高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)案01：第一單元 集合與邏輯 推理與證明

高中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題組法教學(xué)案01

第一單元集合與邏輯推理與證明

本章知識結(jié)構(gòu)

‘確定性

概念-＞元素性質(zhì)f＜互異性

無序性

*列舉法

表示方法一＞描述法

圖示法

集合f［屬于關(guān)系

關(guān)系一'［包含關(guān)系

命題及其關(guān)系'

交集f且］充要條件

運(yùn)算一＞并集＞或f邏輯聯(lián)結(jié)詞一常用邏輯用語

補(bǔ)集f非，存在量詞與

全稱量詞，

、1

歸納推理

合情推理一

推理-＞4類比推理

演繹推理

推理與證明-

綜合法

直接證明一

證明-分析法

間接證明一反證法

本章重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

重點(diǎn)：(1)與集合有關(guān)的基本概念和集合的“并”、“交”、“補(bǔ)”運(yùn)算。

(2)全稱量詞、全稱命題、存在量詞、特稱命題等概念及應(yīng)用。

(3)充分、必要、充要條件的意義，兩個命題充要條件的判斷。

(4)合情推理與演繹推理的概念和應(yīng)用。

(5)直接證明與間接證明的基本方法。

難點(diǎn)：(1)有關(guān)集合的各個概念的含義以及這些概念之間的聯(lián)系。

(2)含有一個量詞的命題的否定。

(3)判斷充要條件時，區(qū)分命題條件和結(jié)論。

(4)運(yùn)用合情推理與演繹推理解決問題。

(5)反證法的證明。

本章學(xué)習(xí)中注意的問題：

(1)在解答有關(guān)集合問題時，首先弄清代表元素，明確元素特點(diǎn)；當(dāng)集合

元素含有參數(shù)時，注意元素互異性；在集合運(yùn)算中注意邊界點(diǎn)、臨界點(diǎn)及空集

可能性。

(2)注意全稱命題，特稱命題的否定。

(3)研究充分條件，必要條件，充要條件時注意聯(lián)系命題，注意原命題與

逆否命題的等價(jià)性。

(4)注意數(shù)形結(jié)合，分類討論，等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想方法的運(yùn)用。

本章高考分析及預(yù)測

(1)近兒年來，每年都有考查集合的題目，總體來說這部分試題有如下

特點(diǎn)：一是基本題，難度不大;二是大都以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，有時是解

答題的一個步驟。對于集合的考查：一是考查對基本概念的認(rèn)識和理解，二是

對集合知識的應(yīng)用。無論哪一種形式，都以其他基礎(chǔ)知識為載體，如方程(組)、

不等式(組)的解集等。

(2)對于邏輯的考查主要考查四種形式的命題和充要條件，特別是充要

條件，已經(jīng)在許多省市的試卷中單獨(dú)出現(xiàn)，命題形式：一是原命題與逆否命題

的等價(jià)性(含最簡單的反證法)；二是充要條件的判定。在考查基礎(chǔ)知識的同時,

還考查命題轉(zhuǎn)換、推理能力和分析問題的能力以及一些數(shù)學(xué)思想方法的考查。

(3)推理在高考中雖然很少刻意去考查，但實(shí)際上對推理的考查無處不

在，從近兒年的高考題來看，大部分題目主要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯分析和推理

能力，證明是高考中常考的題型之一，對于反證法很少單獨(dú)命題，但是運(yùn)用反

證法分析問題、進(jìn)行證題思路的判斷經(jīng)常用到，有獨(dú)到之處。

(4)預(yù)計(jì)在2009年的高考中，集合部分的試題還將以選擇題或填空題

的形式出現(xiàn)，主要考查集合語言與集合思想的運(yùn)用，考查以集合為背景的應(yīng)用

性、開放性問題，命題將構(gòu)思巧妙、獨(dú)特新穎、解法靈活；而對于命題的考查

與其它知識相結(jié)合，因此基本概念和技能一定要落實(shí)好。

§1.1集合集合間的基本關(guān)系

新課標(biāo)要求

1、了解集合的含義，元素與集合的“屬于關(guān)系”。

2、能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具

體問題。

3、理解集合之間的包含和相等的含義，能識別給定集合的子集。

4、在具體情景下，了解全集與空集的含義。

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

重點(diǎn)：(1)集合的概念與表示。

(2)集合之間的基本關(guān)系。

難點(diǎn)：(1)集合元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性。

(2)元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系以及符號q、e的應(yīng)用。

(3)空集的特殊性。

高考分析及預(yù)測

集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，因此

集合的概念以及集合之間的關(guān)系是歷年高考的必考內(nèi)容之一，本部分的考查一

般有兩種形式：一是考查集合的相關(guān)概念，集合之間的關(guān)系，題型以選擇題、

填空題為主；二是考查集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用，這多與其他知識融

為一體，題型也是一般以選擇填空為主，單純的集合問題以解答題形式出出現(xiàn)

的兒率較小，多是與函數(shù)、不等式等聯(lián)系。在復(fù)習(xí)中還要特別注意，新課標(biāo)的

中特別強(qiáng)調(diào)表達(dá)與描述同一問題的三種語言“自然語言、圖形語言、集合語言”

