2022-2023學(xué)年高二物理同步講義（人教）2.4 單擺（學(xué)生版）

第04講單擺目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1．知道什么是單擺．2．理解單擺振動(dòng)的回復(fù)力來(lái)源及做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件．3．掌握單擺振動(dòng)的周期公式，并能用公式解題．1．理解單擺模型和單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件，知道單擺振動(dòng)時(shí)回復(fù)力的來(lái)源．2．了解影響單擺周期的因素，掌握單擺的周期公式．3．知道單擺周期的決定因素，掌握單擺的周期公式．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01單擺及單擺的回復(fù)力1．單擺(1)如果細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長(zhǎng)度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺。單擺是實(shí)際擺的理想化模型。(2)單擺的平衡位置：擺球靜止時(shí)所在的位置。2．單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的來(lái)源：如圖所示，擺球的重力沿圓弧切向的分力提供回復(fù)力。(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在偏角很小時(shí)，sinθ≈eq\f(x,l)，所以單擺的回復(fù)力為F＝－eq\f(mg,l)x，即小球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向總是指向平衡位置，單擺的運(yùn)動(dòng)可看成是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。3．單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(1)擺線以懸點(diǎn)為圓心做變速圓周運(yùn)動(dòng)，因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只要速度v≠0，半徑方向都受向心力．(2)擺線同時(shí)以平衡位置為中心做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只要不在平衡位置，軌跡的切線方向都受回復(fù)力．【即學(xué)即練1】下列有關(guān)單擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的受力，說(shuō)法正確的是()A．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力和擺線拉力的合力B．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的一個(gè)分力C．單擺經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)合力為零D．單擺運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是擺線拉力的一個(gè)分力知識(shí)點(diǎn)02單擺的周期1．伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，惠更斯得出了單擺的周期公式并發(fā)明了擺鐘。2．單擺的周期(1)單擺的周期T＝2πeq\r(\f(l,g))，只與擺長(zhǎng)l及單擺所在處的重力加速度有關(guān)，與振幅及擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。單擺的周期叫固有周期。(2)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)成立(偏角為5°時(shí)，由周期公式算出的周期和精確值相差0.01%)。(3)單擺周期公式中的g應(yīng)為單擺所在處的重力加速度，l應(yīng)為單擺的擺長(zhǎng)。擺長(zhǎng)是指從懸點(diǎn)到擺球重心的長(zhǎng)度，l＝l′＋eq\f(d,2)，l′為擺線長(zhǎng)，d為擺球直徑?！炯磳W(xué)即練2】如圖所示，甲、乙是擺長(zhǎng)相同的兩個(gè)單擺，它們中間用一根細(xì)線相連，其中一個(gè)擺線與豎直方向成θ角．已知甲的質(zhì)量大于乙的質(zhì)量．當(dāng)細(xì)線突然斷開(kāi)后，兩物塊都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在擺動(dòng)過(guò)程中下列說(shuō)法正確的是()A．甲的振幅小于乙的振幅B．甲的振幅等于乙的振幅C．甲的最大速度小于乙的最大速度D．甲的運(yùn)動(dòng)周期大于乙的運(yùn)動(dòng)周期知識(shí)點(diǎn)03單擺的“等效思維”l等效＝lsinα做垂直紙面的小角度擺動(dòng)l等效＝lsinα＋l垂直紙面擺動(dòng)l等效＝l紙面內(nèi)擺動(dòng)左側(cè)：l等效＝l右側(cè)：l等效＝eq\f(2,3)l紙面內(nèi)擺動(dòng)T＝πeq\r(\f(l,g))＋πeq\r(\f(2l,3g))l等效＝R當(dāng)半徑R遠(yuǎn)大于小球位移x時(shí)，小球做單擺運(yùn)動(dòng)【即學(xué)即練3】如圖所示，在兩根等長(zhǎng)的細(xì)線下懸掛一個(gè)小球(體積可忽略)，組成了所謂的雙線擺，若細(xì)線長(zhǎng)均為l，兩線與天花板的夾角均為α，當(dāng)小球垂直紙面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期為()A．