高中數學基礎知識手冊(草稿)

高考數學總復習基礎知識手冊

一、集合與簡易邏輯

基本考點

1.元素與集合的關系

x￡40xeCyA,xGCC!A=x仁A.

2.摩根公式

Cu(An8)=CuAUG,8；Cu(AU8)=CVA^CVB.

3.包含關系

An8=A=AU8=8A^BCb.BcC,.A

o40。心=①=CdUB=R

4.容斥原理

card(A\JB)-cardA+cardB-card(A^\B)

?card(A\JB\JC)=cardA+cardB+cardC-card(A0B)

-card(ADB)-card(BC\C)-card(CA)+card(AC\BC\C).

5.子集個數

集合｛%,4,…,4｝的子集個數共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個;

非空的真子集有2"-2個.

6.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

7.常見結論的否定形式

原結論反設詞原結論反設詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有?個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有(〃-1)個

小于不小于至多有〃個至少有(n+l)個

對所有X，存在某X,

成立不成立p或q\p且\(i

對任何X,存在某X,

不成立成立p且q—>p或「q

8.四種命題的相互關系

9.充要條件

(1)充分條件：若png,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若pnq,且qnp,則〃是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

常用結論

1.集合的元素具有無序性和互異性，確定性.

2.對集合A、B,4n8=0時，你是否注意到“極端”情況：A=0或8=0；求集

合的子集時是否注意到0是任何集合的子集、0是任何非空集合的真子集

3.對于含有〃個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依

次為2",2"-1,2"-1,2"-2.

4.“交的補等于補的并，即CHAnSuCuAUG*"；“并的補等于補的交，即

Cu(A\jB)=CuAnClJB”.

5.判斷命題的真假

關鍵是“抓住關聯字詞”；注意："不'或'即'且'，不'且'即'或'".

6.“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假

即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”.

7.四種命題中“‘逆'者‘交換‘也"、"'否'者'否定'也”.

原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價.反證法分為三步：假設、

推矛、得果.

注意：金題的宜定是“命題的韭j譴，也就是，條住丕變—僅查定經武所得命題”，

但查命題是“既杳定箴翕題的條住作.為條他.X.杳定原琬如貓論作為統(tǒng)論儂讖施題?.

8.完齷條5條福S結論為莪引，結論五羹條5%必至

二、函數

基礎考點

1.二次函數的解析式的三種形式

⑴一般式/(x)=ax2+bx+c(aw0);

(2)頂點式/(x)=a(x-/z)2+k(aw0);

(3)零點式/(x)=?(x-xt)(x-x2)(a豐0).

2.解連不等式N<f(x)<M常有以下轉化形式

N<f(x)<Mo"(x)--N]<0

M+N,M-Nf(x)-N八

o"(x)—------1<------o---->0

22M-f(x)

11

0------------->-----------

f(x)—NM-N

3.方程/(x)=0在的，七)上有且只有一個實根,與/(匕)"火2)<0不等價，前者是后

者的?個必要而不是充分條件.特別地，方程以2+公+，=0(。工0)有且只有一個實根在

bk+k

(人,七)內，等價于/(占)/(&)<0,或/(匕)=0且匕V——<」一，，或。(k2)=0且

2a2

%+攵2b.

-------二<-------<k?

22a2

4.閉區(qū)間上的二次函數的最值

二次函數/(x)=分+以+c(a。0)在閉區(qū)間［p,q］上的最值只能在x=-幺處及區(qū)

2a

間的兩端點處取得，具體如下：

L.方

⑴當a>0時，若無=-^-e［p,q］，則f(x)1nm='(一y),/(二歐=皿｛f(P),f(4)｝；

2a2a

b

X=一五定[p，司，/(X)max=max{/(P)，/(4)}，/(?min=min{/(P)J⑷}?

b

(2)當a<0時,若x^-—e[p,q],則/(x)min=min{/(/?),/(^)},若

x=_.4p，q]'則f(x)max=max{/(p)J(q)},/Wmjn=min{/(p),/(^)}.

