高等數(shù)學(xué)下考試題庫(附答案)

《高等數(shù)學(xué)》試卷1（下）

一.選擇題（3分xlO）

1.點(diǎn)M（2,3,1）到點(diǎn)%（2,7,4）的距離|%%|=（）.

A.3B.4C.5D.6

2.向量M=-：+=2；+j,則有（）.

K.a//bB.a-LbC.（a,b^=-1-D.R,B）=?

3.函數(shù)y=72-%2-/+//，的定義域是（）.

yjx2+y2-1

A.|x,y）|l<x2+/<2）B.1x,y|l<x2+y2<2））

C.｛（x,y）|l<%2+y2<2｝D｛（%,y）|l<x2+y2<2]

4.兩個(gè)向量刁與B垂直的充要條件是（）.

A.a-b=0B.axb=0C.a-b=6D.M+B=。

5.函數(shù)2=/+3；3一3孫的極小值是（）

A.2B.-2C.lD.-l

Qz

6.設(shè)z=%siny,貝!J一,〃、=（）.

辦（閣

BD.-V2

人4-T0.戊

001

7.若p級(jí)數(shù)Z3收斂，則（）.

M=l幾

A.pV1B.p<1C,p>1D./7>1

8.慕級(jí)數(shù)之二的收斂域?yàn)椋ǎ?

〃=】"

A.[—1,1]B（—1,1）C.[—1,1）D.（—1,1]

9.幕級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是（

1221

A.----B.-----C.----D.

1—X2-x1-x2-x

10.微分方程盯'-yiny=0的通解為（）.

A.y=cexB.y=exC.y=D.y=ecx

二.填空題（4分x5）

1.一平面過點(diǎn)A（0,0,3）且垂直于直線AB,其中點(diǎn)則此平面方程為.

2.函數(shù)z=sin（Ay）的全微分是.

3.設(shè)Z=13>2一3孫3一町+1,則---=_______________________________

dxdy

4.」一的麥克勞林級(jí)數(shù)是.

2+x

三.計(jì)算題（5分x6）

一六“?丁十%3z

l.iicz=esinv,而〃==求一,一.

dxdy

2.已知隱函數(shù)z=z（x,y）由方程，一2y2+z2-4x+2z—5=0確定,求幺，幺.

dxdy

3計(jì)算JjsinJx?+y2dcr,其中。：萬？4+y2<4）2

D

4.求兩個(gè)半徑相等的直交圓柱面所圍成的立體的體積（R為半徑）.

四.應(yīng)用題（10分x2）

1.要用鐵板做一個(gè)體積為2m3的有蓋長方體水箱，問長、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí)，才能使用料最??？

試卷1參考答案

一.選擇題CBCADACCBD

二.填空題

1.2x—y—2z+6=0.

2.cosRX）以十工力）.

3.6x2y-9y2-1.

4ytltz

?乙A.

H=0乙

5.y=（G+Gx）e2，.

三.計(jì)算題

—=erv[^sin（x+y）+cos（x+y）]—=etv[xsin（x+y）+cos（x+y）].

dxSy

dz2—xdz2y

2.—=--,—=----

dxz+ldyz+1

.2乃.2乃.2

3.J。d（p^sinp*pdp=-6TT.

416爐

3

5.y=e3x-e2\

四.應(yīng)用題

1.長、寬、高均為啦，”時(shí)，用料最省.

2.y--X2.

3

《高數(shù)》試卷2（下）

一.選擇題（3分X10）

1.點(diǎn)M（4,3,l）,M（7,1,2）的距離.

A.V12B.V13C.V14D.V15

2.設(shè)兩平面方程分別為x—2y+2z+l=0和—x+y+5=0,則兩平面的夾角為（）.

71717171

A.—B.—C.—D.—

6432

3.函數(shù)z=arcsinQ2+?。┑亩x域?yàn)椋ǎ?

A.W%?+y2<1}B.{x,yjOcj?+y2<j

C..（x,y）|o<x2+y2<yj>D..（x,j）|o<%2+y2<|^|

4.點(diǎn)尸（一1,一2,1）到平面%+2丁—22-5=0的距離為（）.