2πeq\r(\f(l,g)) B．2πeq\r(\f(2l,g))C．2πeq\r(\f(2lcosα,g)) D．2πeq\r(\f(lsinα,g))能力拓展能力拓展考法01單擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)【典例1】如圖甲所示是一個(gè)單擺振動(dòng)的情形，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)向右為正方向，圖乙是這個(gè)單擺的振動(dòng)圖象，根據(jù)圖象回答：(1)單擺振動(dòng)的頻率是多大？(2)開(kāi)始時(shí)刻擺球在何位置？(3)若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s2，試求這個(gè)擺的擺長(zhǎng)是多少？考法02等效單擺的應(yīng)用【典例2】如圖所示，三根細(xì)線于O點(diǎn)處打結(jié)，A、B端固定在同一水平面上相距為eq\r(3)L的兩點(diǎn)上，使∠AOB成直角，∠BAO＝30°，已知OC線長(zhǎng)是L，下端C點(diǎn)系著一個(gè)小球(直徑可忽略)．下列說(shuō)法中正確的是()A．讓小球在紙面內(nèi)擺動(dòng)，周期T＝2πeq\r(\f(L,g))B．讓小球在垂直紙面內(nèi)擺動(dòng)，周期T＝πeq\r(\f(7L,g))C．讓小球在紙面內(nèi)擺動(dòng)，周期T＝2πeq\r(\f(3L,2g))D．讓小球在垂直紙面內(nèi)擺動(dòng)，周期T＝2πeq\r(\f(L,g))考法03圓弧面上等效單擺的作用【典例3】如圖所示，曲面AO是一段半徑為2m的光滑圓弧面，圓弧與水平面相切于O點(diǎn)，AO弧長(zhǎng)10cm.現(xiàn)將一小球先后從曲面的頂端A和AO弧的中點(diǎn)B由靜止釋放，到達(dá)底端O的速度分別為v1和v2，所經(jīng)歷的時(shí)間分別是t1和t2，那么()A．v1＜v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＝t2C．v1＝v2，t1＝t2 D．上述三種都有可能

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．關(guān)于單擺，下列說(shuō)法中正確的是()A．?dāng)[球受到的回復(fù)力方向總是指向平衡位置B．?dāng)[球受到的回復(fù)力是它的合力C．?dāng)[球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)，所受的合力為零D．?dāng)[角很小時(shí)，擺球受的合力的大小跟擺球?qū)ζ胶馕恢玫奈灰拼笮〕烧?．(多選)如圖所示是一個(gè)單擺(θ＜5°)，其周期為T，則下列說(shuō)法正確的是()A．把擺球的質(zhì)量增加一倍，其周期不變B．?dāng)[球的振幅變小時(shí)，周期也變小C．此擺由O→B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(T,4)D．?dāng)[球由B→O時(shí)，動(dòng)能向勢(shì)能轉(zhuǎn)化3．(多選)一個(gè)單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖象如圖所示，以下說(shuō)法正確的是()A．t1時(shí)刻擺球速度為零，懸線對(duì)它的拉力最小B．t2時(shí)刻擺球速度最大，但加速度不為零C．t3時(shí)刻擺球速度為零，懸線對(duì)它的拉力最大D．t4時(shí)刻擺球速度最大，懸線對(duì)它的拉力最大E．t4時(shí)刻擺球所受合力為零4．(多選)某單擺由1m長(zhǎng)的擺線連接一個(gè)直徑為2cm的鐵球組成，下列關(guān)于單擺周期的說(shuō)法正確的是()A．用等大的銅球替代鐵球，單擺的周期不變B．用大球替代小球，單擺的周期不變C．?dāng)[角從5°改為3°，單擺的周期會(huì)變小D．將單擺從赤道移到北極，單擺的周期會(huì)變小5．已知單擺a完成10次全振動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，單擺b完成6次全振動(dòng)，兩擺長(zhǎng)之差為1.6m，則兩單擺長(zhǎng)la與lb分別為()A．la＝2.5m，lb＝0.9m B．la＝0.9m，lb＝2.5mC．la＝2.4m，lb＝4.0m D．la＝4.0m，lb＝2.4m6．(多選)如圖所示為甲、乙兩單擺的振動(dòng)圖象，則()A．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動(dòng)，則甲、乙兩單擺的擺長(zhǎng)之比為l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙兩擺擺長(zhǎng)相同，且在不同的星球上擺動(dòng)，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙兩擺擺長(zhǎng)相同，且在不同的星球上擺動(dòng)，則甲、乙兩擺所在星球的重力加速度之比為g甲∶g乙＝1∶47．如圖所示為演示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的沙擺，已知擺長(zhǎng)為l，沙桶的質(zhì)量為m，沙子的質(zhì)量為M，M>m，沙子逐漸下漏的過(guò)程中，沙擺的周期()A．