5.一元二次方程的實根分布

依據：若/(加)/(〃)<(),則方程/(x)=0在區(qū)間(根,〃)內至少有一個實根.

設/(x)=%+px+q,貝ij

p2-4”0

(1)方程/(x)=0在區(qū)間(根,+8)內有根的充要條件為/(能)=0或，p;

----->m

I2

/(n)>0

(2)方程/(x)=0在區(qū)間(〃z,〃)內有根的充要條件為/(m)/(n)<0或(/？()

m<-—<n

I2

［/(/?)=0f/(n)=O

［af(n)>0>0

p2_的20

(3)方程/(x)=0在區(qū)間(-oo,〃)內有根的充要條件為/(〃2)<0或，p.

\--<m

I2

6.定區(qū)間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據

(1)在給定區(qū)間(—8,+8)的子區(qū)間L(形如［%方］,(一8,4］,卜,+8)不同)上含參數

的二次不等式NO(f為參數)恒成立的充要條件是/(3/號而>O(X^L).

(2)在給定區(qū)間(-00,+00)的子區(qū)間上含參數的二次不等式/(XJ)20(f為參數)恒成立

的充要條件是/(x,f)3〈0(xcL).

7.函數的單調性

(1)設X］e力］H/那么

Ul-x2)[/(xl)-/(x2)]>0?/(斗)::e)>o=/(x)在1,句上是增函數；

再一x2

(占一々)[/(王)一/(々)]<0O也與<0o/(X)在[a，"上是減函數.

玉一X2

(2)設函數y=/(x)在某個區(qū)間內可導，如果/'(x)>0,則/(x)為增函數；如果

r*)<o,則(3為減函數.

8.如果函數/(x)和g(x)都是減函數，則在公共定義域內，和函數/(x)+g(x)也是減

函數；如果函數y=/(“)和"=g(x)在其對應的定義域上都是減函數，則復合函數

y=〃g(x)]是增函數.

9.奇偶函數的圖象特征

奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數的圖

象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函

數是偶函數.

10.若函數y=/(x)是偶函數，則f(x+a)=f(-x-a)；若函數y=/(x+a)是偶函

數，則/(x+a)=/'(-x+a).

11.對于函數y=/(X)(xe于)，/(x+a)=(S-x)恒成立,則函數f(x)的對稱軸是

函數x=g2；兩個函數^二/(8+。)與,=f(b-x)的圖象關于直線x=應”對稱.

12.若/(x)=—/(—x+a),則函數y=/(x)的圖象關于點(],())對稱

13.多項式函數P(x)=a“￡+%_押~|+…+4的奇偶性

多項式函數P(x)是奇函數=P(x)的偶次項(即奇數項)的系數全為零.

多項式函數P(x)是偶函數。P(x)的奇次項(即偶數項)的系數全為零.

14.函數y=/(x)的圖象的對稱性

(1)函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱。/(a+x)=/(a-x)

o/(2a-x)=/(x).

(2)函數y=/(x)的圖象關于直線》=^^■對稱=f(a+mx)=f(b-mx)

=于(a+b-ntx)=f(mx).

15.兩個函數圖象的對稱性

(1)函數y=/(x)與函數y=/(—x)的圖象關于直線x=0(即y軸)對稱.

(2)函數y=f(mx-a)與函數y=f(b-mx)的圖象關于直線x=色也■對稱.

2m

(3)函數y=/。)和y=f-'(x)的圖象關于直線y=x對稱.

16.若將函數y=/(x)的圖象右移。、上移6個單位，得到函數y=/(x—a)+b的圖

象；若將曲線/(x,y)=0的圖象右移。、上移b個單位，得到曲線/(x—a,y-b)=0的圖

?17.互為反函數的兩個函數的關系

f(a)=bo『'(b)=a.

