的距離記為d，則d＝eq\f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2)，而|PF|＋d2≥d＝eq\f(5\r(2),2)，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥eq\f(5\r(2),2)－1，即d1＋d2的最小值為eq\f(5\r(2),2)－1．6．雙曲線與橢圓4x2＋y2＝64有公共焦點，它們的離心率互為倒數，則雙曲線方程為()A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36解析：選A由4x2＋y2＝64得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,64)＝1，c2＝64－16＝48，∴c＝4eq\r(3)，e＝eq\f(4\r(3),8)＝eq\f(\r(3),2)．∴雙曲線中，c′＝4eq\r(3)，e′＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(c′,a′)．∴a′＝eq\f(\r(3),2)c′＝6，b′2＝48－36＝12．∴雙曲線方程為eq\f(y2,36)－eq\f(x2,12)＝1，即y2－3x2＝36．7．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其上一點P(3，y)到兩焦點的距離分別是6．5和3．5，則該橢圓的標準方程為________．解析：由橢圓的定義，知2a＝6．5＋3．5＝10，a＝5．又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋c2＋y2＝6.52，,3－c2＋y2＝3.52，))解得c＝eq\f(5,2)，從而b2＝a2－c2＝eq\f(75,4)，所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝1．答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(4y2,75)＝18．已知直線l與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，O為坐標原點，若·＝－4，則直線l恒過的定點M的坐標是________．解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＋y1y2＝－4．當直線l的斜率不存在時，設其方程為x＝x0(x0>0)，則xeq\o\al(2,0)－4x0＝－4，解得x0＝2；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝4x，))得ky2－4y＋4b＝0，得y1y2＝eq\f(4b,k)，則x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),16)＝eq\f(b2,k2)，得eq\f(b2,k2)＋eq\f(4b,k)＝－4，∴eq\f(b,k)＝－2，有b＝－2k，直線y＝kx－2k＝k(x－2)恒過定點(2,0)．又直線x＝2也恒過定點(2,0)，得點M的坐標為(2,0)．答案：(2,0)9．已知A(0，－4)，B(3,2)，拋物線y2＝x上的點到直線AB的最短距離為________．解析：直線AB為2x－y－4＝0，設拋物線y2＝x上的點P(t，t2)，d＝eq\f(|2t－t2－4|,\r(5))＝eq\f(t2－2t＋4,\r(5))＝eq\f(t－12＋3,\r(5))≥eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)．答案：eq\f(3\r(5),5)10．如圖，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的長、短軸端點分別為A，B，F1，F2分別是其左、右焦點．從橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1，且與是共線向量．(1)求橢圓的離心率e；(2)設Q是橢圓上異于左、右頂點的任意一點，求∠F1QF2的取值范圍．解：(1)∵F1(－c,0)，則xM＝－c，yM＝eq\f(b2,a)，∴kOM＝－eq\f(b2,ac)．由題意，知kAB＝－eq\f(b,a)，∵與是共線向量，∴－eq\f(b2,ac)＝－eq\f(b,a)，∴b＝c，得e＝eq\f(\r(2),2)．(2)設|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a．又|F1F2|＝2c，由余弦定理，得cosθ＝eq\f(r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)－4c2,2r1r2)＝eq\f(r1＋r22－2r1r2－4c2,2r1r2)＝eq\f(a2,r1r2)－1≥eq\f(a2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r2,2)))2)－1＝0，當且僅當r1＝r2時等號成立，∴cosθ≥0，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．11．如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A，B，且與n＝(eq\r(2)，－1)共線．(1)求橢圓E的標準方程；(2)若直線y＝kx＋m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，求實數m的取值范圍．解：(1)因為2c＝2，所以c＝1，又＝(－a，b)，且∥n，所以eq\r(2)b＝a，所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2，所以橢圓E的標準方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1．(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直線方程y＝kx＋m代入橢圓方程eq\f(x2,2)＋y2＝1，消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4km,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2m2－2,2k2＋1)，Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1，(*)因為原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，所以·<0，即x1x2＋y1y2<0，又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq\f(m2－2k2,2k2＋1)，由eq\f(2m2－2,2k2＋1)＋eq\f(m2－2k2,2k2＋1)<0得m2<eq\f(2,3)k2＋eq\f(2,3)，依題意且滿足(*)得m2<eq\f(2,3)，故實數m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3)))．12．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4．(1)求橢圓的方程；(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B．已知點A的坐標為(－a,0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且·＝4，求y0的值．解：(1)由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，得3a2＝4c2．再由c2＝a2－b2，得a＝2b．由題意可知eq\f(1,2)×2a×2b＝4，即ab＝2．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2b，,ab＝2，))得a＝2，b＝1．所以橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)由(1)可知A(－2,0)．設B點的坐標為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)．聯立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1))消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0．由－2x1＝eq\f(16k2－4,1＋4k2)，得x1＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)．從而y1＝eq\f(4k,1＋4k2)．設線段AB的中點為M，則M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k2,1＋4k2)，\f(2k,1＋4k2)))．以下分兩種情況：①當k＝0時，點B的坐標為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2eq\r(2)．②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為y－eq\f(2k,1＋4k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8k2,1＋4k2)))．令x＝0，解得y0＝－eq\f(6k,1＋4k2