之間的關(guān)系，因此要注意利用韋恩圖數(shù)軸函數(shù)圖象相結(jié)合的作用，另外集合新

定義信息題在近幾年的命題中時有出現(xiàn)，注意研究。2009年是新課標(biāo)命題第三

年，預(yù)測在高考中部分會繼續(xù)保持穩(wěn)定難度不會太大，命題形式會更加靈活新

穎。

提組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1、填空

(I)下列說法中①全中國的大胖子，②小于100的所有質(zhì)數(shù)，③幸福中學(xué)

高三1班同學(xué)，④2008年北京奧運(yùn)會的所有比賽項(xiàng)目，

以上四個說法不能組成集合的是

(2)集合人=竹一女,2%},則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

2、選擇

(1)設(shè)全集U=R,集合M={x[x<-l},N={x|k|〉l}則下列關(guān)系中正確的是

()

A、M=NB、NuMC、MuND、NcgM=0

(2)給出如下關(guān)系式①au{a,b},②ae[a,b]，③0e{a}④0u{a}⑤{a}c{a,b}

⑥{a}q{a},其中正確的是()

A、①②④⑤B、②③④⑤C、②④⑤D、②④⑤⑥

鞏固型題組

3.2008年第29屆奧運(yùn)會在北京召開，現(xiàn)在三個實(shí)數(shù)的集合，既可以表示為

也可以表示為{K。+80},則。2g+/。。8=。

a

4.已知集合4={x|x=a+_L,aeZ},8={x|x/_!,beZ},C={x|x，+LceZ},則A,B,C之間的關(guān)

62326

系是。

A.A=BczCB.AuB=CC.AuBuCD.AuBuC

5.設(shè)P,Q為兩個非空集合，定義集合P+Q={a+"aeP為w。},若

P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+。中元素的個數(shù)是o

A.9B.8C.7D.6

6.記函數(shù)=的定義域?yàn)锳,g(x)=lg[(x-a-l)(2a-x)](a<1)的定義域?yàn)?/p>

B.

(1)求A.

(2)若AUB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

提高型題組

7.已知fe{i,o,%},求實(shí)數(shù)x.

8.已知集合4={尤|——3x—lv0}。

(1)若8q右8={尤|加+14》42?1+1},求實(shí)數(shù)111的取值范圍.

(2).若A=5,5={x|m-6342吁1},求實(shí)數(shù)ID的取值范圍.

(3)若AuB,8={x|〃?-64x?21},求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

反饋型題組

9.(08年江西)定義集合運(yùn)算4*8=億|2=研》",-3},硼={1,2},8={0,2}，則集合A*8的

所有元素之和為()。

A.0B.2C.3D.6

10.設(shè)集合M={x|xJ+Lk€Z},N={x|x」+4eZ},則正確的是（）

2442

A.M=N

B.McN

C.M3N

D.MAN=0

11.（08福建）設(shè)集合A={x|-^y<o},B={x[O<x<3},那么“加eA"是"mGB"

的_________

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.已知集合人=,|江+4》+4=0,4€/?}只有一個元素，則a=

13.已知集合A={x|0<ax+145},集合8="|<xW2卜

(1)若A=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由。

14.設(shè)A為實(shí)數(shù)集，滿足ae4=＞」一eA,1任A,

1-a

⑴若2eA,求A；

(2)A能否為單元素集？若能把它求出來，若不能，說明理由；

(3)求證：若aeA,則

15.已知集合A=卜|卜一期]，集合8=(y|y=--^-cos2x-2asinj;+-1,xGA>,

其中工《〃K》，設(shè)全集I=R，欲使%A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

6

§1.2集合的運(yùn)算

新課標(biāo)要求

(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。

(2)理解在給定集合中的一個子集的補(bǔ)集的含義。會求給定子集的補(bǔ)集。

(3)能使用韋恩圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算。

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

并集、交集、補(bǔ)集的含義，以及兩個集合之間并、交、補(bǔ)的運(yùn)算

高考分析及對策

(1)以考查集合的并、交、補(bǔ)等運(yùn)算為主，同時注重韋恩，數(shù)軸應(yīng)用，求并、

交、補(bǔ)等數(shù)形結(jié)合的思想的考查。

(2)本節(jié)在高考中常以選擇、填空題型考查，屬容易題。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1.已知集合M={x|x2-3x-2840},N={x|x2-x-6>0}則MAN為

A{x[x<-2或3<x<7}B{x|-4<xW-2或34x<7}

C卜|》《一2或》>3}D{x|x<-2或xN3}

2已知集合4={劃％—1<0},8={尤|3年一2—乂2<0},1<是全集。

①AUB=8②A^B=A③(5)UB=R④(")U(C*)=R

其中成立的是()

A①②B③④C①②③D①②③④

鞏固形題組

3.設(shè)函數(shù)/(x)=log2(2x-3)的定義域M,函數(shù)g(x)=J(x—3)(x7)的定義域?yàn)镹,求

(1)集合M,N

(2)集合MAN,"UN

4.(08湛江模擬)已知集合〃={x|y=lg(4-N為自然數(shù)集合，求MAN

5.(07北京)已知集合4=卜山-〃|41},B={X|X2-5X+4>0},若an8=0

,求a的取值范圍

提高型題租

6.(08廣東清遠(yuǎn))記函數(shù)/(x)=/2-皆|的定義域?yàn)锳,g(x)=lg(x-"l)(2a-x),

(a<l)的定義域?yàn)锽

⑴求A

(2)若AUB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

7.已知A={y|y=x?+2〃zx+4,xe/?},B=<x|log；x+log]xW0,且AD8。0求實(shí)數(shù)m的

、3-

取值范圍

22

8.設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R,A={X|2X-7X+3<0},B={x|x+a<0}o