A.3B.4C.5D.6

5.函數(shù)z=2孫一3/一2寸的極大值為（）.

,1

A.OB.1C.-1D.一

2

6.設(shè)z=x?+3孫+V，則[,⑶=().

A.6B.7C.8D.9

7.若幾何級(jí)數(shù)Zar"是收斂的，則（）.

n=O

A.r<lB.r>\C.|r|<lD.|r|<l

8界級(jí)數(shù)+的收斂域?yàn)?).

n=0

A.[-1,1]B.[—1,1)C.(-1,1]D.(—1,1)

9.級(jí)數(shù)￡空詈是（）.

〃=1〃

A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.不能確定

二.填空題（4分x5）

x=3+t

1.直線I過點(diǎn)A（2,2,—1）且與直線<y=f平行，則直線/的方程為.

z=1-2/

2.函數(shù)z=的全微分為.

3.曲面z=2x2-4y2在點(diǎn)（2,1⑷處的切平面方程為.

三.計(jì)算題（5分x6）

1.設(shè)口=i+2/=2/+3^,求口xB.

C、瓜22丁dzdz

2.設(shè)z=〃v-uv，而〃=xcosy,u=xsiny,求一,一.

dxdy

dz

3.已知隱函數(shù)z=z（x,y）由+3xyz=2確定，求一,一.

dxdy

4.如圖，求球面/+y2+z?=4/與圓柱面/+y2=2ax（Q>0）所圍的幾何體的體積.

四.應(yīng)用題（10分X2）

I.試用二重積分計(jì)算由y=4,y=2J7和x=4所圍圖形的面積.

試卷2參考答案

一.選擇題CBABACCDBA.

二.填空題

x—2y-2z+1

1.-----=-——=--------.

112

2.exy[ydx+xdy).

3.8x—8y—z=4.

4s(-1)”.

n=0

5.y=x3.

三.計(jì)算題

1.8i—3/+2k.

2.—=3x2sinjcosj(cosj-sinj),—=—2x3sinjcosj(sinj+cosj)+x(sin3j+cos3j).

dxdy

dz—yzdz-xz

3.=-----------,------=---------z".

dxxy+zdyxy+z

2xx

5.y=Cte~+C2e~.

四.應(yīng)用題

1.

3

12

2.x——-gt+v^t+XQ.

《高等數(shù)學(xué)》試卷3（下）

一、選擇題（本題共10小題，每題3分，共30分）

2、設(shè)2n+2卜1＜加=2）+3%則a與b的向量積為（）

A、i-j+2kB、8i-j+2kC,8i-3j+2kD、8i-3i+k

3、點(diǎn)P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距離為（）

A、2B、3C、4D、5

4、函數(shù)z=xsiny在點(diǎn)（1,27T）處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為（

4

V2V2V2V2V2V2V2V2

A、---,---,B、---,-----C、-----------------D、

22222222

則包，包分別為

5、設(shè)x2+y2+z2=2Rx，

dxdy

Ax-Ryx-Ryx-Ryx-Ry

D、

zzzzzzzz

6、設(shè)圓心在原點(diǎn)，半徑為R,面密度為〃=/+y2的薄板的質(zhì)量為（）（面積A=M?2）

1,

A、R2AB、2R2AC、3R2AD、-RA

2

7、級(jí)數(shù)f（T）”里的收斂半徑為（）

?=in

1

A、2B、-C、1D、3

2

8、cosx的麥克勞林級(jí)數(shù)為（）

82n002w

A、￡（-D"xv”1

Z（-1）"c、y（-i）n—D、

?=0（2〃）!M=1（2?）!七（2?）!n=0（2?-l）!

二、填空題（本題共5小題，每題4分，共20分）

1、直線Li：x=y=z與直線L2：-~）二0=z的夾角為

2—1

直線L3：?=）士，=-與平面3x+2y-6z=0之間的夾角為____________

2、（0.98）2。3的近似值為,sinl0。的近似值為。

3、二重積分“da,D:x2+y2<1的值為。

D

8con

4、幕級(jí)數(shù)Z〃!x"的收斂半徑為,￡一的收斂半徑為。

n=0?=0〃?

