特殊四邊形知識點梳理

特殊四邊形知識點梳理一、平行四邊形1、定義：（）的四邊形叫做平行四邊形。2、性質：①平行四邊形的對邊（）②平行四邊形的對邊（）③平行四邊形的對角（）④平行四邊形的鄰角（）⑤平行四邊形的兩條對角線（）⑥平行四邊形是（），對稱中心是（）3、判定①一組對邊（）的四邊形是平行四邊形②兩組對邊（）的四邊形是平行四邊形③兩組對邊（）的四邊形是平行四邊形④兩條對角線（）的四邊形是平行四邊形４、常用結論：①平行四邊形的兩條對角線把它分成了四個（）的小三角形（等底等高），分成了四對（）。②平行線間的（）處處相等③任意兩個全等三角形都可以拼成一個（）④()四個內角度數(shù)比可以為a:b:a:b二、菱形1、定義：（）的平行四邊形叫做菱形2、性質：①具有（）的一切性質②菱形的四條邊（）③菱形的兩條對角線（）④菱形的每一條對角線（）⑤菱形是（），也是（），對稱軸是（）所在的直線⑥菱形面積等于底乘以高，也等于（）3、判定：①（）的平行四邊形是菱形②（）的四邊形是菱形③（）的平行四邊形是菱形４、常用結論：①直角三角形中，（）等于斜邊的平方②直角三角形中,30度的角所對的直角邊是（）③如果２２＋１２＝（√5）2，那么以2、1、√5為邊的三角形是(）三、矩形1、定義：（）的平行四邊形叫做矩形2、性質：①具有（）的一切性質②矩形四個角都是（）③矩形的兩條對角線（）且相等④矩形是（）,也是軸對稱圖形,對稱軸是（）的垂直平分線3.判定:①（）的平行四邊形是矩形②（）的平行四邊形是矩形4、常用結論：直角三角形()等于斜邊長的一半四、正方形：1、定義：（）的矩形叫做正方形2、性質：正方形具有（）、（）、（）的一切性質邊：（）都相等且對邊平行角：（）都是直角對角線：對角線互相（）且相等3、判定：①一組鄰邊相等的（）是正方形②（）的矩形是正方形③（）的菱形是正方形④對角線相等的（）是正方形五、梯形和等腰梯形1、定義：梯形：一組對邊（）而另一組對邊（）的四邊形叫做梯形等腰梯形：（）相等的梯形叫做等腰梯形2、性質:①等腰梯形（）的兩個內角相等②等腰梯形（）相等。③等腰梯形是（）圖形④()四個內角度數(shù)比可以是a:b:b:a3、判定：①兩腰相等的梯形是（）。②同一底上的兩個內角（）的梯形是等腰梯形4、常見輔助線：（自己畫上6種圖形）①作高（得平行四邊形和兩個全等三角形）②平移一條對角線（得平行四邊形）③延長兩腰（得等腰三角形）④平移一腰（得平行四邊形和等腰三角形）⑤延長一條底邊（等積變形，得全等三角形）典性習題1.如圖，在正方形ABCD的邊BC的延長線上取一點E，使CE＝AC，AE交CD于點F．那么，∠ACB＝_______°,∠E＝_______°.2.菱形的兩條對角線分別為12和16，則菱形的邊長是______，面積是_________.3.如圖，邊長為4的等邊△ABC中，DE為中位線，則DE=_____,四邊形BCED的面積為______.4.等腰梯形的腰長為5㎝，高是4㎝，它的周長是22㎝，則它的中位線長為_______㎝，面積是_________cm2．5.如圖，△ABC中，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AD是△ABC的角平分線，那么四邊形AEDF的形狀是_____形；在前面的條件下，若△ABC再滿足一個條件___________,則四邊形AEDF是正方形.AABCDEF(第1題)（第3題）(第5題)6．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A.當AB=BC時，它是菱形B.當AC=BD時，它是正方形C.當AC⊥BD時，它是菱形D.當∠ABC=90°時，它是矩形7．把長為8cm，寬為2cm的矩形按虛線對折，按圖中的斜線剪出一個直角梯形，展開得到一個等腰梯形，剪掉部分的面積為6cm2，則打開后梯形的周長是（）第10題圖第10題圖A．cm B．cmC．22cm D．18cm8、如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，過點D作DE⊥AB，過點C作CF⊥BD，垂足分別為E、F，連接EF.求證：△DEF為等邊三角形。9．（本題10分）如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分線，(1)求證：AB＝AC＋CD。(2)如果BD＝4，求AC的長。10.（本題13分）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點P(不與A、B重合)，連結DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，設AP=x．(1)求AD的長。(2)當x為何值時，△APD是等腰三角形？ABCABCDPQEABCD（備用圖2）ABCD（備用圖1）一元二次方程1、一元二次方程（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程兩邊都是關于未知數(shù)的整式；一元二次方程：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。2、配方法（1）直接開平方法的定義利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法一、移項，把方程的常數(shù)項移到等號右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。3、公式法（1）求根公式b2-4ac≥0時，x=(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)二、計算b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，方程有實數(shù)根，否則方程無實數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個根。4、分解因式法（1）分解因式的概念當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，根據a·b=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；三、設每一個因式分別為0，得到兩個一元二次方程；四、解這兩個一元二次方程，它們的解就是原方程的解。典型例題A.+3y-4=0B.2-3x-5=0C.D.+1=02．方程的根的情況是 （）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法確定是否有實數(shù)根3．若方程是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是 （）A.B.C.m≥D.4、方程(x+1)(x－2)=x+1的解是（）A．x=2B．x=3C．x1=－1，x2=3D．x1=－1，x2=25．方程的根為.6、如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值為____．7、如圖，折疊直角梯形紙片的上底AD，點D落在底邊BC上點F處，已知DC=8㎝，F(xiàn)C=4㎝，則EC長3㎝8．解方程：（1）..（2）.（3）（4）9．