(i)當(dāng)a=-4時，求An8和AnB

(2)若(C;A)n8=5,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

反饋型題組

9.設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R,M={x|f>4},N={x[l<x<3},則圖中陰影部分所表示的

集合是()

A.1%|-2<x<1)B.|-2<x<2}C.11<x<2)D.{x|x<2}

10.(08廣東興寧模擬)設(shè)數(shù)集〃=卜|mw團(tuán)+：1,N=卜|<尤w/?1,M、N都

是集合的0341}的子集,如果把b-a叫做集合{x|aW。}的“長度”，那么集合

MAN的“長度”的最小值是

A.-17B.-C.—1D5.—

331212

11.定義集合A*B={Z|Z=xy(x+y),x&A,yeB},l^A={1,2},B={3,4}則集合A*B所

有元素之和為

12.高三某班共有45人，摸底測驗(yàn)數(shù)學(xué)20人得優(yōu)，語文15人得優(yōu)，兩門都不得

優(yōu)20人，則兩門都得優(yōu)的人數(shù)

13.已知集合A=|y2-(a2+a+l)y+a(a2+1)>0|,5=jy|y=-^-x2-x+^,0<x<31

(1)若An6=0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

(2)當(dāng)a取使不等式r+12ax恒成立的最小值時，求(。儲)「8

§1.3命題、基本邏輯連接詞與量詞

新課標(biāo)要求：

1.了解命題及逆命題、否命題與逆否命題

2.了解邏輯連結(jié)詞“或”“且”“非”的含義。

3.理解全程量詞與存在量詞的意義。

4.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定。

5.學(xué)會運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行推理。

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦：

本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是有關(guān)命題的概念及四種命題間的相互關(guān)系；邏輯聯(lián)結(jié)詞的含

義及命題真假的判定；全稱量詞與存在量詞的有關(guān)概念。

本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)：是對含有一個量詞的命題的否定，含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的

真假的判斷，以上是重點(diǎn)突破的內(nèi)容。

高考分析及預(yù)測：

1.考查命題轉(zhuǎn)化，邏輯推理能力和分析問題，解決問題的能力。多以選擇題、填

空題的形式出現(xiàn)。

2.全稱量詞與存在量詞作為新增內(nèi)容，很有可能在選擇題，填空中出現(xiàn)。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組：

1.分別指出由下列命題構(gòu)成的“pvg”，“形式的命題的真假。

(1)p：4G{2},q：2e{2,3}

(2)p：l是奇數(shù)，q：l是質(zhì)數(shù)

(3)p：0e0q：|x|x2-3x-5<01c

(4)p：5<5q:27不是質(zhì)數(shù)

(5)p：不等式x?+2x-8<0的解集是{x|-4<x<2}

q：不等式x?+2x-8<0的解集是{x|x<-4或x>2}

2.寫出下列命題的否定，并判斷命題的否定的真假，指出命題的否定屬于全稱

命題還是特稱命題:

(1)所有的有理數(shù)是實(shí)數(shù)。

(2)有的三角形是直角三角形

(3)每個二次函數(shù)的圖像都與Y軸相交

(4)Vxe/?,x2-2x>0

鞏固型題組

3.如果命題"pvg"是真命題，命題"p/\q"是假命題，那么()

(A)命題p和命題q都是假命題

(B)命題p和命題q都是真命題

(C)命題p和命題非q真值不同

(D)命題p和命題非q真值相同

4.已知a>0,設(shè)命題p:函數(shù)尸/在R上單調(diào)遞增；命題q:不等式分-公+1>0對

TxeR恒成立，若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍。

提高型題組

5設(shè)P：關(guān)于X的不等式標(biāo)>1的解集是｛x|x<O｝,Q：函數(shù)y=lg(ax2_x+a)的定義域?yàn)?/p>

R,如果P和Q有且僅有一個正確，求a的取值范圍.

6(2007年江蘇統(tǒng)考)下列命題中不正確的是()

A.X/a,beR,an=+b,有｛"“｝是等差數(shù)列

2

B.3a,beR,an=an+bn,使｛”“｝是等差數(shù)列

2

C.\fa,beR,Sn-an+bn+c,有｛%｝是等差數(shù)列

D.3a,b,ceR,S?-an2+bn+c,使｛a“｝是等差數(shù)列

反饋型題組：

7.已知命題p：YXGR,sinxNl則()

A.「p：Bxe/?,sinx>1B./?,sinx>l

C.」p:BxG/?,sinx>1D."/?:VxeR,sinx>1

8.命題“存在XEZ,使/+2x+mK0”的否命題是（）

A.存在XEZ,使—+2尤+加>0

B.不存在xcZ,使+2x+加>0

C.對于任意xcZ都有x2+2x+m<0

D.對于任意xGZ都有—+2無+m>0

9.命題“若ab=0,則a=0或b=0”的逆否命題是（）

A.才：w0,則Qw0或/?w0

B.若aw0或。w0,則加0

C.若貝UQWO且bwO

D.若awO且bwO,則obwO

10.命題p:不等式-^―I>—^的解集為{x[0<x<l},命題q:"A=B"是"sinA=sinB”

