專題11 有關(guān)三角形的綜合問題（練）-備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（解析版）

備戰(zhàn)2019年中考二輪講練測（精選重點(diǎn)典型題）專題11有關(guān)三角形的綜合問題一練基礎(chǔ)——基礎(chǔ)掌握1．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A1B1C，當(dāng)A1落在AB邊上時(shí)，連接B1B，取BB1的中點(diǎn)D，連接A1D，則A1D的長度是（）A．B．C．3D．【答案】A．【分析】首先證明△ACA1，△BCB1是等邊三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解決問題．【解析】∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，∴∠A=90°﹣∠ABC=60°，AB=4，BC=，∵CA=CA1，∴△ACA1是等邊三角形，AA1=AC=BA1=2，∴∠BCB1=∠ACA1=60°，∵CB=CB1，∴△BCB1是等邊三角形，∴BB1=，BA1=2，∠A1BB1=90°，∴BD=DB1=，∴A1D==．故選A．考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．2．如圖，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE的反向延長線于BD交于點(diǎn)F，連接CD．則線段BF，DF，CD三者之間的關(guān)系為()A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CDC．BF2+DF2＝CD2 D．無法確定【答案】C【解析】【分析】由題意可得∠ACD＝∠ADC＝45°，由AB＝AC＝AD可得∠ABC+∠ABD＝45°＝∠CBD，由AB＝AC，AE⊥BC可得AE是BC的垂直平分線，可得BF＝CF，根據(jù)勾股定理可求BF2+DF2的值．【詳解】解：如圖連接CD，CF∵AC＝AD，AC⊥AD∴∠ACD＝45°＝∠ADC∵AB＝AC＝AD∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°∴∠CBD＝45°∵AB＝AC，AE⊥BC∴AE是線段BC的垂直平分線∴BF＝CF∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2．故選：C．3．如圖，在中，E為邊CD上一點(diǎn)，將沿AE折疊至處，與CE交于點(diǎn)F，若，，則的大小為（）A．20° B．30° C．36° D．40°【答案】C【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出∠D=∠B=52°，由折疊的性質(zhì)得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性質(zhì)求出∠AEF=72°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大?。驹斀狻俊咚倪呅蜛BCD是平行四邊形，∴，由折疊的性質(zhì)得：，，∴，，∴；故選：C．4．如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接.若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知DE是AC的垂直平分線，CD=DA．即可得到∠DCE=∠A，而∠A和∠B互余可求出∠A，由三角形外角性質(zhì)即可求出∠CDA的度數(shù).【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線，

∴DA=DC，∴∠DCE=∠A，∵∠ACB=90°，∠B=34°，∴∠A=56°，∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°，