?18.若函數y=/(乙+6)存在反函數，則其反函數為y=-［/-'(x)-/＞］，并不是

k

＞=［廣|(求+6),而函數了=［廣|(京+①是＞=匕/(了)—們的反函數.

k

19.幾個常見的函數方程

(D正比例函數f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指數函數f(x)=a\f(x+y)=f(x)〃y)J(l)="0.

⑶對數函數/(x)=log。X,/(盯)=/(x)+/(y),/(a)=1(。＞0,aH1).

(4)嘉函數/(x)=K,f(xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函數f(x)=cosx,正弦函數g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

XT°X

19.幾個函數方程的周期(約定a＞0)

(1)/(x)=/(x+a),則的周期T=a；

(2)f(x)=/(x+a)=0,

或/(x+a)=-^—(/(x)w0),

/(x)

或/(x+a)=--—(/(x)^0),,則/(x)的周期T=2a；

/(x)

20.分數指數第

絲1

(1)an=-7=(a>0,m/eN*,且〃>1).

Nd"

-巴1

(2)a"(a>U,m,neN*,且〃>1).

an

21.根式的性質

(1)(Va)n=a.

(2)當〃為奇數時，叱=a；

當〃為偶數時，=\a\=\a，a~Q.

[-a,a<0

22.有理指數幕的運算性質

(1)ar-as=ar+5(a〉0/,s￡。).

(2)(優(yōu))$=ars(a>0,r,sGQ).

(3)(ab)r-arb\a>0,/?>0,rG0).

注：若a>0,p是一個無理數，則a。表示一個確定的實數.上述有理指數嘉的運算性

質，對于無理數指數嘉都適用.

23.指數式與對數式的互化式

k?g“N=boa"=N(a>0,a/l,N>0).

24.對數的換底公式

logN

log。N=--—(〃>0,且加〉0,且mwl,N>0).

log,”a

n

推論logb"=—log.b(a>0,且a>1,/”,〃>0,且加w1,n力1,N>0).

"m

25.對數的四則運算法則

若a>0,aWl,M>0,N>0,則

(1)logq(MN)=log,,M+log?N;

⑵bg“*=log〃M-k)g“N;

n

(3)log“M=nlogflM(neR).

26.設函數f(x)=log,,,(ax2+bx+c)(aW0),記△=b?-4ac.若f(x)的定義域為

R,則a>0,且△<();若f(x)的值域為R,則a〉0,且△?().對于。=0的情形，需要

單獨檢驗.

27.對數換底不等式及其推廣

若a>0,b>0,x>0,則函數)，=iogo((bx)

a

⑴當a>/?時,在(0-)和(L+oo)上y=log5Sx)為增函數.

aa

.(2)當a<〃時,在(0,—)和(—,+oo)上y=log5sx)為減函數.

aa

推論:設〃>機〉1，p>0，a>0>且awl，貝ll

⑴log』(〃+P)<log,“〃?

,,,2機+〃

(2)logu/nlog(,H<loga——.

常用結論

1.指數式、對數式，

mI_m[

an=\am,an--J—,al08a'=N

m

an

/=Nolog.N=b(a>0,aH1,N>0),.

a°=l,log“1=0,logna-\,1g2+1g5=Llog^x=Inx,

log?b=她2,-logb"=—logaZ>.

logram

2.(1)映射是“‘全部射出‘加‘一箭一雕’”；映射中第一個集合A中的元素必有像,

但第二個集合5中的元素不一定有原像(A中元素的像有且僅有下一個，但8中元素的原

像可能沒有，也可任意個)；函數是“非空數集上的映射”，其中“值域是映射中像集8的

子集”.

(2)函數圖像與x軸垂線至多一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有，也可任意

個.

(3)函數圖像一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數圖像.

(4)原函數與反函數有兩個“交叉關系”：自變量與因變量、定義域與值域.求一個函數

的反函數，分三步：逆解、交換、定域(確定原函數的值域，并作為反函數的定義域).

