上海市延安中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

延安中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中考試2024.03一、填空題（本大題共12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）1．已知函數(shù)，則________．2．某人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，其中正面朝上7欠，則該硬幣正面朝上的頻率為________．3．函數(shù)的駐點(diǎn)為________．4．函數(shù)在上的最大值為________．5．若事件與互斥，且，，則________．6．若直線與曲線（參數(shù)）有唯一的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)________．7．某小組成員的年齡分布莖葉圖如圖所示，則該小組成員年齡的第25百分位數(shù)是________．8．一名信息員維護(hù)甲、乙兩公司的5G網(wǎng)絡(luò)，一天內(nèi)甲公司需要維護(hù)和乙公司需要維護(hù)相互獨(dú)立，它們需要維護(hù)的概率分別為0.2和0.3，則至少有一個(gè)公司不需要維護(hù)的概率為_______．9．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．10．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)和點(diǎn)、滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為________．11．若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為________．12．已知、是雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過的直線交雙曲線的右支于、兩點(diǎn)，且，，則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)為________．①雙曲線的離心率為2； ②雙曲線的一條漸近線的斜率為；③線段的長(zhǎng)為； ④的面積為．二、選擇題（本大題共4題，滿分12分，每題3分）13．現(xiàn)有以下兩項(xiàng)調(diào)查：①從40臺(tái)剛出廠的大型挖掘機(jī)中抽取4臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)；②在某校800名學(xué)生中，型、型、型和型血的學(xué)生依次有300，200，180，120人．需從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，研究血型與色弱的關(guān)系．完成這兩項(xiàng)調(diào)查最適宜采用的抽樣方法分別是（）A．①②都采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B．①②都采用分層隨機(jī)抽樣C．①采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，②采用分層隨機(jī)抽樣D．①采用分層隨機(jī)抽樣，②采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣14．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A．“恰好有一個(gè)白球”與“都是紅球”B．“至多有一個(gè)白球”與“都是紅球”C．“至多有一個(gè)白球”與“都是白球”D．“至多有一個(gè)白球”與“至多有一個(gè)紅球”15．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，下列說法不正確的是（）A．函數(shù)在上嚴(yán)格增 B．函數(shù)在上嚴(yán)格減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)16．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B. C． D．三、解答題（本大題共5題，滿分46分）17．（本題滿分6分：第（1）小題3分，第（2）小題3分）一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張標(biāo)簽，隨機(jī)地選取兩張標(biāo)簽，一次選取一張．（1）若標(biāo)簽的選取是無放回的，寫出該隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)等可能的樣本空間，并求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；（2）若標(biāo)簽的選取是有放回的，寫出該隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)等可能的樣本空間，并求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．18．（本題滿分8分：第（1）小題4分，第（2）小題4分）已知拋物線，定點(diǎn)．（1）過點(diǎn)且過拋物線的焦點(diǎn)的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，求；（2）求過點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．19．（本題滿分8分：第（1）小題4分，第（2）小題4分）某高校承辦了2024年上海帆船公開賽的志愿志選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值，并估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)；（2）在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個(gè)來自同一組概率．

20．（本題滿分12分：第（1）小題3分，第（2）小題5分，第（3）小題4分）已知函數(shù)，，其中，．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）函數(shù)，，是否存在極值點(diǎn)，若存在，求出極值點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

21．（本題滿分12分：第（1）小題3分，第（2）小題4分，第（3）小題5分）已知橢圓，、、、這四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；（3）過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案一、填空題1.1；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.①④；11.若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為___．【答案】1

【解析】因?yàn)?

所以,即,

設(shè)函數(shù)，依題設(shè),在上單調(diào)遞增,

又,令,解得

所以的增區(qū)間為所以,所以

所以的最大值為1.故答案為:1.二、選擇題13.C；14.A；15.A；16.B15.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，下列說法不正確的是（）A．函數(shù)在上嚴(yán)格增 B．函數(shù)在上嚴(yán)格減C．函數(shù)在處取得極大值 D．函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn)【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

所以函數(shù)在上先減后增,故錯(cuò)誤;

當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故正確;

因?yàn)樵谧髠?cè)附近導(dǎo)數(shù)為正,右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為負(fù),

所以函數(shù)在處取得極大值,故正確;

因?yàn)樵谧髠?cè)附近導(dǎo)數(shù)為負(fù),右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為正,

所以函數(shù)在處取得極小值,

因?yàn)樵谧髠?cè)附近導(dǎo)數(shù)為負(fù),右側(cè)附近導(dǎo)數(shù)為正,

所以函數(shù)在處取得極小值,則函數(shù)共有兩個(gè)極小值點(diǎn),故正確.故選A.三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1），平均數(shù)為69.5（2）20.已知函數(shù)，，其中，．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）函數(shù)，，是否存在極值點(diǎn)，若存在，求出極值點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】見解析【解析】(1)因?yàn)?

所以在點(diǎn)的切線方程為,即;

(2)設(shè),定義域

當(dāng)時(shí),恒成立,所以在嚴(yán)格增,所以不存在極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),令,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在嚴(yán)格減,在嚴(yán)格增,

所以函數(shù)存在一個(gè)極小值點(diǎn),無極大值點(diǎn);

(3)原不等式

當(dāng)時(shí),恒成立;當(dāng)時(shí),,即,

由(2)知時(shí),

在有最小值,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知橢圓，、、、這四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；（3）過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【解析】(1)由兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，因此兩點(diǎn)必然在橢圓上,,若點(diǎn)在橢圓上,則,得出,矛盾,因此點(diǎn)不在橢圓上,點(diǎn)在橢圓上,,解得,橢圓的方程為:

直線的方程為:.設(shè)與橢圓相切的直線方程為:代入橢圓方程可得:

化為:,令