專題08 二次函數（講義）（原卷版）

專題08二次函數核心知識點精講1．二次函數的概念常為中檔題．主要考查點的坐標、確定解析式、自變量的取值范圍等；2．二次函數的解析式、開口方向、對稱軸、頂點坐標等是中考命題的熱點；3．拋物線的性質、平移、最值等在選擇題、填空題中都出現過，覆蓋面較廣，而且這些內容的綜合題一般較難，在解答題中出現．【知識網絡】考點一：二次函數的定義一般地，如果（a、b、c是常數，a≠0），那么y叫做x的二次函數．要點詮釋：二次函數(a≠0)的結構特征是：(1)等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2．(2)二次項系數a≠0．考點二：二次函數的圖像及性質1.二次函數(a≠0)的圖象是一條拋物線，頂點為．2.當a＞0時，拋物線的開口向上；當a＜0時，拋物線的開口向下．3.①|a|的大小決定拋物線的開口大?。畖a|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的開口越大．②c的大小決定拋物線與y軸的交點位置．c＝0時，拋物線過原點；c＞0時，拋物線與y軸交于正半軸；c＜0時，拋物線與y軸交于負半軸．③ab的符號決定拋物線的對稱軸的位置．當ab＝0時，對稱軸為y軸；當ab＞0時，對稱軸在y軸左側；當ab＜0時，對稱軸在y軸的右側．4.拋物線的圖象，可以由的圖象移動而得到．將向上移動k個單位得：．將向左移動h個單位得：．將先向上移動k(k＞0)個單位，再向右移動h(h＞0)個單位，即得函數的圖象．要點詮釋：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據實際靈活選擇和運用．考點三：二次函數的解析式1.一般式：(a≠0)．若已知條件是圖象上的三個點，則設所求二次函數為，將已知條件代入，求出a、b、c的值．2.交點式（雙根式）：．若已知二次函數圖象與x軸的兩個交點的坐標為(x1，0)，(x2，0)，設所求二次函數為，將第三點(m，n)的坐標(其中m、n為已知數)或其他已知條件代入，求出待定系數，最后將解析式化為一般形式．3.頂點式：．若已知二次函數圖象的頂點坐標或對稱軸方程與最大值(或最小值)，設所求二次函數為，將已知條件代入，求出待定系數，最后將解析式化為一般形式．4.對稱點式：．若已知二次函數圖象上兩對稱點(x1，m)，(x2，m)，則可設所求二次函數為，將已知條件代入，求得待定系數，最后將解析式化為一般形式．要點詮釋：已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

(可以看成的圖象平移后所對應的函數).已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：（a≠0）.(由此得根與系數的關系：).考點四、二次函數(a≠0)的圖象的位置與系數a、b、c的關系1.開口方向：a＞0時，開口向上，否則開口向下．2.對稱軸：時，對稱軸在y軸的右側；當時，對稱軸在y軸的左側．3.與x軸交點：時，有兩個交點；時，有一個交點；時，沒有交點．要點詮釋：當x＝1時，函數y＝a+b+c；當x＝-1時，函數y＝a-b+c；當a+b+c＞0時，x＝1與函數圖象的交點在x軸上方，否則在下方；當a-b+c＞0時，x＝-1與函數圖象的交點在x軸的上方，否則在下方．考點五、二次函數的最值1.當a＞0時，拋物線有最低點，函數有最小值，當時，．2.當a＜0時，拋物線有最高點，函數有最大值，當時，．要點詮釋：在求應用問題的最值時，除求二次函數的最值，還應考慮實際問題的自變量的取值范圍．【題型1：二次函數的概念】【典例1】已知函數是二次函數，則等于（

）A． B．2 C． D．61．若函數是二次函數，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．02．下列關于的函數解析式中，一定為二次函數的是（

）A． B． C． D．3．關于x的函數是二次函數，則m的值為（

）A．1 B． C．1或 D．0【題型2：二次函數的圖象及性質的應用】【典例2】已知，則二次函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．1．二次函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．2．當時，二次函數的最大值是1，則實數m的值為（

）A．0或1 B．或0 C．2或 D．或33．二次函數，在的范圍內有最小值，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．74．如圖，拋物線經過等腰直角三角形的兩個頂點A，B，點A在y軸上，則的值為(

)A． B． C． D．【題型3：求二次函數的解析式】【典例3】在一個邊長為5的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，如果設剩余部分的面積為y，那么y關于x的函數解析式是（

）A． B． C． D．1．將拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的拋物線的表達式為（

）A．B． C． D．2．已知拋物線經過，兩點，則該拋物線的解析式為(

)A． B． C． D．3．中條山隧道位于山西省運城市鹽湖區(qū)，這一隧道的建設開創(chuàng)了全省普通公路特長隧道工程建設的先河，也是全國單洞里程最長的隧道工程．如圖1是中條山隧道，其截面近似為拋物線型，如圖2為截面示意圖，線段表示水平的路面，以O為坐標原點所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．經測量，拋物線的頂點P到的距離為，則拋物線的函數表達式為（

）A． B． C． D．4．如圖1是拋物線形拱橋的剖面圖，拱頂離水面，水面寬．以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為軸建立直角坐標系，如圖所示，則拋物線的二次函數是（

