理數(shù)高考試題答案及解析-全國

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學（必修+選修II）

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1至2頁，第II卷第3至

第4頁.考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交.

第I卷

注意事項：

全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

考生注意事項：

1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫

清楚，并貼好條形碼.請認真核準該條形碼上的準考證號、姓名和科目.

2.沒小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標號.在試題卷上作答無效.

3.第I卷共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

一、選擇題

A2+1B2-1Cl+2iD1-2i

r版圻】-1+3『(-1+30(1-02+4;

【帆機】------=--------------=------=1+2z,選C.

1+z(1+z)(l-1)2

【答案】c

2、已知集合人={1.3.\[m},B={1,m},AUB=A,則m=

A0或B0或3C1或6D1或3

【解析】因為AUB=A，所以BqA,所以〃z=3或機=而.若〃?=3,則

A={1,3,6},8={1,3},滿足AU6=A.若〃z=J而，解得〃z=0或機=1.若加=0,則

A={1,3,0）,5={1,3,0},滿足AU8=A.若〃2=1,A={1,3,1},8={1,1}顯然不成立，綜上

〃？=0或〃？=3,選B.

【答案】B

3橢圓的中心在原點，焦距為4一條準線為x=-4,則該橢圓的方程為

99

A￡匚…。

—+—=1

1612128124

【解析】橢圓的焦距為4,所以2c=4,c=2因為準線為x=-4,所以橢圓的焦點在x軸上,

且一J=所以/=4C=8,b2=a2-c2=8-4=4,所以橢圓的方程為

22

土+匕=1,選C.

84

【答案】c

4已知正四棱柱ABCD-AfiQDi中，AB=2,8產(chǎn)2夜E為CQ的中點，則直線AQ與平面

BED的距離為

A2BV3CV2DI

【解析】連結(jié)AC,交于點。，連結(jié)0E,因為是中點，所以。￡〃AG，且

OE=^AC1,所以ACJ/8OE，即直線與平面BED的距離等于點C到平面BED的距

離，過C做CfLOE于尸，則CF即為所求距離.因為底面邊長為2,高為2行，所以

AC=2&,OC=J5,CE=后，OE=2,所以利用等積法得b=1,選D.

【答案】D

(5)已知等差數(shù)列｛aj的前n項和為工，as=5,S5<5,則數(shù)列的前100項和為

100,、99,、99101

A—(B)---(C)---D——

101101100100

【解析】由%=5,其=15,得％=l,d=l,所以*=1+(〃-1)="，所以

1111~

==--------->又

4Z?a?+l--〃(〃+1)nn+1

111100

-----1----------???—選A.

IoT

aia2---------a\Ma\0\1223100101101

【答案】A

(6)Z\ABC中，AB邊的高為CD,若(聯(lián)“a?b=0,|a|=l,|b|=2,貝U

—b-*—b-a-h

(A)31(B)1(C)(D)

2

【解析】在直角三角形中，CB=1,CA=2,AB=舊，貝ijCD=,所以

AD=g2-CD?=卜-f=3,所以—,即

\5V5AB5

,4.4——?4—4f

AD=—AB=—(a—b)=—a—b,選D.

5555

【答案】D

(7)已知Q為第二象限角，sina4-cosa=——,則cos2a二

3

(A)--(B)--(C)—(D)—

3993

【解析】因為sina+cosa=—所以兩邊平方得l+2sinacosa=」，所以

33

2

2sinacosa=--<0,因為己知a為第二象限角所以sina>0,cosa<0,

3

sina-cosa=Vl-2sinacosa=,所以

cos2a=cos2a-sin*a=(cosa-sina)(cosa+sina)=-x，選A.

【答案】A

(8)己知Fi、F2為雙曲線C：x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上，|PF/=|2PF2|,則COS/FIPF2=

1334

(A)-(B)-(C)-(D)-

4545

22

【解析】雙曲線的方程為^--上=1,所以a=8=四,c=2,因為|PFJ=|2PF2|,所以點

22

P在雙曲線的右支上，則有|PFiHPF2l=2a=2五,所以解得|PF2|=2j^,|PFj=4五,所以根

(2行)2+(4行)2—14=3

據(jù)余弦定理得cos6尸鳥

2x20x4五一“

【答案】C

2

(9)已知x=ln貝，y=logs2,z=e,則

(A)x<y<z(B)z<x<y(C)z<y<x(D)y<z<x

11-1111

【解析】x-In7T>1,y—logs2——---------<一,z—e~――f=,—<—廣<1,所以

log252Je2Je

y<z<x,選D.

