高考文數一輪復習課件第六章數列第四節(jié)數列求和

第四節(jié)數列求和總綱目錄教材研讀1.求數列的前n項和的方法考點突破2.常見的裂項公式考點二裂項相消法求和考點一錯位相減法求和考點三分組轉化法求和1.求數列的前n項和的方法(1)公式法(i)等差數列的前n項和公式Sn=①

=②

na1+

.(ii)等比數列的前n項和公式當q=1時,Sn=③

na1

;教材研讀當q≠1時,Sn=④

=⑤

.(2)分組轉化法把數列的每一項轉化成幾項之和,使所求和轉化為幾個等差、等比數列

之和,再求解.(3)裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差求和,正負相消剩下首尾若干項.(4)倒序相加法把數列分別正著寫和倒著寫再相加,倒序相加法是對等差數列求和公式

的推導過程的推廣.(5)錯位相減法適用于一個等差數列與一個等比數列對應項相乘所得的數列的求和,錯

位相減法是對等比數列求和公式的推導過程的推廣.(6)并項求和法若一個數列的前n項和中,可兩兩合并求解,這種方法稱為并項求和.形如

an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12

=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.2.常見的裂項公式(1)

=⑥

-

;(2)

=⑦

;(3)

=⑧

-

.

1.若數列{an}的通項公式為an=2n+2n-1,則它的前n項和Sn=

()A.2n+n2-1

B.2n+1+n2-1

C.2n+1+n2-2

D.2n+n2-2答案

C

Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+…+(2n+2n-1)=(21+22+…+2n)+[1+3+5

+…+(2n-1)]=

+

=2n+1-2+n2.故選C.C2.已知數列{an}的前n項和為Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1·(4n-3),則S15+S22-S31的值是

()A.13

B.-76

C.46

D.76答案

B

S15=1-5+9-13+…+(4×13-3)-(4×14-3)+(4×15-3)=7×(-4)+57=29,BS22=1-5+9-13+…+(4×21-3)-(4×22-3)=11×(-4)=-44,S31=1-5+9-13+…+(4×29-3)-(4×30-3)+(4×31-3)=15×(-4)+121=61,∴S15+S22

-S31=29-44-61=-76.故選B.3.數列

的前n項之和為

,則n=

.3.數列

的前n項之和為

,則n=

.答案99解析由題意得

+

+

+…+

=

-

+

-

+

-

+…+

-

=1-

=

,令

=

,解得n=99.994.已知數列{an}的前n項和為Sn,且an=n·2n,則Sn=

.(n-1)2n+1+2答案(n-1)2n+1+2解析∵an=n·2n,∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n.

①∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1.

②①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1

=

-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)2n+1-2.∴Sn=(n-1)2n+1+2.典例1

(2015北京朝陽一模)設數列{an}的前n項和為Sn,且a1=4,an+1=Sn,n

∈N*.(1)寫出a2,a3,a4的值;(2)求數列{an}的通項公式;(3)已知等差數列{bn}中,有b2=a2,b3=a3,求數列{an·bn}的前n項和Tn.考點一錯位相減法求和考點突破(2)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.又當n=1時,a1=S1=4.所以an=

(3)設等差數列{bn}的公差為d,依題意,b2=a2=4,b3=a3=8,則由

得b1=0,d=4,則bn=4(n-1).所以an·bn=

因為當n=1時,(n-1)2n+2=0,所以an·bn=(n-1)2n+2(n∈N*).解析(1)因為a1=4,an+1=Sn,所以a2=S1=a1=4,a3=S2=a1+a2=4+4=8,a4=S3=a1+a2+a3=4+4+8=16.所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+…+an-1bn-1+anbn=0+1×24+2×25+3×26+…+(n-2)×2n+1+(n-1)×2n+2,

①2Tn=0+1×25+2×26+3×27+…+(n-2)×2n+2+(n-1)×2n+3,

②①-②,得-Tn=24+25+26+27+…+2n+2-(n-1)×2n+3=

-(n-1)×2n+3=-16-(n-2)×2n+3.所以Tn=16+(n-2)×2n+3.方法技巧(1)一般地,如果數列{an}是等差數列,{bn}是等比數列,求數列{an·bn}的前

n項和時,可采用錯位相減法求和,一般是和式兩邊同乘等比數列{bn}的

公比,然后作差求解;(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”

以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.1-1已知數列{an}是公差大于零的等差數列,數列{bn}為等比數列,且a1

=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;(2)設cn=anbn,求數列{cn}的前n項和Tn.解析(1)設數列{an}的公差為d(d>0),數列{bn}的公比為q,由已知得

解得

或

∵d>0,∴d=2,q=2,∴an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2×2n-1=2n,即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n,∴Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①,2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②,②-①得Tn=-1×2-2×22-2×23-…-2×2n+(2n-1)×2n+1=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)×2n+1=-2-

+(2n-1)×2n+1=6+(2n-3)×2n+1.考點二裂項相消法求和典例2

(2016北京東城二模)已知等差數列{an}滿足a3=7,a5+a7=26,其前

n項和為Sn.(1)求{an}的通項公式及Sn;(2)令bn=

(n∈N*),求數列{bn}的前8項和.解析(1)設等差數列{an}的公差為d,由a5+a7=26,得a6=13,又a6-a3=3d=6,故d=2.所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1.所以Sn=

·n=

·n=n2+2n.(2)由bn=

,得bn=

=

=

-

.設{bn}的前n項和為Tn,則T8=

+

+

+…+

=1-

=

.故數列{bn}的前8項和為

.易錯警示利用裂項相消法求和時,應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一

項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.有些情況下,裂項時需要調整前

面的系數,使裂開的兩項之差和系數之積與原通項相等.2-1

(2018北京海淀高三期中)已知等比數列{an}滿足a1a2a3=8,a5=16.(1)求{an}的通項公式及前n項和Sn;(2)設bn=log2an+1,求數列

的前n項和Tn.解析(1)設等比數列{an}的公比為q.因為a1a2a3=8,且a1a3=

,所以

=8,解得a2=2,又因為a5=a2q3=16,所以q3=8,解得q=2,所以a1=1.所以an=2n-1(n∈N+),所以Sn=

=

=2n-1.(2)因為an+1=2n,所以bn=log2an+1=n,所以

=

=

-

.所以數列

的前n項和Tn=

+

+…+

=1-

=

.典例3

(2017北京西城一模)已知{an}是等比數列,a1=3,a4=24.數列{bn}

滿足b1=1,b4=-8,且{an+bn}是等差數列.(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;(2)求數列{bn}的前n項和.考點三分組轉化法求和解析(1)設等比數列{an}的公比為q.由題意得q3=

=8,解得q=2.所以an=a1·qn-1=3·2n-1.設等差數列{an+bn}的公差為d.由題意得d=

=

=4.所以an+bn=(a1+b1)+(n-1)d=4n.從而bn=4n-3·2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知bn=4n-3·2n-1.設{bn}的前n項和為Sn.則Sn=(4+4×2+…+4n)-(3×21-1+3×22-1+…+3×2n-1)=4(1+2+…+n)-3(20+21+…+2n-1)=2n(n+1)-

=2n2+2n+3-3·2n.所以,數列{bn}的前n項和為2n2+2n-3·2n+3.規(guī)律總結(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數列,可采用分組轉化法求{an}