注意：①f(a)=bQfXb)=a,=/T"(x)]=x,

②?函數y=/(x+l)的反函數是y=/"(x)-l,而不是y=/T(x+l).

3.單調性和奇偶性

(1)奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全相同.

偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.

單調函數的反函數和原函數有相同的性；如果奇函數有反函數，那么其反函數一定還

是奇函數.

注意：(1)確定函數的奇偶性，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱6.確定函

數奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.

對于偶函數而言有：/(-X)=/(x)=/(IxI).

(2)若奇函數定義域中有0,則必有/(0)=0.即Oe/(x)的定義域時，/(0)=0是

/(x)為奇函數的必要非充分條件.

(3)確定函數的單調性或單調區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑒定)、

導數法；在選擇、填空題中還有：數形結合法(圖像法)、特殊值法等等.

(4)函數單調是函數有反函數的一個充分非必要條件.

(5)定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函

數的和(或差)”.

(6)函數單調是函數有反函數的充分非必要條件，奇函數可能反函數，但偶函數只有

/(x)=0(xe{0})有反函數；既奇又偶函數有無窮多個(/(x)=0,定義域是關于原點對

稱的任意一個數集).

(7)復合函數的單調性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”.

復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.

復合函數要考慮定義域的變化。(即復合有意義)

4.對稱性與周期性(以下結論要消化吸收，不可強記)

⑴函數y=/(x)與函數y=/(-x)的圖像關于直線X=0()，軸)對稱.

推廣一：如果函數y=/(x)對于一切xeR,都有/(a+x)=/(b—x)成立，那么

丫=/(6的圖像關于直線了=巴女(由“x和的一半x=("+1：a確定”)對稱.

推廣二：函數y=/(a+x),y=/(b—x)的圖像關于直線、=容(由a+x=b—x

確定)對稱.

(2)函數y=/(x)與函數y=—/(x)的圖像關于直線y=0(x軸)對稱.

推廣：函數y=/(x)與函數y=A—/(x)的圖像關于直線y=g對稱(由“y和的一

半”"(初+：./(切確定,，),

(3)函數y=/(尤)與函數y=-f(-x)的圖像關于坐標原點中心對稱.

推廣：函數y=/(X)與函數>=機一/(〃一X)的圖像關于點號，號)中心對稱.

(4)函數y=/(x)與函數y=/T(X)的圖像關于直線y=x對稱.

推廣：曲線f(x,y)=0關于直線y=x+b的對稱曲線是/(y—b,x+。)=0；

曲線/(%,>)=0關于直線>=—工+8的對稱曲線是f(-y+b,-x+b)=0.

(5)曲線/(x,y)=0繞原點逆時針旋轉90°,所得曲線是/(y,-x)=0(逆時針橫變再

交換).

特別：y=/(x)繞原點逆時針旋轉90。，得-x=/(y),若y=/(x)有反函數

y=f-\x),則得y=/T(-)

曲線/(x,y)=0繞原點順時針旋轉90°,所得曲線是/(-y,x)=0(順時針縱變再交

換).

特別：y=/(x)繞原點順時針旋轉90°,得x=/(—y),若y=/(x)有反函數

y=/T(x)，則得y=—尸(x).

(6)類比“三角函數圖像”得：

若y=/(x)圖像有兩條對稱軸x=a,x=6(axZ0,則y=/(x)必是周期函數，且一

周期為T=2la-bl.

若y=/(x)圖像有兩個對稱中心A(a,0),B@,0)(awb),則y=/(x)是周期函數，且

一周期為T=2la—Z?l.

如果函數y=/(x)的圖像有下一個對稱中心A(a,O)和一條對稱軸x=b(awb),則函數

y=〃x)必是周期函數，且一周期為T=41a—

如果y=/(x)是R上的周期函數，且一個周期為T,那么/(x±〃T)=/(x)(”eZ).

特別：若/。+。)=—/。)(。*0)恒成立，則7=24.