X—1X—1

成立的必要非充分條件，則（）

A.p真q假B.“p且q”為真

C."p或q”為假D.p假q真

11.與命題“若aeM,貝必eM”等價(jià)的命題是（）

A.若awM,則be何B.若。M,貝I」aeM

C若則beMD.若beM則a任〃

12.如果命題“XP或公”為假命題，貝lj（）

A.p、q.均為真命題

B.p、q.均為假題

C..p、q.中至少有一個為真命題

D.p、q.中至多有一個為真命題

13.已知命題p：——您6,q:xeZ,且“p且q”與“非p”同時為假命題，求

x的值。

§1.4充分條件，必要條件與四種命題

新課標(biāo)要求

1.本節(jié)涉及到的主要基礎(chǔ)知識

(1)了解命題及其逆命題，否命題，逆否命題

(2)理解充分條件，必要條件與充要條件的意義，會分析四種命題的相互關(guān)系

2.常用的數(shù)學(xué)思想方法

演繹法，特例法，轉(zhuǎn)化思想法

3.主要能力

運(yùn)算能力和邏輯思維能力

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦

本節(jié)重點(diǎn)難點(diǎn)是四種命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化和充分條件，必要條件，充要條件的判

斷

高考分析和預(yù)測

近兒年的高考命題中，命題成立的充分，必要及充要條件的求解和判斷問

題；四種命題的關(guān)系已成為高考命題的首選素材。一方面這類問題具有很深廣

的開放性，另一方面命題的空間廣闊，可與多個知識點(diǎn)進(jìn)行交匯，命題素材隨

處可見。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1.分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。

(1)若”1,則方程—+2工+4=0有實(shí)根；

(2)若ab=0,則a=0或b=0;

(3)若爐+丁=0,則全為零

2.在下列各題中，判斷A是B的什么條件，并說明理由

(1)A：同22,peR;8:方程x2+px+p+3=0有實(shí)根；

(2)A：圓/+/=/與直線ax+by+c=O相切，B：

鞏固型題組

3.已知p:1--~-<2,q:x2-2x+l-m2<0(m>0)?且/是的必要而不充分條件,

求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

4.下列命題：(1)“若xy=O則x,y中至少有一個為零”的否命題(2)

面積不相等的三角形不全等，(3)“若加41,則2x+〃?=0有實(shí)根”的逆否命題,

(4)左70是方程y=Ax+b表示直線的充分不必要條件，其中真命題有__

提高型題組

5.分別寫出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題，命題的否定，并判斷它們的

真假：

(1)若“41,則方程爐+23+4=0有實(shí)根;

(2)若x,y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)；

(3)若盯=0,則x=0或y=0；

(4)若/+/=(),則尤,y全為0.

6.已知拋物線C:y=-/+舊1和點(diǎn)A(3,0),B(0,3).求證：拋物線C與線段

AB有兩個不同的交點(diǎn)的充要條件是3〈〃區(qū)3

3

反饋型題組

7(2007重慶)命題“若f<l,貝的逆否命題是()

A.若—21,貝iJxNl,或xW-lB.若-1cx<1,則》2<1

C.若x>l,或x<-l,則了2>1D.若xNl或xW-l,則-21

8.(2007北京)平面a/力的一個充分條件是()

A.存在一條直線a,a//a,a//j3

B.存在一■條直線a,aua,a!I/3

C.存在兩條平行直線ua,bu/3,a110,b"a

D.存在兩條異面直線ua,bJ3,a///3,b//a

9.(2007天津)“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=l”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

10.(2007湖北)已知p是/"的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是「的必要條

件，4是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：()

(1)s是q的充要條件(2)p是q的充分不必要條件(3)r是q的必要不充分條

件(4)是F的必要不充分條件(5)r是s的充分不必要條件

A.(1)(4)(5)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(5)D.(2)(4)(5)

2

11.已知條件p：A.xBaWxAY+i}條件，q-B=^x\x-3(a+l)x+2(3a+1)<o}

若條件p是條件4的充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

§1.5合情推理與演繹推理

新課標(biāo)要求

1、了解合情推理的含義，利用歸納與類比等進(jìn)行簡單的推理。

2、了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能進(jìn)行簡單的推理。

重難點(diǎn)聚焦

重點(diǎn)：歸納推理與類比推理的一般步驟，演繹推理的“三段論”模式。

難點(diǎn)：合情推理的猜想與演繹推理的證明。

高考分析及預(yù)測：

推理是高考的重要的內(nèi)容，推理包括合情推理與演繹推理，由于解答高考

題的過程就是推理的過程，因此本部分內(nèi)容的考察將會滲透到每一個高考題中，

考察推理的基本思想和方法，既可能在選擇題中和填空題中出現(xiàn)，也可能在解

答題中出現(xiàn)。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1.根據(jù)右邊給出的數(shù)塔猜測123456義9+7=（）