三、計(jì)算題（本題共6小題，每小題5分，共30分）

2、求曲線x=t,y=t2,z=t3在點(diǎn)（1,1,1）處的切線及法平面方程.

3、計(jì)算JJxydcr,其中。由直線y=l,x=2及y=x圍成.

D

"1

4、問級(jí)數(shù)￡（-l）"sin—收斂嗎？若收斂，則是條件收斂還是絕對收斂?

5、將函數(shù)f（x）=e3x展成麥克勞林級(jí)數(shù)

四、應(yīng)用題（本題共2小題，每題10分，共20分）

1、求表面積為a?而體積最大的長方體體積。

參考答案

一、選擇題

1、D2,C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B

10,A

二、填空題

28

1、?rcos-7=,arcsin—2、0.96,0.17365

V1821

3、Ji4、0,+oo

-1

5、y=ce2,ex=1---

y

三、計(jì)算題

2、解：因?yàn)閤=t,y=t?,z=

所以Xt=l,yt=2t,Zt—3t2,

所以Xt*=l,ytItxi=2,Zth-1=3

故切線方程為：t11=匕！=三1

123

法平面方程為：(x-1)+2(y-l)+3(z-l)=0

即x+2y+3z=6

3、解：因?yàn)镈由直線y=l,x=2,y=x圍成，

所以

D：[1?2

Y

故：JJxyda=^{^xydx\dy=1(2y-^-)dy=11

Dy2X

4、解：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因?yàn)?/p>

Vn=sin—)0,所以，V7?+1〈V〃,且limsin，=0,所以該級(jí)數(shù)為萊布尼遨^級(jí)數(shù)，故收斂。

nn

.1業(yè)鈴不CH-rSmn1▽如到六,發(fā)散，從而￡sin，發(fā)散。

又Xsin—當(dāng)x趨于0時(shí),sinx?為所以—十=1,又級(jí)數(shù)工〃后〃5

n

所以，原級(jí)數(shù)條件收斂

6“=1+XH--X~-\---+???H-----x"+,,?

、解：因?yàn)?!3!n!

XG(-00,400)

用2x代x,得：

*1o11

c~x=1+(2x)+—(2x)~+—(2x),+?—I--(2x)n+…

一2222332"〃

=l+2x+—x+—%+…+—x+…

2!3!nl

XG(-00,4-00)

四、應(yīng)用題

1、解：設(shè)長方體的三棱長分別為X,y,z

則2(xy+yz+zx)=a2

構(gòu)造輔助函數(shù)

F(x,y,z)=xyz+A(2xy4-2yz+2zx-a2)

求其對x,y,z的偏導(dǎo)，并使之為0,得:

<yz+2/l(y+z)=0

<xz+2A(x+z)=0

-xy+2/l(x+y)=0

與2(xy+yz+zx)-a2=0聯(lián)立，由于x,y,z均不等于零

可得x=y=z

代入2(xy+yz+zx)-a2=0得x=y=z=""

6

773

所以，表面積為a?而體積最大的長方體的體積為V

36

2、解：據(jù)題意

dM

--=-AM

dt

其中外0為常數(shù)

初始條件用|,=0=〃0

對于也=-AM式

dt

dM

----=-Adt

M

兩端積分得InM=-力+InC

所以，A7=ce~^'

又因?yàn)镸|,=o=Mo

所以，M0=C

M

所以，M=Moe-

由此可知，鈾的衰變規(guī)律為；鈾的含量隨時(shí)間的增加fif按指數(shù)規(guī)律衰減

《高數(shù)》試卷4(下)

—.選擇題：3'x10=30'

1.下列平面中過點(diǎn)(1,1,1)的平面是.

(A)x+y+z=0(B)x+y+z=l(C)x=1(D)x=3

2.在空間直角坐標(biāo)系中，方程/+"=2表示.

(A)圓(B)圓域(C)球面(D)圓柱面

3.二元函數(shù)2=(1-月2+(1-〉)2的駐點(diǎn)是.