若/(x+a)=―—(a豐0)恒成立，則T=(.若/(x+a)=---—(a豐0)恒

/(x)/(x)

成立，則7=2a.

如果y=f(x)是周期函數，那么y=/(x)的定義域“無界”.

5.圖像變換

(1)函數圖像的平移和伸縮變換應注意哪些問題？

函數y=/(x)的圖像按向量“=/,〃)平移后，僵函數y-/?=/"-%)的圖像?

(2)函數圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點、特殊線也作相應的變換.

(3)圖像變換應重視將所研究函數與常見函數(正比例函數、反比例函數、一次函數、

二次函數、對數函數、指數函數、三角函數、“魚鉤函數y=x+§(女>0)”及函數

y=x+$(%<0)等)相互轉化.

注意：①形如)>=012+必+。的函數，不一定是二次函數.

②應特別重視“二次三項式”、“二次方程”、“二次函數”、“二次曲線”之間的特

別聯系.

③形如、="土4(，*(),41?！?)的圖像是等軸雙曲線，雙曲線兩漸近線分別直線

x=-d(山分母為零確定)、直線)=4(由分子、分母中x的系數確定)，雙曲線的中心是

CC

點(一旦,旦).?

CC

三、數列

基礎考點

1.平均增長率的問題

如果原來產值的基礎數為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產值y,有

y=N(l+”.

2.數列的同項公式與前n項的和的關系

5.,n-1

4=與(數列｛%｝的前n項的和為s“=q+a,+—+%).

S“一S“T，”22

3.等差數列的通項公式

an=q+("一V)d=+q-d(〃EN*)；

其前n項和公式為

=---!----=na.+-------a

212

d2,/1

=_n+(ci｝—(1)n.

22

4.等比數列的通項公式

an=%q"T=包.q"（n€N"）；

q

其前n項的和公式為

=1

叫,q=1

l-<7

navq=\

5.等比差數列｛4｝:??+1=qa“+d,%=b(qR0)的通項公式為

b+(it-l)d,q=1

a”=]bqn+(d-b)q,l~l-d1；

-----------:-------，"]

[q-i

其前n項和公式為

〃/7+〃(〃一l)d,(q=1)

VS-二)片+二〃,("1)，

i-qg-i"q

6..分期付款（按揭貸款）

每次還款》=元（貸款a元，〃次還清，每期利率為b）.

常用結論

1.數列的通項、數列項的項數，遞推公式與遞推數列，數列的通項與數列的前〃項和公

式的關系：4=機，：>2)(必要時請分類討論).

ha

注意：an-(%—%_])+(a,——一2)-----(2—%)+%；

a2Q

—'a\

a\

2.等差數列｛%｝中:

(1)等差數列公差的取值與等差數列的單調性.

(2)an-a｝+｛n-1)J=am+(n—m)d；p+q-m+n=>ap+a(/-am+an.

(3)｛%田*.1),“｝、伙4｝也成等差數列?(4)兩等差數列對應項和(差)組成的新數列仍成

等差數列.

(5)a]+a2'+---Fa,,,,%+ak+l-+---+-ak+m_x,"'仍成等差數列.

c_"(%+?！?_,n(n-l),_dd

(6)S=-----------,Sc=nu,H-----------cl,SQ=-n2+(4----)n,

“2222

%=^-，0=/(〃)n￡=/(2〃_l).

"2n-lBnb.

(7)ap=q,ciq=p(pWq)n4+g=0;Sd=q,Sq=p(pHq)n=—(p+g)；

s

m+n=Sm+Sn+mnd.

(8)“首正”的遞減等差數列中，前〃項和的最大值是所有非負項之和；

“首負”的遞增等差數列中，前〃項和的最小值是所有非正項之和；

(9)有限等差數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還

是奇數決定.若總項數為偶數，則“偶數項和”一“奇數項和”=總項數的一半與其公差的

積；若總項數為奇數，則“奇數項和”一“偶數項和”=此數列的中項.