A.1111110lx9+2=11

B.111111112x9+3=111

C.1111112123x9+4=1111

D.11111131234x9+5=11111

2.下列那個平面圖形與空間中平行六面體作為類比對象比較合適。（）

A.三角形B.梯形C.平行四邊形D.矩形

3.演繹推理是以（）為前提，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法。

A.一般性的原理B.特定的命題

C.一般性的真命題D.定理、公式

鞏固型題組

4.設(shè)出｝是集合｛2，+2'|0?s<f,且s、fwZ｝中的所有數(shù)從小到大排成的數(shù)列，

即q=3,4=5,%=6,4=9,%=1。,。6=12…，將各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則

寫成如下三角形數(shù)列表：

3

56

91012

(1)寫出這個三角形數(shù)表的第四、第五行各數(shù);

(2)求。儂

5.請用類比推理完成下表:

平面空間

三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個面的面積之

和大于第四個面的面積

三角形的面積等于任意一邊三棱錐的體積等于任意一個

的長度與這邊上高的乘積的一半底面的面積與該底面上的高的乘

積的三分之一

三角形的面積等于其內(nèi)切圓

半徑與三角形周長的乘積的一半

6.已知函數(shù)f(x)=x2+x-l,a4是方程f(x)=0的兩個根(a>尸)，f，(x)是f(x)

的導(dǎo)數(shù)。設(shè)ai=l,an+i=an-粵4(〃=1,2,…).

(1)求夕的值。

(2)對任意的正整數(shù)n有an>a,記=ln*N(〃=1,2,…)，求仍“｝的前n

項(xiàng)和s“O

7.證明：/(x)=-/+2x在(-8,1］上是增函數(shù)。

8.由圖(1)有面積關(guān)系隆迎=坐些邑。則由圖(2)有體積關(guān)系：立3

S'APABPA?PBVp_"c

等于多少?

反饋型題組

9.已知扇形的弧長為/,半徑為r,類比三角形的面積公式：S=/直，可知扇形

2

面積公式()

入二B.~c.~D.不可類比

222

10.在數(shù)列｛%)中,4=0,。向=29+2,則勺是()

A.2"-2+-B.2"-2C.2"-'+1D.2"+'-4

2

11.若點(diǎn)E、F、G、H順次是空間四邊形ABCD四條邊AB、BC、CD、DA的中

點(diǎn)，EG=3,FG=4,貝IJAC2+802的值是()

A.25B.50C.100D.200

12.等差數(shù)列｛a,J中，4>0，公差d>0,則有>%x%,類比上述性質(zhì)，在等比

數(shù)列也J中，若b“>0,q>0,寫出為也也的一個不等關(guān)系0

13.在數(shù)列｛%｝中,%=I,%+I=2J,〃WN*,猜想這一數(shù)列的通項(xiàng)公式。

2+a.

14.若四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積是多少？

（只需寫出一個可能的值）

§1.6直接證明與間接證明

新課標(biāo)要求：

1.了解直接證明的兩種基本方法一分析法與綜合法，了解兩種方法的思考過程與

特點(diǎn)。

2.了解間接證明的一種基本方法一反證法，了解他的思考過程與特點(diǎn)。

重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦：

理解綜合法證明與分析法證明的概念及它們的區(qū)別，綜合證題是由因索

果，分析法證題是知果索因，這是兩種思路截然不同的方法，在解決問題時可

以綜合應(yīng)用。反證法適用于不易直接證明的問題，關(guān)鍵應(yīng)把握證題的步驟，且

證明中必須用到假設(shè)。

高考分析及預(yù)測

歷年高考中都要考察證明，以考察綜合法為主，有時也考察到分析法與反

證法，2009年預(yù)計(jì)仍會考到之一部分的內(nèi)容，很可能涉及立體幾何，解析幾何,

不等式，方程等知識，因此把握好三中證明方法的思考過程和步驟是關(guān)鍵。

題組設(shè)計(jì)

再現(xiàn)型題組

1.證明分為與,直接證明包括、等；間接證明主要

是。

2.綜合法：（1）一般的，利用,經(jīng)過

最后。這種證明方法叫做綜合法。

（2）.綜合法的模式;若用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表

示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：

|Pn閔t12n|Q=閔—…fQ”nQ

3.分析法：一般的，從出發(fā)，逐步尋找使___________直至最

后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為（已知條件、定義、定理、

公理等）。這種證明方法叫做分析法。分析法可用框圖表示為：

Oilf刃T

4.反證法：一般的，假設(shè)（即在原命題的條件下，結(jié)論不成

立），經(jīng)過

，最后，因此說明,從

而，這樣的證明方法叫做反證法。

鞏固型題組

5.設(shè)a+b>O,n為偶數(shù)，證明：^―+-->-+-o

a'b"ab

6.已知非零向量。求證：用當(dāng)14行。

\a-b\

7.已知，a,0,ce(O,l),

求證：(1-4)4(l-O)c,(l-c)a不能同時大于工。

4

提高型題組

8.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=l

求證：a2+b2+c2>-o

3

9,已知ac>2(〃+d)

求證：方程/+〃x+/?=0與方程/+cx+d=0中至少有一個方程由實(shí)數(shù)根。

反饋型題組

10.下列四個命題，其中屬于假命題的是()

A.不存在無窮多個角。和夕，使得sin(a+2)=sinacos13-cosasin,。

B.存在這樣的角a和夕，使得cos(a+(3)=cosacos尸+sinasin0。

C.對任意的角二和夕，都有cos(a+〃)=cosacosQ-sinasinf3。

D.不存在這樣的角二和夕，使得sin(a+力)wsinacos夕+cosasin尸。

11.下列各式對OR都成立的式子是()

A.Ig(x2+l)>lg2xB.(x2+l)>2xC.<1D.x+->2

X+1X

12.已知x,y是正變數(shù)，a,b是正常數(shù)，且@+2=1,則x+y的最小值為

13.設(shè)〃也c￡R+,a+Z?+c=1,則7^+揚(yáng)+〃的最大值是o

14.已知數(shù)列｛log(a“-1)｝(〃GN*)為等差數(shù)列,且％=3,%=9,

(1).求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。

(2).證明」+—J—<1.