不變B．先變大后變小C．先變小后變大D．逐漸變大8．(多選)惠更斯利用擺的等時(shí)性發(fā)明了帶擺的計(jì)時(shí)器，叫擺鐘，擺鐘運(yùn)行時(shí)克服摩擦所需的能量由重錘的勢(shì)能提供，運(yùn)行的速率由鐘擺控制．旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿?cái)[桿上下移動(dòng)，如圖所示．以下說(shuō)法正確的是()A．當(dāng)擺鐘不準(zhǔn)確時(shí)需要調(diào)整圓盤的位置B．?dāng)[鐘快了應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移C．由冬季變?yōu)橄募緯r(shí)應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移D．把擺鐘從福建移到北京應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移9．(多選)有一個(gè)單擺，原來(lái)的周期是。在下列情況下，對(duì)周期變化的判斷正確的是（）A．?dāng)[長(zhǎng)減為原來(lái)的，周期也減為原來(lái)的B．?dāng)[球的質(zhì)量減為原來(lái)的，周期不變C．振幅減為原來(lái)的，周期不變D．重力加速度減為原來(lái)的，周期變?yōu)樵瓉?lái)的2倍10．(多選)如圖甲所示，一單擺做小角度擺動(dòng)，從某次擺球由左向右通過(guò)平衡位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，相對(duì)平衡位置的位移x隨時(shí)間t變化的圖像如圖乙所示。不計(jì)空氣阻力，重力加速度g取10m/s2。對(duì)于這個(gè)單擺的振動(dòng)過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是()甲乙A．單擺的擺長(zhǎng)約為1.0mB．單擺的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系式為x＝8sinπtcmC．從t＝0.5s到t＝1.0s的過(guò)程中，擺球的重力勢(shì)能逐漸增大D．從t＝1.0s到t＝1.5s的過(guò)程中，擺球所受回復(fù)力逐漸減小11．(多選)圖中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng)，B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置，則在擺動(dòng)過(guò)程中()A．?dāng)[球在A點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，合力也為零B．?dāng)[球在A點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，回復(fù)力最大C．?dāng)[球在B點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力也最大D．?dāng)[球在B點(diǎn)處，速度最大，細(xì)線拉力也最大12．如圖所示，一單擺懸于O點(diǎn)，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，若在O點(diǎn)的正下方的O′點(diǎn)釘一個(gè)光滑釘子，使OO′＝eq\f(L,2)，將單擺拉至A處釋放，小球?qū)⒃贏、B、C間來(lái)回振動(dòng)，若振動(dòng)中擺線與豎直方向夾角小于5°，則此擺的周期是()A．2πeq\r(\f(L,g)) B．2πeq\r(\f(L,2g))C．2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))＋\r(\f(L,2g)))) D．πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(L,g))＋\r(\f(L,2g))))題組B能力提升練1．(2020-2021學(xué)年咸陽(yáng)高二檢測(cè))在盛沙的漏斗下面放一木板,讓漏斗左右擺動(dòng)起來(lái),同時(shí)其中細(xì)沙勻速流出,經(jīng)歷一段時(shí)間后,觀察木板上沙子的堆積情況,則沙堆的剖面應(yīng)是下圖中的()2．如圖所示，乙圖中圖象記錄了單擺中擺球的動(dòng)能、勢(shì)能隨擺球位置變化的關(guān)系，不計(jì)空氣阻力，下列關(guān)于圖象的說(shuō)法正確的是()A．b圖線表示動(dòng)能隨位置的變化關(guān)系B．a(chǎn)圖線表示機(jī)械能隨位置的變化關(guān)系C．c圖線表示動(dòng)能隨位置的變化關(guān)系D．圖象表明擺球在勢(shì)能和動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)化過(guò)程中機(jī)械能不變3．(多選)圖中兩單擺擺長(zhǎng)相同，平衡時(shí)兩擺球剛好接觸，現(xiàn)將擺球A在兩擺球所在平面內(nèi)向左拉開(kāi)一小角度后釋放，碰撞后，兩擺球分開(kāi)，各自做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以mA、mB分別表示擺球A、B的質(zhì)量，則()A．如果mA＞mB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側(cè)B．如果mA＜mB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側(cè)C．