）A． B． C． D．【題型4：二次函數圖象的位置與a、b、c的關系】【典例4】二次函數的圖像如圖，給出下列四個結論：①；②；③；④，其中正確結論的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個1．如圖，函數的圖象過點和，下列結論：①；②關于x的方程有兩個不相等的實數根；③；④．正確的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且對稱軸為直線，點B坐標為，則下面的五個結論：①②；③當時，或；

④；⑤（m為實數），其中正確的結論有（

）個A．2 B．3 C．4 D．53．拋物線的對稱軸是直線，且過點，頂點位于第二象限，其部分圖像如圖所示，給出以下判斷：①；②；③；④；其中正確的個數有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【題型5：二次函數綜合題】【典例5】如圖，在平面直角坐標系中，將拋物線先向右平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到拋物線，則拋物線的表達式為；拋物線的對稱軸與分別相交于點M，N，則的面積為．1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，將拋物線向右平移個單位，點平移到點，點平移到點，連接，，若，則．2．如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，頂點M的縱坐標為，現將拋物線向右平移3個單位長度得到拋物線，則陰影部分的面積是．3．如圖，將一個含的直角三角板放在平面直角坐標系的第一象限，使直角頂點的坐標為，點在軸上，過點，作拋物線，且點為拋物線的頂點.要使這條拋物線經過點，那么拋物線要沿對稱軸向下平移個單位．1．將拋物線向上平移4個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到的拋物線為（

）A． B．C． D．2．將拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位，所得拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．3．將拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，能得到的拋物線解析式是（

）A．B． C． D．4．若是y關于x的二次函數，則．5．如果函數（是常數）是二次函數，那么的取值范圍是．6．某件商品原價為100元，經過兩次漲價后的價格為元，如果每次漲價的百分率都是，那么關于的函數關系式為．7．相框邊的寬窄影響可放入相片的大?。鐖D，相框長，寬，相框邊的寬為，相框內的面積是，則y與x之間的函數關系式為．8．用長為的繩子圍成一個長方形，設長方形的面積為y，一邊長為，用含有x的代數式表示y為，自變量x的取值范圍是．一、單選題1．如圖，用一段長為米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻長不限）的矩形花園，設該矩形花園的一邊長為，另一邊的長為，矩形的面積為．當在一定范圍內變化時，與，與滿足的函數關系分別是（）A．一次函數關系，二次函數關系 B．正例函數關系，二次函數關系C．二次函數關系，正例函數關系 D．二次函數關系，一次函數關系2．二次函數的圖象如圖所示，對稱軸為，則下列結論：①，②，③，④，⑤（其中m為任意實數）．中正確的個數是（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個3．關于二次函數的圖象的對稱軸為軸，則函數的最小值為（

）A．2 B．3 C．5 D．－14．如圖，直線與拋物線交于A、B兩點，點P是y軸上的一個動點，當的周長最小時，的面積是（）．A．3 B． C． D．25．如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，在第三象限的拋物線上有一動點，連接、，點在運動過程中，若面積最大時，則點的坐標（

）A． B． C． D．6．將拋物線向左平移3個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線是（

）A． B．C． D．7．如圖①，某建筑物的屋頂設計成橫截面為拋物線形(曲線)的薄殼屋頂．已知它的拱寬為4米，拱高為0.8米．為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的平面直角坐標系求解析式．圖②是以所在的直線為x軸，所在的直線為y軸建立的平面直角坐標系，則圖②中的拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．二、填空題8．如圖，在直線上方的雙曲線上有一個動點，過點作軸的垂線，交直線于點，連接，，則面積的最大值是．9．如圖，矩形的頂點在拋物線上，將矩形繞點O順時針旋轉，得到四邊形，邊與拋物線交于點P，則點P的坐標為．10．已知過點的拋物線與兩坐標軸交于點A，C，如圖所示，連接，第一象限內有一動點M在拋物線上運動，過點M作交y軸于點P．當點P在點A上方，且與相似時，點M的坐標為．11．如圖所示，拋物線與軸正半軸交于點．以為邊在軸上方作正方形，延長交拋物線于點，再以為邊向上作正方形，則點的坐標是．12．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向左平移得到，與x軸交于B，D兩點，若直線與，共有3個不同的交點，則m的取值范圍是．三、解答題13．已知拋物線的頂點坐標為，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中B點坐標為．(1)求這條拋物線的函數解析式；(2)若拋物線的對稱軸交x軸于點D，則在線段上是否存在這樣的點Q使得為等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．14．已知拋物線的圖像經過點，點，且與y軸交于點C．(1)求出點B的坐標；(2)若點P為x軸上方的拋物線上任意一點．①如圖1，若點Q為線段上一點，連接，交x軸于點M，連接，當時，求點M的坐標；②如圖2，連接，若滿足，求此時點P的坐標．一、單選題1．（2023·廣東·統考中考真題）如圖，拋物線經過正方形的三個頂點A，B，C，點B在軸上，則的值為（

）

A． B． C． D．2．（2023·四川樂山·統考中考真題）如圖，拋物線經過點，且，有下列結論：①；②；③；④若點在拋物線上，則．其中，正確的結論有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（2023·四川涼山·統考中考真題）已知拋物線的部分圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（

）

A． B． C． D．（為實數）4．（2023·廣東廣州·統考中考真題）拋物線經過點、，且與y軸交于點，則當時，y的值為（

）A． B． C． D．55．（2023·貴州銅仁·統考中考真題）如圖，若拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，若．則的值為（

）A． B