(10)兩數的等差中項惟一存在.在遇到三數或四數成等差數列時，?？紤]選用“中項關

系”轉化求解.

(11)判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像

法(也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式).

3.等比數列｛《,｝中：

(1)等比數列的符號特征(全正或全負或一正一負)，等比數列的首項、公比與等比數列

的單調性.

nm

(1)an=a｝q''=amq"~；P+q=m+n=>bp-bq=bm-bn.

(3)｛\an\｝,｛4+(i)“｝、伙4｝成等比數列；｛4｝、也,｝成等比數列n｛a/“｝成等比

數列.

(4)兩等比數列對應項積(商)組成的新數列仍成等比數列.

(5)4+4t--卜4，%+4+1t---卜4+利一1，…成等比數列?

叫①=1)\nax(<7=1)

(6)S“=紇組=W(#]/"+'("]),

ql—q[l-q\-q

特別：aH-bn=(a-b\an-[+an-2b+an-3b2+???+ab^2+bn-1).

mn

⑺Sm+n=Sm+qSn=Sn+qSm.

(8)“首大于1”的正值遞減等比數列中，前〃項積的最大值是所有大于或等于1的項

的積；“首小于1”的正值遞增等比數列中，前"項積的最小值是所有小于或等于1的項的

積；

(9)有限等比數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還

是奇數決定.若總項數為偶數，則“偶數項和”=“奇數項和”與“公比”的積；若總項數

為奇數，則“奇數項和"=“首項”加上“公比”與“偶數項和”積的和.

(10)并非任何兩數總有等比中項.僅當實數〃力同號時，實數存在等比中項.對同

號兩實數a1的等比中項不僅存在，而且有一對G=土瘋.也就是說，兩實數要么沒有等比

中項(非同號時)，如果有，必有一對(同號時).在遇到三數或四數成等差數列時，常優(yōu)先考

慮選用“中項關系”轉化求解.

(11)判定數列是否是等比數列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法(也就是

說數列是等比數列的充要條件主要有這四種形式).

4.等差數列與等比數列的聯系

(1)如果數列｛6｝成等差數列，那么數列｛4冊｝(A%總有意義)必成等比數歹山

(2)如果數列｛6｝成等比數列，那么數列｛log/l｝(a〉0,aHl)必成等差數列.

(3)如果數列伍“｝既成等差數列又成等比數列，那么數列｛七｝是非零常數數列；但數列

｛%｝是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件.

(4)如果兩等差數列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，

且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數.

如果一個等差數列與一個等比數列有公共項順次組成新數列，那么常選用“由特殊到

一般的方法”進行研討，且以其等比數列的項為主，探求等比數列中那些項是他們的公共項,

并構成新的數列.

注意：(1)公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究但也有少數問題中

研究4="，這時既要求項相同，也要求項數相同.⑵三刨)±數成笠差臉的史項轉化和

通項轉化法.

5.數列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差數列求和公式(三種形式)，②等比數列求和公式(三種形式)，

③1+2+3H----\-n=+1),I2+22+32H----F+1)(2〃+1),

1+3+5H----F(2〃=1+3+5H----F(2〃+1)=(〃+1)2.

(2)分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合

并在一起，再運用公式法求和.

(3)倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列

的通項與組合數相關聯，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差

數列前〃和公式的推導方法).

(4)錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相

乘構成，那么常選用錯位相減法，將其和轉化為“一個新的的等比數列的和”求解(注意：

一般錯位相減后，其中“新等比數列的項數是原數列的項數減一的差”！)(這也是等比數

列前〃和公式的推導方法之一).

(5)裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關

聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：

①_1_=1__L,②_I_=1(1__1_),

n(n+1)n〃+1〃(〃+%)k?n+k

_1_11111

(k+\)kP(k-\)k

--------------—[-----------------------]，⑤------------------

n(n-l)(n+2)2〃(〃+1)("+1)("+2)(n+1)!n!(n+1)!