故選：B．5.等腰三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則n的值為（）A．9B．10C．9或10D．8或10【答案】B．【解析】試題分析：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b兩種情況：①當(dāng)a=2，或b=2時(shí)，∵a，b是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，∴x=2，把x=2代入得，4﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，當(dāng)n=9，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，故n=9不合題意；②當(dāng)a=b時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=﹣4（n﹣1）=0，解得：n=10，故選B．考點(diǎn)：1．根的判別式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分類討論．6.如圖，在△ABC中，分別以AC、BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)O，則∠AOB的度數(shù)為．【答案】120°．【分析】先證明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”證明∠AOH=∠DCH=60°即可解決問題．【解析】如圖：AC與BD交于點(diǎn)H．∵△ACD，△BCE都是等邊三角形，∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ACE中，∵CD=CA，∠DCB=∠ACE，CB=CE，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE=∠CDB，∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，∴∠AOH=∠DCH=60°，∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°．故答案為：120°．考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．7.如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD=AB=4，連接AD，BE⊥AB，AE是的平分線，與DC相交于點(diǎn)F，EH⊥DC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則HG的長為______．【答案】．【分析】由勾股定理求出DA，由平行得出∠1=∠2，由角平分得出∠2=∠3，從而得出∠1=∠3，所以HE=HA．再利用△DGH∽△DCA即可求出HE，從而求出HG．【解析】如圖（1）由勾股定理可得：DA===，由AE是∠DAB的平分線可知∠1=∠2，由CD⊥AB，BE⊥AB，EH⊥DC可知四邊形GEBC為矩形，∴HE∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，故EH=HA，設(shè)EH=HA=x，則GH=x-2，DH=．∵HE∥AC，∴△DGH∽△DCA，∴即．解得x=，故HG=EH-EG==．故答案為：．考點(diǎn)：勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．8.如圖，，，點(diǎn)在邊上，，和相交于點(diǎn)．（1）求證：≌；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】試題分析：（1）用ASA證明兩三角形全等；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出，再利用等邊對等角求解即可.試題解析：(1)證明：和相交于點(diǎn).在和中，.又.在和中，.（2）.在中，，.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)9.在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接BD，BE．（1）如圖，當(dāng)α=60°時(shí)，延長BE交AD于點(diǎn)F．①求證：△ABD是等邊三角形；②求證：BF⊥AD，AF=DF；③請直接寫出BE的長；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，過點(diǎn)D作DG垂直于直線AB，垂足為點(diǎn)G，連接CE，當(dāng)∠DAG=∠ACB，且線段DG與線段AE無公共點(diǎn)時(shí)，請直接寫出BE+CE的值．溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補(bǔ)充圖形，以便作答．【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；③；（2）13．【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AB=AD，∠BAD=60°即可得證；②由BA=BD、EA=ED根據(jù)中垂線性質(zhì)即可得證；③分別求出BF、EF的長即可得；（2）由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根據(jù)三線合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，繼而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．【解析】（1）①∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形；②由①得△ABD是等邊三角形，∴AB=BD，∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，∴AC=AE，BC=DE，又∵AC=BC，∴EA=ED，∴點(diǎn)B、E在AD的中垂線上，∴BE是AD的中垂線，∵點(diǎn)F在BE的延長線上，∴BF⊥AD，AF=DF；③由②知BF⊥AD，AF=DF，∴AF=DF=3，∵AE=AC=5，∴EF=4，∵在等邊三角形ABD中，BF=AB?sin∠BAF=6×=，∴BE=BF﹣EF=；（2）如圖所示，∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，∴∠BAE=∠ABC，∵AC=BC=AE，∴∠BAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC，∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，∵AC=BC，∴AH=BH=AB=3，則CE=2CH=8，BE=5，∴BE+CE=13．考點(diǎn)：三角形綜合題；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；壓軸題．10．已知:如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊和上，且，，分別延長、交于點(diǎn)．（1）求證:；（2）求證:．【答案】(1)見解析；(2)見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠ACD，∠B=∠BDE，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BAD=∠F，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，等量代換即可得到結(jié)論．【詳解】解:（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∴．11．四邊形ABCD中，∠BAD的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，∠ADC的角平分線交直線AE于點(diǎn)O．（1）若點(diǎn)O在四邊形ABCD的內(nèi)部，①如圖1，若AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，則∠DOE=______°；②如圖2，試探索∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系，并將你的探索過程寫下來．（2）如圖3，若點(diǎn)O在四邊形ABCD的外部，請你直接寫出∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①125；②∠B+∠C+2∠DOE=360°，理由見解析；（2）∠B+∠C=2∠DOE，理由見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可求∠BAE，∠CDO，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠AEC，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°可求∠DOE的度數(shù)；②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的關(guān)系，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系；（2）g根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵AD∥BC，∠B=40°，∠C=70°，∴∠BAD=140°，∠ADC=110°，∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAE=70°，∠ODC=55°，∴∠AEC=110°，∴∠DOE=360°-110°-70°-55°=125°；故答案為：125；②∠B+∠C+2∠DOE=360°，理由：∵∠DOE=∠OAD+∠ADO，∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，∴2∠DOE=∠BAD+∠ADC，∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°，∴∠B+∠C+2∠DOE=360°；（2）∠B+∠C=2∠DOE，理由：∵∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，∵AE、DO分別平分∠BAD、∠CDA，∴∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，∴∠BAD+∠ADC=2（∠EAD+∠ADO），∴360°-∠B-∠C=2（180°-∠DOE），∴∠B+∠C=2∠DOE．二練能力——綜合運(yùn)用1．如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2015的值為（）A．B．C．D．【答案】C．考點(diǎn)：1．等腰直角三角形；2．正方形的性質(zhì)；3．規(guī)律型；4．綜合題．2.如圖，A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作AC⊥x軸，交OB于D點(diǎn)，垂足為C．若△ADO的面積為1，D為OB的中點(diǎn)，則k的值為（）A．B．C．3D．4【答案】B．考點(diǎn)：1．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；2．相似三角形的判定與性質(zhì)．3．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF+CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝（）A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°【答案】B【解析】【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個(gè)三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF+CE的值最小，求出此時(shí)∠AFB＝105°．【詳解】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，BF+CE的值最小，此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故選：B．4．如圖，已知邊長為的等邊三角形紙片，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，沿著折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)的位置，且，則的長是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得AE=ED，在Rt△EDC中，利用60度角的三角函數(shù)求得ED=EC，列出方程EC+ED=（1+）EC=5，解方程即可求解．【詳解】∵沿著折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)的位置，∴AE=ED在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC∴ED=ECsin60°=EC∵AE+EC=AC=5，∴CE+ED=（1+）EC=5∴CE=20-10．故選D．5．如圖，（n+1）個(gè)邊長為2的等邊三角形△B1AC1，△B2C1C2、△B2C2C3，…，△Bn+1CnCn+1有一條邊在同一直線上，設(shè)△B2D1C1的面積為S1，△B3D2C2的面積為S2，△B4D3C3的面積為S3，…，△Bn+1DnCn的面積為Sn，則S2016=___．【答案】【解析】【分析】首先求出S1，S2，S3，…，探究規(guī)律后即可解決問題．【詳解】∵△B1AC1，△B2C1C2、△B2C2C3，…，△Bn+1CnCn+1為等邊三角形，∴B1C1//B2C2//B3C3…∵AC1=C1C2，∴D1B2=AB2，∴S1=，∵=，∴S1=，同理可得：D2B3=AB3，D3B4=AB4…∴S2==×2=，S3==×3=，…Sn=，∵=×2×2×sin60°=，∴當(dāng)n=2016時(shí)，S2016=.故答案為：6．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)如圖1，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，OM⊥AC于M，求證：AM=CM；(2)如圖2，若∠A=30°，AB=8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在AB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CA邊上以每秒cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜4），連接PQ．①若△APQ是直角三角形，直接寫出t的值；②求證：PQ的中點(diǎn)D在△ABC的一條中位線上．

