定積分的簡單應用

1.平面圖形的面積:[其中F′(x)=f(x)]AA2.微積分基本定理:一、復習1Oxyaby

f(x)x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。當f(x)

0時由y

f(x)、x

a、x

b與x軸所圍成的曲邊梯形面積的負值xyOaby

f(x)=-S=s3.定積分的幾何意義:23思考:試用定積分表示下面各平面圖形的面積值:圖1.曲邊梯形xyo圖2.如圖xyo圖4.如圖圖3.如圖41.7定積分的簡單應用定積分在幾何中的應用

幾種典型的平面圖形面積的計算：5類型1.求由一條曲線y=f(x)和直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成平面圖形的面積S(2)xyoabc(3)(1)xyo6練習.求拋物線y=x2-1，直線x=2，y=0所圍成的圖形的面積。yx解：如圖：由x2-1=0得到拋物線與x軸的交點坐標是(-1,0)，(1,0).所求面積如圖陰影所示：所以：由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解7類型2：由兩條曲線y=f(x)和y=g(x)，直線x=a,x=b(a<b)所圍成平面圖形的面積Syxoba(2)(1)8注：9解:作出y2=x,y=x2的圖象如圖所示:即兩曲線的交點為(0,0),(1,1)oxyABCDO兩曲線圍成的平面圖形的面積的計算10方法小結(jié)求在直角坐標系下平面圖形的面積步驟:1.作圖象;2.求交點的橫坐標,定出積分上、下限;3.確定被積函數(shù)，用定積分表示所求的面積，特別注意分清被積函數(shù)的上、下位置;4.用牛頓－萊布尼茨公式求定積分.11解:兩曲線的交點直線與x軸交點為(4,0)S1S21213解:兩曲線的交點練習14解:求兩曲線的交點:15于是所求面積說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．16171819解法2：若選積分變量為y，則三個函數(shù)分別為x＝y(tǒng)2，x＝2－y，x＝－3y.因為它們的交點分別為(1,1)，(0,0)，(3，－1)．20求由曲線xy＝1及直線y＝x，y＝2所圍成的平面圖形的面積．212223[答案]C[解析]

∵y＝x3與y＝x為奇函數(shù)且x≥0時，交于(0,0)和(1,1)．2425定積分在物理中的應用26設做變速直線運動的物體運動的速度v=v(t)≥0，則此物體在時間區(qū)間[a,b]內(nèi)運動的距離s為1、變速直線運動的路程272829法二：由定積分的幾何意義，直觀的可以得出路程即為如圖所示的梯形的面積，即30變力所做的功：物體在變力Ｆ（x）的作用下做直線運動，并且物體沿著與Ｆ（x）相同的方向從x=a移動到x=b（a<b），那么變力Ｆ（x）所作的功3132例2：一個帶+q電量的點電荷放在r軸上坐標原點處，形成一個電場，已知該電場中，距離坐標原點為r處的單位電荷受到的電場力由公式：確定，在該電場中