⑥2(，〃+1—>Jn)<!—<2(V/i—J/z—1)

yjn

⑦氏=s“—s,i(〃>2)，⑧+c：=C'L=>c：=c,：,-C：-1.

特別聲明：＜8運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時分類討論.

(6)通項轉換法。

6.分期付款型應用問題

(1)重視將這類應用題與等差數列或等比數列相聯系.

(2)若應用問題像“森林木材問題”那樣，既增長又砍伐，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到

“最后”解決.

(3)“分期付款”、“森林木材”等問題的解決過程中，務必“卡手指”，細心計算“年

限”作為相應的“指數”.?

三、三角函數

基礎考點

1.常見三角不等式

乃

(1)若工￡(0,—)，則sinx<x<tanx.

2

(2)若％E(0,—),貝ij1<sinx+cosx<41.

2

(3)IsinxI+1cosxl>1.

2.同角三角函數的基本關系式

sin。

sin24-cos2^=1,tan^=------,tan0-cotO=1.

cos，

46.正弦、余弦的誘導公式

n

.兀、(-IPsina,（n為偶數）

sin(—+6K)=<

2

(-1)cosa,（n為奇數）

n（n為偶數）

兀、(一l/cosa,

cos(—+a)=<

”+i（n為奇數）

(-1)2sina,

3.和角與差角公式

sin(a±夕)=sinacos0±cosasinp;

cos(6Z±')=cosacos夕-sinasin(3；

/,0、tancr±tan/?

tan(ez±￡)=------------.

1+tanatan°

sin(6r+/7)sin((7-=sin2?-sin2(平方正弦公式);

cos(a+〃)cos(a-〃)=cos2a-sin2J3.

asina+hcosa=+/sin(a+g)(輔助角0所在象限由點(。/)的象限決

、、

定，tan°=-b).

a

4.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

八2tana

tan2a=-------—.

l-tan~a

?5.三倍角公式

sin3。=3sin^-4sin30=4sin6sing-9)sin告+6).

cos3。=4cos3^-3cos8=4cos0COS(y-9)COS(y+0).

八八3tantan30八/萬八、,4八、

tan30=------------------=tan0tan(-----0)tan(—+0).

l-3tan2^33

6.三角函數的周期公式

函數y=sin(69x+°),x￡R及函數y=cos(/x+e),x0R(A,3,。為常數，且AWO,

27r7t

3>0)的周期T=——；函數丁=tan(Gx+°),xW攵4+—,攵cZ(A,3,夕為常數，且A

CD2

7T

W0,3>0)的周期T=X.

co

7.正弦定理

U=±=，=2R.

sinAsinBsinC

8.余弦定理

a2=b2+c2-2hccosA;

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+/?2-labcosC.

9.面積定理

(1)S=；€1兒=gbhb=；ch。(%、與、4分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S=—ahsinC=—hcsinA=—easinB.

222

22

(3)SMAB=Iyl(\OA\-\OB\)-(OAOB).

10.三角形內角和定理

在aABC中，有4+6+。=乃=。=7一(4+8)

=￡=—A±J^O2C=24一2(4+6).

222

11.簡單的三角方程的通解

sinx=a=x=上乃+(—1)人arcsina(keZ,lt?I<1).

cosx=a=x=2攵4士arccos〃(ZeZ,la\<1).

tanx=。=>x=Lr+arctana(keZ,aeR).

特別地,有

sina=sin夕=a=%萬+(—1)*/(4GZ).

cosa=cos(3oa=2k?！?(keZ).

tana=tan夕=a=+0(keZ).

12.最簡單的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<l)<^>xeQk兀+arcsina,2k兀+萬一arcsina),keZ.

sinx<tz(l<71<1)<=>xGQk兀一冗一arcsina,2Z%+arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<i)oxeQk兀-arccosa,2kzr+arccosa),kGZ.

cosx<a(\a\<l)oxeQk兀+arccosa,2k/r+2萬一arccosa),keZ.