【答案】（1）詳見解析；（2）或2；②詳見解析.【解析】【分析】（1）連接OC，依據(jù)OC=AB=AO，OM⊥AC于M，即可得到AM=CM；

（2）①分兩種情況：當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ACB，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，分別依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到t的值；②作PM⊥AC于點(diǎn)M，作PE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，利用梯形中位線定理，可得DF=，過AC的中點(diǎn)R作直線平行于BC，可得RC=AC=DF=成立，即可得到D在過R的中位線上，即可得到PQ的中點(diǎn)D在△ABC的一條中位線上．【詳解】解：（1）如圖1，連接OC，

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，

∴OC=AB=AO，

又∵OM⊥AC于M，

∴AM=CM；（2）①由題可得，AP=2t，CQ=，BC=AB=4，

∴AC=，AQ=，兩種情況：

當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ACB，，即，解得t=；當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，，即,解得t=2，

∴t的值為或2；②如圖3，作PM⊥AC于點(diǎn)M，作PE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，則PM=AP=t，AM=∵∠ACB=90°，

∴DF為梯形PECQ的中位線，

∴DF=，∵QC=，PE=MC=AC-AM=-∴DF=，∵AC=過AC的中點(diǎn)R作直線平行于BC，

∴RC=AC=DF=成立，

∴D在過R的中位線上，

∴PQ的中點(diǎn)D在△ABC的一條中位線上．7．課本作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法．我們有多種剪法，圖1是其中的一種方法：定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．（1）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）；（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=SKIPIF1<0，試畫出示意圖，并求出SKIPIF1<0所有可能的值；（3）如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長．【答案】解：（1）如答圖1作圖：（2）如答圖2①、②作△ABC．=1\*GB3①AD=AE時(shí)，∵2x+x=30+30，∴x=20．②當(dāng)AD=DE時(shí)，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．【考點(diǎn)】1．新定義和閱讀理解型問題；2．圖形的設(shè)計(jì)；3．等腰三角形的判定；4．三角形內(nèi)角和定理；5．相似三角形的判定和性質(zhì)；6．方程思想和分類思想的應(yīng)用．【分析】（1）45°自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點(diǎn)作對邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個(gè)等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜邊的中線可形成兩個(gè)等腰三角形，則易得一種情況．第二種情形可以考慮題例中給出的方法，試著同樣以一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底腳被分為45°和22.5°，再以22.5°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時(shí)所得的三個(gè)三角形恰都為等腰三角形．即又一三分線作法．（2）用量角器，直尺標(biāo)準(zhǔn)作30°角，而后確定一邊為BA，一邊為BC，根據(jù)題意可以先固定BA的長，而后可確定D點(diǎn)，再標(biāo)準(zhǔn)作圖實(shí)驗(yàn)--分別考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧AEC在同一直線上，易得2種三角形ABC．根據(jù)圖形易得x的值．（3）因?yàn)椤螩=2∠B，作∠C的角平分線，則可得第一個(gè)等腰三角形．而后借用圓規(guī)，以邊長畫弧，根據(jù)交點(diǎn)，尋找是否存在三分線，易得如圖4圖形為三分線．則可根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關(guān)系，求解方程可知各線的長．8.（1）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，延長CD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)EF，AG．求證：EF=FG．（2）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的長．【答案】解（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADG，AD=AB．在△ABE和△ADG中，∵SKIPIF1<0，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴∠BAE=∠DAG，AE=AG．∴∠EAG=90°．在△FAE和△GAF中，∵SKIPIF1<0，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG．（2）如答圖，過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM，連接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∵SKIPIF1<0，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．∴由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∵SKIPIF1<0，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32．∴MN=SKIPIF1<0.【考點(diǎn)】1．全等三角形的判定和性質(zhì)；2．正方形的性質(zhì)；3．等腰直角三角形的性質(zhì)；4．勾股定理．【分析】（1）證△ADG≌△ABE，△FAE≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可．（2）過點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE=BM．連接AE、EN．