（本題10分）已知：關于的方程(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的一個根是－２，求的值和方程的另一個根．10、x為何值時的值最小？圓知識點一、圓的定義及有關概念1、圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。2、有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優(yōu)弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點間的線段叫做弦，經過圓心的弦叫做直徑，直徑是最長的弦。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。例P為⊙O內一點，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，則經過P點的最短弦長為________；最長弦長為_______．解題思路：圓內最長的弦是直徑，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10cm，8cm.知識點二、平面內點和圓的位置關系平面內點和圓的位置關系有三種：點在圓外、點在圓上、點在圓內當點在圓外時，d＞r；反過來，當d＞r時，點在圓外。當點在圓上時，d＝r；反過來，當d＝r時，點在圓上。當點在圓內時，d＜r；反過來，當d＜r時，點在圓內。例如圖，在中，直角邊，，點，分別是，的中點，以點為圓心，的長為半徑畫圓，則點在圓A的_________，點在圓A的_________．解題思路：利用點與圓的位置關系，答案：外部，內部練習：在直角坐標平面內，圓的半徑為5，圓心的坐標為．試判斷點與圓的位置關系．答案：點在圓O上．知識點三、圓的基本性質1圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對的弧。3、圓具有旋轉對稱性，特別的圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。4、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角定理推論１：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。圓周角定理推論２：直徑所對的圓周角是直角；９０°的圓周角所對的弦是直徑。例1如圖，在半徑為5cm的⊙O中，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長是（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm解題思路：在一個圓中，若知圓的半徑為R，弦長為a，圓心到此弦的距離為d，根據垂徑定理，有R2=d2+（）2，所以三個量知道兩個，就可求出第三個．答案C例2、如圖，A、B、C、D是⊙O上的三點，∠BAC=30°，則∠BOC的大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°解題思路：運用圓周角與圓心角的關系定理，答案：A例3、如圖1和圖2，MN是⊙O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點P，∠APM=∠CPM．（1）由以上條件，你認為AB和CD大小關系是什么，請說明理由．（2）若交點P在⊙O的外部，上述結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由．(1)(2)解題思路：（1）要說明AB=CD，只要證明AB、CD所對的圓心角相等，只要說明它們的一半相等．上述結論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的．解：（1）AB=CD理由：過O作OE、OF分別垂直于AB、CD，垂足分別為E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF連結OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根據垂徑定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF連接OA、OB、OC、OD易證Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD例4．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關系？為什么？解題思路：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰，要證明D是BC的中點，只要連結AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．解：BD=CD理由是：如圖24－30，連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD知識點四、圓與三角形的關系1、不在同一條直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓：經過三角形三個頂點的圓。3、三角形的外心：三角形三邊垂直平分線的交點，即三角形外接圓的圓心。4、三角形的內切圓：與三角形的三邊都相切的圓。5、三角形的內心：三角形三條角平分線的交點，即三角形內切圓的圓心。例1如圖，通過防治“非典”，人們增強了衛(wèi)生意識，大街隨地亂扔生活垃圾的人少了，人們自覺地將生活垃圾倒入垃圾桶中，如圖24－49所示，A、B、C為市內的三個住宅小區(qū)，環(huán)保公司要建一垃圾回收站，為方便起見，要使得回收站建在三個小區(qū)都相等的某處，請問如果你是工程師，你將如何選址．解題思路：連結AB、BC，作線段AB、BC的中垂線，兩條中垂線的交點即為垃圾回收站所在的位置．例2如圖，點O是△ABC的內切圓的圓心，若∠BAC=80°，則∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°解題思路：此題解題的關鍵是弄清三角形內切圓的圓心是三角形內角平分線的交點，答案A例3如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，則它的外心與頂點C的距離為（）．A．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm解題思路：直角三角形外心的位置是斜邊的中點，答案B知識點五、直線和圓的位置關系：相交、相切、相離當直線和圓相交時，d＜r；反過來，當d＜r時，直線和圓相交。當直線和圓相切時，d＝r；反過來，當d＝r時，直線和圓相切。當直線和圓相離時，d＞r；反過來，當d＞r時，直線和圓相離。切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的直徑切線的判定定理：經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點到切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和圓外這點的連線平分兩條切線的夾角。例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A為圓心，當半徑r多長時所作的⊙A與直線BC相切？相交？相離？解題思路：作AD⊥BC于D在中，∠B=30°