【答案】D

(10)已知函數(shù)y=x?-3x+c的圖像與x恰有兩個公共點，則c=

(A)-2或2(B)-9或3(。-1或18)-3或1

【解析】若函數(shù)>=/—3x+c的圖象與X軸恰有兩個公共點，則說明函數(shù)的兩個極值中有

一個為0,函數(shù)的導數(shù)為曠=3/-3,令>'=31-3=0,解得x=±l,可知當極大值為

/(-l)=2+c,極小值為/(l)=c-2.由/(—l)=2+c=0,解得c=-2,由

/(1)=。-2=0,解得c=2,所以c=-2或c=2,選A.

【答案】A

(11)將字母24b154(：,排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同,

則不同的排列方法共有

(A)12種(B)18種(C)24種(D)36種

【解析】第一步先排第一列有=6,在排第二列，當?shù)谝涣写_定時，第二列有兩種方法,

【答案】A

7

(12)正方形ABCD的邊長為1,點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE=BF=—.動點P從E

3

出發(fā)沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，反彈時反射等于入射角，當

點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

(A)16(B)14(C)12(D)10

【解析】結(jié)合已知中的點E.F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是

平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞14次即可.

【答案】B

2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(必修+選修n)

第ii卷

注意事項：

1.答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填

寫清楚，然后貼好條形碼.請認真核準條形碼上得準考證號、姓名和科目.

2.第II卷共2頁，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，

在試題卷上作答無效.

3.第II卷共10小題，共90分.

二.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上.

(注意：在試題卷上作答無效)

卜一八

(13)若x,y滿足約束條件一"3；、上則z=3x-y的最小值為.

【解析】做出做出不等式所表示的區(qū)域如圖，由z=3x—y得

y=3x-z,平移直線y=3光,由圖象可知當直線經(jīng)過點C(0,l)

時，直線y=3x-z的截距最大，此時z最小，最小值為z=3x-y=-l.

【答案】-1

(14)當函數(shù)Mm<3costi0-t-Lr取得最大值時，x=.

【解析】函數(shù)為y=sinx—V3cosx=2sin(x—y),當0Wx<2〃時，

jr冗、—冗,由三角函數(shù)圖象可知，當x—74T=T上T，即*=工STT時取得最大值，所以

333326

54

x=——.

6

【答案】x=—

6

fly,—

(15)若的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)

為

【解析】因為展開式中的第3項和第7項的二項式系數(shù)相同，即C；=C>所以〃=8,

所以展開式的通項為￡+1=C*8T（_L）￡,令8-2%=-2,解得％=5,所以

X

.=C；d）2,所以與的系數(shù)為=56.

xX"

【答案】56

（16）三菱柱ABC-AiBiQ中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，BAAi=CAAi=60°

則異面直線AB】與BCi所成角的余弦值為.

【解析】如圖設(shè)麗=［施=5,n=2,設(shè)棱長為1,則

AB{-a+b,BC]-a+BC=a+c-b因為底面邊長和側(cè)棱長都相等，且

ZBAA,=ZCAA,=600所以a?b=a?c=b?c=,所以|福卜&+=6,

匹卜J（Z+>3）2=6_,福?%=日+3）?日+工工）=2,設(shè)異面直線的夾角為

aaAB^BC,2V6

o,所以cose=?—f=--.

河陽為63

【答案】當

三.解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

（17）（本小題滿分10分）（注意：在試卷上作答無效）

△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知cos（A-C）+cosB=l,a=2c,求c.

(17)解：

由8=及一(/<+C).cosB=-cos(4+C)..........2分

于是cos(/1-C)*cosZ?=cos(A-C}-cos(.4C)=2sin4sinC.

由己知得

sin/<sinC=-.0.........6分

由a=2c及正弦定理得

sinA=2sinC.②

由①、②得

smC=一,

4

于是sinCa(臺去)，或sinC=1.

22

又a=2c,所以C=1..........10分

6

(18)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PAJ_底面ABCD,AC=2亞，PA=2,E是PC上

的一點，PE=2EC.

/\

/?^^^-*******^

c

(I)證明：PC_L平面BED；

(H)設(shè)二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大小.