通過證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對應(yīng)邊AM=AE、對應(yīng)角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對應(yīng)邊MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．9．如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且DF=FE．（1）圖1中是否存在與∠BDE相等的角？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由；（2）求證：BE=EC；（3）若將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”和“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且DF=FE”分別改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”和“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)，且DF=kFE”，其他條件不變（如圖2）．當(dāng)AB=1，∠ABC=α?xí)r，求BE的長（用含k、α的式子表示）．【答案】解：（1）∠DCA=∠BDE．證明如下：∵AB=AC，DC=DE，∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA．（2）證明：如答圖1，過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB于點(diǎn)G，則有∠DAC=∠DGE．在△DCA和△EDG中，∵∠DCA=∠GDE，∠DAC=∠EGD，DC=ED，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，CA=DG．∴DG=AB．∴DA=BG．∵AF∥EG，DF=EF，∴DA=AG．∴AG=BG．∵EG∥AC，∴BE=EC．（3）如答圖2，過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB的延長線于點(diǎn)G，∵AB=AC，DC=DE，∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．∴∠BDE=∠DBC﹣∠DEC=∠ACB﹣∠DCE=∠DCA．∵AC∥EG，∴∠DAC=∠DGE．在△DCA和△EDG中，∵∠DCA=∠GDE，∠DAC=∠EGD，DC=ED，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，CA=DG．∴DG=AB=1．∵AF∥EG，∴△ADF∽△GDE．∴SKIPIF1<0．∵DF=kFE，∴DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF．∴SKIPIF1<0．∴AD=SKIPIF1<0．∴GE=AD=SKIPIF1<0．如答圖2，過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH．∴BC=2BH．∵AB=1，∠ABC=α，∴BH=AB?cos∠ABH=cosα．∴BC=2cosα．∵AC∥EG，∴△ABC∽△GBE．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴BE=SKIPIF1<0．∴BE的長為SKIPIF1<0．【考點(diǎn)】1．相似形綜合題；2．三角形的外角性質(zhì)；3．全等三角形的判定和性質(zhì)；4．等腰三角形的性質(zhì)；5．相似三角形的判定和性質(zhì)；6．銳角三角函數(shù)的定義．．【分析】（1）運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題．（2）過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB于點(diǎn)G，如圖1，要證BE=CE，只需證BG=AG，由DF=FE可證到DA=AG，只需證到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可．只需證明△DCA≌△△EDG即可解決問題．（3）過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，如圖2，可求出BC=2cosα．過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB的延長線于點(diǎn)G，易證△DCA≌△△EDG，則有DA=EG，CA=DG=1．易證△ADF∽△GDE，則有SKIPIF1<0．由DF=kFE可得DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF．從而可以求得AD=SKIPIF1<0，即GE=SKIPIF1<0．易證△ABC∽△GBE，則有SKIPIF1<0，從而可以求出BE．10.【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)▲，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若▲，則△ABC≌△DEF．【答案】解：（1）HL．（2）證明：如答圖1，過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長線于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH．在△CBG和△FEH中，∵SKIPIF1<0，∴△CBG≌△FEH（AAS）．∴CG=FH．在Rt△ACG和Rt△DFH中，∵SKIPIF1<0，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）．∴∠A=∠D．在△ABC和△DEF中，∵SKIPIF1<0，∴△ABC≌△DEF（AAS）．（3）答如圖2，△DEF和△ABC不全等．（4）∠B≥∠A．【考點(diǎn)】1．探究型問題；2．全等三角形的判定和性質(zhì)；3．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“HL”證明．（2）過點(diǎn)C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點(diǎn)F作DH⊥DE交DE的延長線于H，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等．（3）以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點(diǎn)D，E與B重合，F(xiàn)與C重合，得到△DEF與△ABC不全等．（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，∠B不小于∠A即可．11如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．（1）求證：△ABC為等腰三角形；（2）M是線段BD上一點(diǎn)，BM：AB=3：4，點(diǎn)F在BA的延長線上，連接FM，∠BFM的平分線FN交BD于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF中點(diǎn)，連接MH，當(dāng)GN=GD時(shí)，探究線段CD、FM、MH之