々一％a3-a2an+i-an

15.已知函數(shù)/(x)=a'+—(?>1)

X+1

(1).證明：函數(shù)/(X)在(-1,+00)上為增函數(shù)。

(2).用反證法證明"x)=0沒有負(fù)數(shù)根。

16.已知函數(shù)y=3(x/),證明：

-2x-l2

(1).經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸。

(2).這個函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形。

第一章.集合與簡易邏輯、推理與證明單元綜合檢測題

一.選擇題

1.設(shè)全集。=/?,集合M={x|x<l},N={x||x|>l},則下列關(guān)系中正確的是()

A.M=NB.N-uMC.M-uND.NcCllM=0

2.已知全集U=Z,A={-1,0,1.2},8={X|X2=X},則為()

A.{-1,2}B.{-l,0}C.{0,l}D.{1,2}

3.若命題“PvQ”與“PAQ”中一真一假，則可能是()

A.P真Q假B.P真Q真C.子真Q假D.P假？真

4.命題“對任意的Xe-工2+1W0”的否定是()

A.不存在了€/?,》3_》2+]<0B.存在xe/?,x3—f+iwo

C.存在xeR4—f+i>。D.對任意xe/?,/—/+1>()

5.設(shè)是例,N兩個集合，貝I」“MUNW0”是"A/nNH0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.推理：(1)矩形是平行四邊形;(2)三角形不是平行四邊形；(3)所有三角形不

是矩形。

其中的小前提是()

A.(l)B.(2)C.(3)D.(l)和(2)

二.填空題

7.集合A={-1,3,2〃1},集合8={3,/},若8qA,貝lj實(shí)數(shù)機(jī)=。

8.已知集合A={x||x-"區(qū)1},8=*|/_5》+420},若4口8=0，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是。

9.設(shè)p,q為兩個命題，p:log］（忖-3）〉0,q:Y-!■+，>（）,則p是q的_______條件。

266

10.由圖（1）有面積關(guān)系?空空=型里。則由圖（2）有體積關(guān)系：Vf'B'c'等

SAPABPA?PB*P-ABC

于多少？

B

(1)

三.解答題

11.已知〃>0力>0且a+〃>2,求證:匕士士■中有一個小于2.

ab

12.已知命題p:方程/+用》+1=0有兩個不等的負(fù)實(shí)根；命題

q:方程4x?+4（機(jī)-2）x+l=0無實(shí)根，若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍。

參考答案部分

§1.1集合間的基本關(guān)系

再現(xiàn)型題組

1.填空

(1)答案：(1)

提示：因?yàn)闆]有規(guī)定大胖子的標(biāo)準(zhǔn)，所以(1)不是集合。由于(2)(3)(4)

中的對象具備確定性因此可以組成集合。

(2)答案：伙I女#0且kw3}

提示：利用集合的元素的互異性可得k?-kw24解得"0月j"3

基礎(chǔ)知識聚焦：一般地，某些被考察的對象集在一起，就構(gòu)成了一個集合(簡

稱集)集合中兩個對象稱為這個集合的元素，又具有三個特性：確定性,

無序性，互異性。

確定性：對于一個給定的集合，任何一個對象或者是這個集合中的元素

或者不是它的元素。

互異性：相同對象歸入任何一個集合時，只能算作這個集合的一個元素。

無序性：在一個集合中，通常不考慮元素之間的順序，例如{a,b}={a,b}

變式拓展：(1)下列各組對象中不能形成集合的是()

A.高一1班全體學(xué)生B.高一1班全體女學(xué)生

C.張良的所有初中老師，D.李佳的所有好同學(xué)

(2)由實(shí)數(shù)-x,xjxi,aL-VF,所組成的集合中最多含有()個元素

A2B3C4D5

(3)設(shè)P,Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義P?Q={zlz=ab,aeP,beQ},若

「={-1,0,1}々={22}則集合15?中元素的個數(shù)是()

A3B4C5D6

答案：(1)D(2)A(3)A

2.選擇題

(1)答案：C

提示：因?yàn)镹={xlx>l或x<-l}所以MuN選C

(2)答案:D

提示：(1)不正確，應(yīng)為ae{a,b}(3)不正確，集合間的關(guān)系應(yīng)表示為

(2)(4)(5)(6)都正確，選D

基礎(chǔ)知識聚焦：元素與集合之間用屬于e或不屬于任表示。

集合與集合之間的關(guān)系用符號。品表示

子集：對于兩個集合與如果對于集合的每一個元素，它也是集合的元素，那么

集合叫做集合的子集，記作AqB或B衛(wèi)A

真子集：如果集合是集合的子集，并且集合中至少有一個元素不屬于集合那么

集合叫做集合的真子集，記作AuB或BuA

拓展變式：

（2006年江蘇）若A,B,C為三個集合，AUB=BnC,則一定有（）

AAcCBCcACAYCDAN。

答案：A

提示：由AUB=BnC知AUBqB且AUB@C,所以AqC且B±C,故選A.