∴在中，∠C=45°∴CD=AD

∵BC=6cm

∴∴∴當時，⊙A與BC相切；當時，⊙A與BC相交；當時，⊙A與BC相離。例2．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，且∠DCB=∠A．（1）CD與⊙O相切嗎？如果相切，請你加以證明，如果不相切，請說明理由．（2）若CD與⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半徑．解題思路：（1）要說明CD是否是⊙O的切線，只要說明OC是否垂直于CD，垂足為C，因為C點已在圓上．由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD與⊙O相切理由：①C點在⊙O上（已知）②∵AB是直徑∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°綜上：CD是⊙O的切線．（2）在Rt△OCD中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD是⊙O的切線，（2）⊙O的半徑是10．知識點六、圓與圓的位置關系重點：兩個圓的五種位置關系中的等價條件及它們的運用．難點：探索兩個圓之間的五種關系的等價條件及應用它們解題．外離：兩圓沒有公共點，一個圓上所有的點都在另一個圓的外部相離：內含：兩圓沒有公共點，一個圓上所有的點都在另一個圓的內部相切：外切：兩圓只有一個公共點，除公共點外一個圓上所有的點都在另一個圓的外部內切：兩圓只有一個公共點，除公共點外一個圓上所有的點都在另一個圓的內部相交：兩圓只有兩個公共點。設兩圓的半徑分別為r1、r2，圓心距（兩圓圓心的距離）為d，則有兩圓的位置關系，d與r1和r2之間的關系．外離d>r1+r2外切d=r1+r2相交│r1－r2│<d<r1+r2內切d=│r1－r2│內含0≤d<│r1－r2│（其中d=0，兩圓同心）例1．兩個同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖1所示（點O，O′是圓心），分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大?。?）(2)解題思路：要求∠TPN，其實就是求∠OPO′的角度，很明顯，∠POO′是正三角形，如圖2所示．解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一個等邊三角形∴∠OPO′=60°又∵TP與NP分別為兩圓的切線，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°例2．如圖1所示，⊙O的半徑為7cm，點A為⊙O外一點，OA=15cm，求：（1）作⊙A與⊙O外切，并求⊙A的半徑是多少？(1)(2)(2）作⊙A與⊙O相內切，并求出此時⊙A的半徑．解題思路：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rO+rA；（2）作OA與⊙O相內切，就是作以A為圓心的圓與⊙O的圓心距d=rA－rO．解：如圖2所示，（1）作法：以A為圓心，rA=15－7=8為半徑作圓，則⊙A的半徑為8cm（2）作法：以A點為圓心，rA′=15+7=22為半徑作圓，則⊙A的半徑為22cm例3．如圖所示，點A坐標為（0，3），OA半徑為1，點B在x軸上．（1）若點B坐標為（4，0），⊙B半徑為3，試判斷⊙A與⊙B位置關系；_A_y_A_y_x_O（1）AB=5>1+3，外離．（2）設B（x，0）x≠－2，則AB=，⊙B半徑為│x+2│，①設⊙B與⊙A外切，則=│x+2│+1，當x>－2時，=x+3，平方化簡得：x=0符題意，∴B（0，0），當x<－2時，=－x－1，化簡得x=4>－2（舍），②設⊙B與⊙A內切，則=│x+2│－1，當x>－2時，=x+1，得x=4>－2，∴B（4，0），當x<－2時，=－x－3，得x=0，知識點七、正多邊形和圓重點：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系．難點：使學生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之間的關系．正多邊形的中心：所有對稱軸的交點；正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑。正多邊形的邊心距：正多邊形內切圓的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角。正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應的邊心距分成兩個全等的直角三角形。例1．如圖，已知正六邊形ABCDEF，其外接圓的半徑是a，求正六邊形的周長和面積．解題思路：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長應與半徑掛上鉤，很自然應連接OA，過O點作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又應用垂徑定理可求得AB的長．正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的．解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑．因此，所求的正六邊形的周長為6a在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a利用勾股定理，可得邊心距OM==a∴所求正六邊形的面積=6××AB×OM=6××a×a=a2例2．在直徑為AB的半圓內，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個內接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24－94的設計方案是使AC=8，BC=6．（1）求△ABC的邊AB上的高h．（2）設DN=x，且，當x取何值時，水池DEFN的面積最大？（3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點1．85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護大樹，請設計出另外的方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹．解題思路：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學的知識，應用配方法求最值．（3）的設計要有新意，應用圓的對稱性就能圓滿解決此題．解：（1）由AB·CG=AC·BC得h==4.8（2）∵h=且DN=x∴NF=則S四邊形DEFN=x·（4.8－x）=－x2+10x=－（x2－x）=－[（x－）2－]=－（x－2.4）2+12∵－（x－2.4）2