71

tanx>a(ae/?)=>xG(kzi+arctana,k兀+—),keZ.

71

tanx<a(aG/?)=>xG(k冗---，攵)+arctanQ),%GZ.

常用結論

1.a終邊與。終邊相同（a的終邊在夕終邊所在射線上）oa=6+2jbr（ZeZ）.

a終邊與。終邊共線（a的終邊在。終邊所在直線上）=.

a終邊與。終邊關于x軸對稱Oa-+2k兀（keZ）.

a終邊與。終邊關于y軸對稱。a=兀一0+2k兀（keZ）.

a終邊與。終邊關于原點對稱=a=7r+0+2k7r（keZ）.

一般地：a終邊與。終邊關于角夕的終邊對稱=a=2/3-0+2k7r（keZ）.

2.弧長公式：/=lalR,扇形面積公式：5=；//?=4以1尸，1弧度（lrad）a57.3°.

3.三角函數符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

注意：sin15°=cos75°=瓜二五,sin75°=cos150="［四,

44

tanl50=cot750=2-V3,tan75°=cot15°=2+V3,sinl80=^^-.

4.三角函數線的特征是：正弦線“站在x軸上（起點在x軸上）”、余弦線“躺在x軸上

（起點是原點）”、正切線“站在點4（1,0）處（起點是A）”.務必重視"三角函數值的大小與

單位圓上相應點的坐標之間的關系，‘正弦'o'縱坐標'、‘余弦'o'橫坐標'、

‘正切'o'縱坐標除以橫坐標之商'”；務必記?。簡挝粓A中角終邊的變化與sina土cosa

值的大小變化的關系.a為銳角=>sina<a<tana.

5.三角函數同角關系中，平方關系的運用中，務必重:視''根據已知角的范圍和三角函數

的取值，精確確定角的范圍，并進行定號”；

6.三角函數誘導公式的本質是：奇變偶不變，符號看象限.

7.三角函數變換主要是：角、函數名、次數、系數（常值）的變換，其核心是“角的變換”！

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變

換、兩角與其和差角的變換.

如a=3+/?)-/?=3-/?)+4，2a=(a+￡)+(a-￡),2a=(￡+a)-(/?-a)

a+B=2.*,g=口一日卜（今一力等.

常值變換主要指“1”的變換：

1--sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=tan,=siny=cosO=…等.

三角式變換主要有：三角函數名互化（切割化弦）、三角函數次數的降升（降次、升次）、

運算結構的轉化（和式與積式的互化）.解題時本著“三看”的基本原則來進行：“看角、看函

數、看特征”，基本的技巧有:巧變角，公式變形使用，化切割為弦，用倍角公式將高次降次.

注意：和（差）角的函數結構與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）

公式中的符號特征.“正余弦'三兄妹一sinx土cosx、sinxcosx'的內存聯系”（常和三角換

元法聯系在一起￡=sinx±cosxG[-V2,V2],sinxcosx-）.

輔助角公式中輔助角的確定：asinx+6cosx=Ji?+。2sin（x+e）（其中。角所在的

象限由的符號確定，。角的值由tan。=2確定）在求最值、化簡時起著重要作用.尤其

a

是兩者系數絕對值之比為1或6的情形.Asinx+8cosx=C有實數解^A2+B2>C2.

8.三角函數性質、圖像及其變換：

（1）三角函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函數、余切函數的定義域；絕對值對三角函數周期性的影響：一般說來，

某一周期函數解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數又是偶

函數的函數自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定.如），=5也2》,），=卜出％|的周期都是萬,

但y=|sinx|+|cosx|y=|sinx|+|cosx|的周期為4/?，y=ltanxl的周期不變,問函數

y=coslxl,y=sinx2,y=sin|x|,y=cosVx，產coslxl是周期函數嗎？

（2）三角函數圖像及其幾何性質：

y=Asin(ox+e)

y=Atan(a)x+(p)y

；0一