鞏固型題組：

3.答案：1

解析：根據(jù)集合中元素的確定性，我們不難得到兩集合的元素是相同的，這樣

需要列方程組分類談?wù)摚@然復(fù)雜又繁瑣。這時若能發(fā)現(xiàn)。這個元素，和2中a

a

不為0的隱含信息，就能得到如下解法。

由已知得2=0,及a=0,所以b=0,于是/=1,即a=l或a=-l,又根據(jù)集合

a

中的互異性a=l應(yīng)舍去，因而a=-l故/頌+/皿=（-1）2頌=i

方法點(diǎn)撥：1.利用集合中元素的特點(diǎn)，列出方程組求解，但仍然要檢驗(yàn)，看所得

結(jié)果是否符合集合元素的互異性的特征。

2.此類問題還可以根據(jù)兩集合中元素的和相等，元素的積相等，列出方程組求解,

但仍然要檢驗(yàn)。

拓展變式：含有三個實(shí)數(shù)的集合｛x,上,1｝也可以表示為｛區(qū)冰+乂0｝則/-丁3=

X

答案：-1

4.解法1：分析：用列舉法表示各集合中的元素，再判斷

解：簡單列舉集合中的元素：

_[71319?

A={...

_L1111

B={…,-針6，3,6，，，，)

j_275?

C={..?6'3%'針…'

AuB,B=C,即AuB=C

答案：B

點(diǎn)撥：這兒個集合都是無限集，列舉時列舉元素個數(shù)不能太少，太少了不便于

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，會導(dǎo)致判斷錯誤。

解法2：用各集合中元素所具備的特征入手

解：在A中，x=史」,aeZ;在B中,x=亞二2,beZ;在C中,x=tD,ceZ

666

顯然B=C,且AuC

答案：B

點(diǎn)撥：(1)形式統(tǒng)一化

(2)熟悉數(shù)的整除性，3b-2(beZ),3c+l(ceZ)都表示被3除余1的整數(shù)，

而6a+l(aeZ)表示被6除余1的整數(shù)。

5.分析：寫出元素與Q中元素相加和分別為1,2,3,4,6,7,8,11,共8個。

答案：B

方法點(diǎn)撥：在處理集合問題時首先看集合的代表元素，由代表元素確定集合的

性質(zhì)。

拓展變式：已知非空集合Mq{1,2,3,4,5}那么集合M的個數(shù)為()

A5B6C7D8

答案：D

6.分析：由函數(shù)定義域可求得集合A、B對B中含參數(shù)的二次不等式要考慮兩根

大小，再由BoA轉(zhuǎn)化為區(qū)間的端點(diǎn)值大小關(guān)系的不等式，2a21,或

a+1<-1求出a的范圍。

解：(1)由2----=.”<一1或xNl。即A=(—8,-1)+8)

X+1X+1

(2)由-1)(2〃-x)〉0,得(X-Q-1)(X-2Q)<0,<1〃+1>2Q

故8=(2。,。+1).AuB=A,「.8屋A.二2。21或a+1?—1,即a2；或。工一2,而。<1,

.彳。<1或“4—2。故當(dāng)AUB=A時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(—8,—2]U

點(diǎn)評：(1)利用集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍，一般根據(jù)集合的有關(guān)概念，借助于

數(shù)軸，建立不等關(guān)系，注意端點(diǎn)是否取到。

(2)本例中AUB=A=B=A=AnB=B注意等價(jià)性。

拓展變式：如果將6中的a>l條件去掉，請寫出集合B°

解析：由題意得(x-a-1)(2a-x)>0

所以，[x-(a+l)](x-2a)<0

a=l時，不等式(x-2)2<0

無實(shí)數(shù)解，此時B="

a>l時，2a>a+l不等式為a+l<x<2a

止匕時B={Xla+l<x<2a}

a<1時2a<a+1

不等式為2a<x<a+l

此時B={xl2a<x<a+1}

提高型題組：

7.分析：由元素確定性可知爐=0』或x.

由互異性知爐工0,1確定x值

解：若f=o,則x=0,此時集合為{1,0,0}不符合集合中元素的互異性，舍去。

若了2=1,貝l]X=l,-1.

當(dāng)X=1時-，集合為{1,0,1},舍去；當(dāng)x=-l時，集合為{1,-1,0),符合。

若/=x,則x=0或x=l,不符合互異性，都舍去。

綜上所述知：x=-l.