BD

解：（D以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,

設(shè)D(>|2,b,0),貝l]c(212,0,0),P(0,0,2),E(>0,x)>B(^29-b,0)

—*r—*-J22—*42

一

PC一，-2)，BE=(~y，b，弓)，DE=('

44

一

一_-

_3，衣?五二o

-PC1BE3

.,.PC±BE>PC±DE>BEADE=E

J.PCJ■平面BED

（II）P=（0.0,2）,Tfi=（42.-b,0）

Tr-->

設(shè)平面PAB的法向里為m二（X,y,z），貝小二?AP=2z=0

、m=|2x-by=0

取m二（b,42,0）

n?云=242p-2r=0

設(shè)平面PBC的法向里為《二（p,q,r），貝I]一

n

取7=3,*<2）

，?,平卸FAB_L平面PBC,?二m'n二b-g=0.故b二

n=(1，T，>[2),DP=(->[2,—j2,2)

cos<DPn

設(shè)PD與平面PBC所成角為9,貝"sink*

/.9=30°

PD與平面PBC所成角的大小為30。

解法二：

（I）以乂為坐標原點，射線.4C為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間衣角坐標

系4一史.

設(shè)C(2及.0.0),。(7%40)，其中/?>0，則

P(0,0.2),￡(殍.0.令，B(Q,-b,O).……2分

于是

/Z22

PC={242.0,-2).“=(學”).D￡=(-y.b,-),

從而PCBE=Q.PCDE=0.

故PCLBE,PC1DE.

又BECDE^E,所以/>。工￥面8?！?..6分

19.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)

球2次，依次輪換.每次發(fā)球，勝方得1分，負方得0分.設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)

球方得1分的概率為0.6,各次發(fā)球的勝負結(jié)果相互獨立.甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.

（I）求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率；

（II）-表示開始第4次發(fā)球時乙的得分，求二的期望.

解：(I)記A演示事件：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i=0,1,2!裱示事件：第3次發(fā)球，甲得1分；

B表示事件：開始第4次發(fā)球，甲、乙的比分為1比2,貝旭=人心+%?工

:P(A)=0.4,P(AQ)=0.16.P(A,)=2X0.6X0.4=0.48

：.?(B)=0.16X0.4+0.48X(1-0.4)=0.352；

(IDF(Aj)=0.62=0.36,裱示開始第4次發(fā)球時乙的得分，可取0,1,2,3

P(牛0)=P(》)=0.36X0.4=0.144

P[孕2)=P(B)=0.352

P(^=3)=P元)=0.16X0.6=0.096

P(￡=1)=1-0.144-0.352-0.096=0.408

:,鄲期望E牛1X0.408+2X0.352+3X0.096=1.400.

(20)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x￡[0,n].

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)設(shè)f(x)Wl+sinx,求a的取值范圍.

解：(I)求導函數(shù)，可得￡(x)二a-sinx,x€[0,制，sinxW[0，；

當a40時，f(x)40恒成立，f(x)單調(diào)遞減；當時，f(x)>0恒成立，f(x)單調(diào)遞增；

當0<&<1時，當x€[0,arcsina]時，單調(diào)遞增，當xW[arcsina,就]時，單調(diào)遞減；

(II)f(x)41+sinx,即ax《l+迎sin(x譚)

當x=。時不等式恒成立；當xW(0,工]時，a4呼:上

X

令產(chǎn)”吧至，狽I1要小于等于其最小值；

X

J2xcos膽sin

求導函數(shù)，可得y，=________5________二

X2

x￡(0>x]>yzVO

...尸上巴上記在S，X]上單調(diào)減

X

2

函額取得最小值為三

2

??a4—?

冗

21.(本小題滿分12分)(注意：在試卷上作答無效)

已知拋物線C：y=(x+l)2與圓M：(x-1)2+(>-；產(chǎn)=r2(r>0)有一個公共點，且在A處兩曲

線的切線為同一直線I.

(I)求r：

(II)設(shè)m、n是異于I且與C及M都相切的兩條直線，m、n的交點為D,求D至心的距離.

2

解：(I)設(shè)A(x0,(x0+l)),

Vy=(x+1)2,y，-2(x+1)

的斜率為k=2(x0+l)

當x0=l時，不合題意，所以X。千1

圖心M(1.b,M冷)斜率k，=＞產(chǎn))2.