無(wú)論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側(cè)D．無(wú)論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側(cè)4．如圖所示的幾個(gè)相同單擺在不同條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，其中判斷正確的是()(1)(2)(3)(4)A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＝T3＜T4C．T1＞T2＝T3＞T4 D．T1＜T2＜T3＜T45．(多選)如圖所示，用絕緣細(xì)絲線懸掛著的帶正電的小球在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則()A．當(dāng)小球每次通過(guò)平衡位置時(shí)，動(dòng)能相同B．當(dāng)小球每次通過(guò)平衡位置時(shí)，速度相同C．當(dāng)小球每次通過(guò)平衡位置時(shí)，絲線拉力不相同D．磁場(chǎng)對(duì)擺的周期無(wú)影響E．撤去磁場(chǎng)后，小球擺動(dòng)周期變大6．如圖所示，長(zhǎng)為l的細(xì)繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點(diǎn)處，在O點(diǎn)正下方eq\f(3,4)l的O′處有一固定細(xì)鐵釘．將小球向右拉開(kāi)，使細(xì)繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)．當(dāng)小球a擺至最低位置時(shí)，細(xì)繩會(huì)受到鐵釘?shù)淖钃酰O(shè)小球相對(duì)于其平衡位置的水平位移為x，向右為正．下列圖象中，能描述小球在開(kāi)始一個(gè)周期內(nèi)的x-t關(guān)系的是()7．一個(gè)單擺，在第一個(gè)行星上的周期為T1，在第二個(gè)行星上的周期為T2，若這兩個(gè)行星的質(zhì)量之比為M1∶M2＝4∶1，半徑之比R1∶R2＝2∶1，則()A．T1∶T2＝1∶1 B．T1∶T2＝4∶1C．T1∶T2＝2∶1 D．T1∶T2＝1∶28．將一單擺向左拉至水平標(biāo)志線上，從靜止釋放，當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，擺線碰到障礙物，擺球繼續(xù)向右擺動(dòng)．用頻閃照相機(jī)拍到如圖所示的單擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程的頻閃照片，以下說(shuō)法不正確的是()A．這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了動(dòng)能和勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過(guò)程中機(jī)械能守恒B．?dāng)[線碰到障礙物前后的擺長(zhǎng)之比為9∶4C．?dāng)[線經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，線速度不變，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑減小，擺線張力變大D．?dāng)[線經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，角速度變大，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑減小，擺線張力不變9．如圖，甲、乙兩個(gè)單擺的懸點(diǎn)在同一水平天花板上，兩擺球拉到同一水平高度，并用一根細(xì)線水平相連，以水平地板為參考面．平衡時(shí)，甲、乙兩擺的擺線與豎直方向的夾角分別為θ1和θ2，且θ1>θ2.當(dāng)細(xì)線突然斷開(kāi)后，兩擺球都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則()A．甲、乙兩擺的周期相等B．甲、乙兩擺的振幅相等C．甲擺球的機(jī)械能小于乙擺球的機(jī)械能D．甲擺球的最大速度小于乙擺球的最大速度10．如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧軌道的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一小球B放在MN上離最低點(diǎn)C很近的M處，今使兩球同時(shí)自由釋放，則在不計(jì)空氣阻力的情況下()A．A球先到達(dá)C點(diǎn)B．B球先到達(dá)C點(diǎn)C．兩球同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)D．無(wú)法確定哪一個(gè)球先到達(dá)C點(diǎn)11．如圖所示，將擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺放在一升降機(jī)中，若升降機(jī)以加速度a向上勻加速運(yùn)動(dòng)，求單擺的擺動(dòng)周期．

題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖所示，兩段光滑圓弧軌道半徑分別為R1和R2，圓心分別為O1和O2，所對(duì)應(yīng)的圓心角均小于5°，在最低點(diǎn)O平滑連接。M點(diǎn)和N點(diǎn)分別位于O點(diǎn)左右兩側(cè)，MO的距離小于NO的距離?，F(xiàn)分別將位于M點(diǎn)和N點(diǎn)的兩個(gè)