(A)(0,0)(B)(0,1)(C)(1,0)(D)(1,1)

4.二重積分的積分區(qū)域〃是14/+y2<4,貝叮體力=

D

(A)乃(B)44(C)34(D)15萬

5.交換積分次序后，而"(乂y)dy=

(A(B)(c)IM：/。/"(D)

6.〃階行列式中所有元素都是1,其值是

(A)n(B)0(C)n!(D)1

8.下列級(jí)數(shù)收斂的是.

(A)次(-1)"T--(B)塔(C)Z------(D)￡

M=1〃+1〃=]Ln=l"n=.

9.正項(xiàng)級(jí)數(shù)和￡匕］滿足關(guān)系式U?<Vn,則

;j=ln=l

800

(A)若“收斂，則￡%收斂(B)若收斂，則收斂

“=1ZJ=1n=\n=1

(C)若如“發(fā)散，則火〃“發(fā)散(D)若￡““收斂，則元%發(fā)散

〃=1〃=1n=\n=l

10.已知：—!_=1+X+X2+...,則」^的哥級(jí)數(shù)展開式為____________.

\-x1+X2

(A)1+x2+A4+?-?(B)-1+x2-x4-i—(C)-1-x2-x4---(D)1-x2+X4---

填空題：4,x5=20,

1.數(shù)Z=^x2+y2-\+ln(2-x2-y2)的定義域?yàn)?/p>

2.若f(x,y)=xy,則/(—,1)=■

X

3.已知(孫兒)是f(x,y)的駐點(diǎn),若/(3,，%)=3,小(如先)=(沏,％)=a則

當(dāng)時(shí)，(心,用)一定是極小點(diǎn).

5.級(jí)數(shù)次"“收斂的必要條件是.

n=\

三.計(jì)算題(一)：6x5=30

1.已知：Z=xF,求：—,—.

dxdy

2.計(jì)?算二重積分JJ，4-分4<7,其中。={(x,y)|04yvJl-Noc}.

D

,_.(\2-3"

3.已知：其中4=12-1,B=012,求未知矩陣X.

I201)

')lo01J

4.求寨級(jí)數(shù)￡(-1)"-1工的收斂區(qū)間.

?=1〃

5.求〃x)=eT的麥克勞林展開式(需指出收斂區(qū)間).

四.計(jì)算題(二)：10'x2=2(X

1.求平面x-2y+z=2和2x+y—z=4的交線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

參考答案

—.1.C；2.D；3.D；4.D；5.A；6.B；7.B；8.C；9.B；10.D.

22

二.1.{(x,y)11<x+y<2)2.上3.-6<a<64.275.limun=0

X

四.1.解：—=yxy~1--xyIny

dxdy

22

2.解：Jjy/4-xda=4-』4-x?dy=jj(4-x)dx=4x--=—

DL3J。3

4.解：/?=1,當(dāng)國〈1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)x=l時(shí)，得￡0二收斂，

n=\〃

當(dāng)x=-l時(shí)，得￡丑竺=￡」發(fā)散，所以收斂區(qū)間為(-1』.

n=\幾n=l九

5.解：.因?yàn)?“=￡二X￡(^30,4<0),所以?r=￡(")=￡(D尤〃XG(-00,4-00).

n=0〃！n=0加n=0'生

jk

四.1.解：.求直線的方向向量:3=1-21=7+3j+5（,求點(diǎn):令z=0,得丫=0出=2,即交點(diǎn)為（2,0.0）,所

21-1

以交線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.平

《高數(shù)》試卷5（下）

一、選擇題（3分/題）

1、已知〃=，+/,b=-k,則ax1=)

A0Bi-jci+jD—i+j

2、空間直角坐標(biāo)系中/+y21表示（）

A圓B圓面C圓柱面D球面

二元函數(shù)2=竺&在（0,0）點(diǎn)處的極限是

3、)

x

A1B0C00D不存在

交換積分次序后J必，

4、f(x,y)dy=()

0'

AJAj(^y)dxB^dy^f(x,y)dx

0

1

c^dy^'f(x,y)dxD\dy^f(x>y')dx

0)