點(diǎn)撥：由于集合元素的互異性，因而對求集合中參數(shù)的值的問題，必須有檢驗(yàn)

的意識。

拓展變式：

已知A={a-2,2/+5a,10}且-3eA,求a

解；：-3eA

a-2=-3,或2/+5a=-3

a=-1,或a=--

2

但a=-l時，a-2=-3且2/+5a=-3,與集合中元素的互異性矛盾。

a=——3

2

8.分析：集合間的包含、相等關(guān)系，關(guān)鍵搞清A、B兩集合誰是誰的子集，BqA

說明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是”的

情況，同樣AqB,說明A是B的子集，此時注意B是不是。oA=B

說明兩集合元素完全相同。

解：(1)由A={xlX2-3X-10<0}

得A={xl-2<x<10}

因?yàn)锽cA,

所以，⑴若B=。

貝m+l>2m-l

即m<2,

止匕時滿足BeA

m+\<2m-\

(ii)若Bw“則<m+1>-2

2m-1<5

-2m+1o2m-1

解得24m43

由⑴(ii)得，m的取值范圍是(-oo,3]

⑵若A=B則必有｛憶二解得…

即不存在m值使得A=B

2m-1>m-6m>-5

(3)若AgB,則依題意應(yīng)有m-6<-2,解得<m<4,故3Km04

2m-1>5in>3

所以m的取值為[3,4]

規(guī)律技巧總結(jié)：

解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，應(yīng)注意一下兒點(diǎn)：

(1)注意空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，解題時不要漏掉這一

點(diǎn)。

(2)解決此類問題，避免出錯的一個有效手段是合理利用數(shù)軸幫助分析與求解,

這也是數(shù)與形的完美結(jié)合之所在。

(3)在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進(jìn)行討論，分類時要遵循

“不重不漏”的分類原則，然后對每一類情況要給出問題的解答，分類討

論的一般步驟是：確定標(biāo)準(zhǔn)；恰當(dāng)分類；逐類討論；歸納結(jié)論。

課堂小結(jié)：

1.注意集合互異性及空集在解題中的特殊性，如AqB,則有A=?；駻?！钡目?/p>

能性。

2.從集合觀點(diǎn)看，若AcB,則A是B的充分條件，B是A的必要條件，若A=B,

則A,B互為充要條件。

3.利用集合間的關(guān)系建立不等式求參數(shù)范圍時，要注意分類討論思想和數(shù)形結(jié)合

思想的運(yùn)用。

反饋型題組：

9答案:D

解析：由A*B定義寫出集合A*B中的所有元素，有0,2,4,所有元素之和是

0+2+4=6,選D

點(diǎn)撥：本題是創(chuàng)新型概念理解題，有的人又稱為自定義題型，在這里準(zhǔn)確理解

A*B是解決問題關(guān)鍵，并且又考查了集合元素的互異性，因此又要準(zhǔn)確

理解集合的含義，明確題目所要解決的問題，從而解決問題。

10.答案：B

解析：可利用特殊值法，令k=-2,-l,0,l,2可得，-}

44444

N={…,0,-,-,1,...)所以MuN

424

解析2：集合M的元素為*=&+工="巴(kwZ)

244

集合N的元素為x=i+l=^(keZ)

424

而2k+l為奇數(shù)，k+2為整數(shù)，因此MuN

11.答案：A

解析：化簡A、B,A={xl0<x<l}B={xl0<x<3)所以，所以對集合中的任意元素

m,有meA時一，一定有meB,即meAnmeB,但meB時一，可能有

meA,例如2eB,但2史A,所以，meA是meB是充分而不必要條件。

選A

12.答案：。或1

解析：由題意可得方程af+4x+4=0只有一個解或二重根。當(dāng)a=0時方程4x+4=0,

即x=-l,只有一個解，符合題有意；當(dāng)awO時一，方程a/+4x+4=0只有一

個解需滿足△=16-16a=0,即a=l時，次方程有二重實(shí)根-2,由互異性知A

中只有一個元素，適合題意，故所求a的值為0或1.

13.解析：A中不等式的解集應(yīng)分為三種情況討論：

(1)若a=0,貝ljA=R

(2)若a<0,貝！JA={xl-<x<--}

aa

(3)若a>0,則A={xl--<x<-}

aa

i)當(dāng)a=0時,若AqB,此種情況不存在。

—4>—1ra<-8。

當(dāng)a<0時，若A=B,則"21

——4212

Ia

所以a<-8

1<2r

當(dāng)a>0時一，若AuB,貝IJ。:.\a~2

~_1>_11^2

,a2

所以a>2.

綜上知，此時a的取值范圍是a<-8或a>2.

ii)當(dāng)a=0時，顯然BqA

41r、。

一?—aN-8

當(dāng)a<0時，若B=A則"2.-Ji

1ca>——

——>2[2

a

所以--<a<0

2

當(dāng)a>0時，若BuA則0:.]a~2

-_1<_11^2

.a2

所以0<a<2

綜上知，當(dāng)B=A時，--<a<2o

2

iii）當(dāng)且僅當(dāng)A、B兩個集合互相包含時，A=B,由i）ii）知，a=2.

規(guī)律總結(jié)：在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避免出錯的一個有效手段就是合理

運(yùn)用軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式（或方程）時，要對

參數(shù)進(jìn)行討論。分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對每一類情況

要給出問題的解答，分類討論的一般步驟是：確定標(biāo)準(zhǔn)；恰當(dāng)分類；逐類討

論；歸納結(jié)論。

14.(1)解：2eA=>—5—=-1GA=>——?——=』eAn-J-=2eAA={2,-1)—}

1-21-(-1)2J2

2

(2)解：設(shè)A={a}—_LeA,;.a=」一,即4a+i=o,無實(shí)數(shù)解，所以A不能為

1-a\-a

單元素集合。

(3)證明：vaeA=>—^―GA,=>—―wA,即1--GA

l-a]1a