2x0-l

?.-1±MA.A2(x0+l)xG。")屋-1

x°T

.'.xo=O?AA(0,1),

.?.r=|MA|=^；

(H)設(shè)(t,(t+1)2)為C上一點，則在該點處的切線方程為丁(t+1)2=2(t+1)(x-t)，即y=2(t+1)x-t^l

若該直線與HIM相切，則圓心M到該切線的距離為李

■------

J[2(t+l)]2+l

At2(t2-4t-6)=0

tg=0,或t『2+Q10'{2=27]0

拋物線c在點(%,(t+1)2)(i=0,1,2)處的切線分別為Lm,n,其方程分別為

22

尸2x+l①，尸2(4+1)x-t[+1②，y=2(t2+l)x-t2+1?

t.+t

②-⑤：x=---ta=2

代入②可得：v=-l

22（本小題滿分12分）（注意：在試卷上作答無效）

函數(shù)f（X）=x2-2x-3,定義數(shù)列｛Xn｝如下:X1=2,Xn+1是過兩點P（4,5）、Qn（Xn,f（Xn））的直線PQn

與X軸交點的橫坐標.

（I）證明：2<Xn<Xn+i<3；

（II）求數(shù)列｛Xn｝的通項公式.

（I）證明：①Fl時，X產(chǎn)，直線PQ：的方程為尸5=隼愛（x-4）

當y=O時，^2="4~92《X[<X2<3；

f（xk..）~5

②假設(shè)n二咄寸，結(jié)論成立，即2《Xk<Xk+1<3,直線PQk+1的方程為y5二一、，二二（x-4）

xk*l、

3+4Xk-i

當尸。時，???X]-

kf22+xk..

55

???255+1<3,J.XW4-國:<4-金=3

（3-Xk.p（l+xk.x）

xk+2~xk+r->0

E2+kx-1.

.".2<xk+1<xk+2<3

即n=kH時，結(jié)論成立

由①②可知：2大4-1<3；

3+4x_

（II）由（I），可得X不廣衣二

n

515

設(shè)b『Xn-3,???。=針1

二點35（總）

113

???{.七}是以V為首項，5為公比的等比額列

?十4=G）X5〃T

?4一3X5n-1+l

4

x=b^+3=3-~.

nn3X5+1

怎樣調(diào)整好考試心態(tài)

心態(tài)就是一個人的心情。心情的好壞，會直接地影響

我們工作、學習的效果。你也能看到，在體育比賽中，由于

心理狀態(tài)的起伏，參賽選手的發(fā)揮會跟著有較大的起伏。同

樣的道理，心理狀態(tài)的正常與否對參加考試的同學來說也至

關(guān)重要。心理方面的任何失衡都會使你手忙腳亂，得分率降

低，平時掌握的內(nèi)容也有可能發(fā)揮不出來；相反，保持良好

的心態(tài)，則會使你如虎添翼，發(fā)揮出最佳水平。

加強心理調(diào)整，保持考前狀態(tài)

考試中的心理偏差有兩種：一是過于放松，難以集中

注意力，總是想起別的東西；二是過于緊張，心跳加快，

手心出汗，有頭暈的感覺。那么如何進行考前的心理狀態(tài)

調(diào)整呢？考前應(yīng)該按照一定的時間順序進行自身的心理狀

態(tài)調(diào)整。

在考前10天：每個學生的實力已經(jīng)定型，一般無論怎

么用功，水平也不會有顯著地提高。所以，考生在這個時段

主要應(yīng)該進行一些提綱挈領(lǐng)的復(fù)習，即考前復(fù)習要有所側(cè)

重，特別是檢查一下重點內(nèi)容的掌握情況，如老師明確指定

和反復(fù)強調(diào)的重點內(nèi)容，自己最薄弱的、經(jīng)常出錯的地方。

所以，考前10天考生宜看書而不宜做題。通過看書可以溫

習已有的知識，增強自信心，而做題則不同，一旦題目太難,

就會挫傷自信心。另外，考試前人的精神往往高度集中，理

解力和記憶力在短期內(nèi)急劇提高，因此在這個時段內(nèi)應(yīng)該加

強記憶方面的知識，如歷史、地理、政治、英語等，但是也

不可過度緊張而耗費考試時的精力。

在考前3天：這個時間很多學生認為萬事大吉，完全不

沾書本，這是十分錯誤的。重要內(nèi)容雖然已經(jīng)掌握了，但還

是要適當瀏覽一下，如歷史、地理、政冶的基本知識、語文

的文學常識、英語的單詞、數(shù)學的公式等。對自己已經(jīng)考過

的試題應(yīng)該看一看，把經(jīng)常出錯的地方再強化一下，適當?shù)?/p>

做一點“熱身題”。所以，在考前3天還要適當?shù)胤喴幌?/p>

書本，這樣做不僅使這些重點內(nèi)容始終在大腦中處于待提取

的激活狀態(tài)，而且可以使自己心里踏實。

在這3天，應(yīng)該調(diào)整自己的心理狀態(tài)，切不要把弦繃得

太緊，應(yīng)該適當?shù)胤潘勺约?，如通過散步、和家人聊天、聽

音樂等方式調(diào)整自己的心態(tài)。此外，還應(yīng)該做好考試的物質(zhì)

準備，如文具、準考證、換冼的衣物、考試中提神的香水等。

在考前1天：考試前1天仍然有許多準備要做，不要認

為“萬事俱備，只欠東風”，也不要“破罐子破摔”，聽天由

命。在這天應(yīng)注意以下問題，第一，注意自己的飲食，考前

1天應(yīng)該遵循自己平時的飲食習慣，可以多加幾個菜，適當

增加肉蛋類食品，但不要為了補充能量而暴飲暴食，以免消

化不良，直接影響第二天的考試；第二，不要參加劇烈的運

動，以免體能消耗過大或發(fā)生其他的意外，從而影響第二天

的考試。也不要長時間地玩棋牌、上網(wǎng)打游戲，以免過度興

奮。適當?shù)姆潘珊托菹?yīng)該是最后一天的主旋律；第三，熟

悉考場，應(yīng)該仔細考察通往考場所在地的交通線路，選擇路

程最短、干擾最少、平時最熟悉的路線，還應(yīng)該考慮如果發(fā)

生交通堵塞后的應(yīng)對措施。對考場所在學校、樓層、教室、

廁所以及你的座位位置都要親自查看，做到心中有數(shù)，以防

止不測事件的發(fā)生；第四，要認真檢查考試時所使用的準考

證、文具等，并把它們?nèi)糠旁谖木吆袃?nèi)，以保證第二天不

出現(xiàn)慌忙現(xiàn)象；第五，如果有的同學不看書心里就不踏實，

還要臨陣磨槍，那就不妨把第二天所考科目的課本隨意

翻閱一遍，但不可太動腦筋。如果有的同學不愿再看書，那

就聽一些輕松歡快的音樂，以放松一下自己；第六，嚴格按

照平時的作息時間上床睡覺，不應(yīng)太晚，也不宜太早，以免

成太早或太晚上床而又不能及時入睡。睡前可用溫水洗腳，

以幫助自己睡眠，如數(shù)數(shù)、深呼吸等。切不要服用安眠藥，

因為安眠藥會抑制人的大腦，導致第二天考試不夠興奮。

要增強自信心

要獲取好成績，一定要有自信心。這如同體育運動員

一樣，要在比賽中獲取好的名次，應(yīng)該具有良好的競技狀態(tài),

以保證自己能夠發(fā)揮出最好的水平?？忌谶M入考場之前，

多想一些有把握獲取好成績的條件，如“自己已經(jīng)全面和系

統(tǒng)地復(fù)習了"，“考試就像平時測驗，無非在這里多做幾道題

而已”，盡量回憶和憧憬一些美好的事情，設(shè)法使大腦皮層

產(chǎn)生興奮中心，產(chǎn)生一種積極的情緒。

自我放松，緩和緊張的心理狀態(tài)

常用的自我放松訓練有以下幾種：

呼吸松弛訓練。坐在座位上，雙目微閉，兩腳著地，

雙手自然放在膝上，腳與肩同寬。然后進行腹式呼吸3~4次。

吸氣時用鼻慢慢地吸，先擴張到腹部，在擴張到胸部，吸足

氣后屏一屏氣，然后用鼻和嘴將氣慢慢地吐出，這個過程連

續(xù)多次就可以達到平靜的心理狀態(tài)，消除緊張和憂慮的效

果。

肌肉松弛訓練?？荚嚂r，坐姿要放松，一旦雙手發(fā)生

顫抖或有緊張情緒，可迅速拉緊所有的肌肉，然后立即解除

緊張、也可馬上做深呼吸，反復(fù)兩三次，這時全身肌肉必會

放松，就可避免生理、心理緊張加劇而引起的惡性循環(huán)。

轉(zhuǎn)移想象訓練。轉(zhuǎn)移也是保持良好心境的一種方式。如

涂抹一點清涼油，聽聽音樂，從事散散步、游泳等不劇烈的

體育運動，使心態(tài)平衡，頭腦清醒，緊張緩解。

自我暗示訓練。要善于利用自我暗示語的強化