DSP-10離散傅立葉變換-傅立葉級(jí)數(shù)

離散傅立葉級(jí)數(shù)及其性質(zhì)

DFSandItsPropertiesLesson105/14/20241數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340復(fù)習(xí)提問帕賽瓦爾公式的物理意義是？S平面到Z平面映射的條件是？S平面是如何映射到Z平面的？為什么會(huì)出現(xiàn)多對(duì)一的映射？5/14/20242數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340復(fù)習(xí)提問系統(tǒng)函數(shù)基本定義是？如何運(yùn)用系統(tǒng)函數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性？5/14/20243數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340本章作業(yè)習(xí)題3.13.2(2)3.43.53.6(2)(4)3.8

3.103.123.143.163.183.193.223.243.273.295/14/20244數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)一個(gè)周期為N的周期序列可表示為周期序列的Z變換是不收斂的。但是，可以用離散傅立葉級(jí)數(shù)，即用正弦和余弦序列或復(fù)指數(shù)序列的加權(quán)和表示。這些序列的頻率等于周期序列的基頻的整數(shù)倍，其中基波為5/14/20245數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)與連續(xù)傅立葉級(jí)數(shù)(CFS)的差別在于DFS的k

個(gè)諧波分量中只有N

個(gè)是相互獨(dú)立的，這是因?yàn)閺?fù)指數(shù)序列是k

的周期函數(shù)，即例如，當(dāng)時(shí)，，即因此，對(duì)于離散傅立葉級(jí)數(shù)，只取下標(biāo)從0

到N-1

的N

個(gè)諧波分量就足以表示原來的信號(hào)。5/14/20246數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)所以，周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)表示為式中，乘以系數(shù)是為了計(jì)算方便，是

k

次諧波的系數(shù)。5/14/20247數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)現(xiàn)在來推導(dǎo)而5/14/20248數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)現(xiàn)在來推導(dǎo)所以或?qū)懗闪?，重寫前面DFS的公式及上面求的公式如下。5/14/20249數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)及其反變換(IDFS)周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)變換對(duì)上兩式中，n

和k

都為離散變量。如果將n

當(dāng)作時(shí)間變量，k

當(dāng)作頻率變量，則上面第一式表示的是時(shí)域到頻域的變換，稱為DFS正變換，第二式表示的是頻域到時(shí)域的變換，稱為DFS反變換(IDFS)。5/14/202410數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)由于所以是周期為N

的離散周期信號(hào)。周期序列雖然是無限長(zhǎng)的，但是只要知道它的一個(gè)周期，也就知道了它的整個(gè)序列。因此，周期序列的信息可以用它的一個(gè)周期中的N

個(gè)值來代表，因此DFS和IDFS變換式中只取N

個(gè)值就夠了。將來可看到，這正是周期序列與有限長(zhǎng)序列之間的本質(zhì)聯(lián)系。5/14/202411數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)如圖所示的是周期序列及其DFS系數(shù)的圖形。5/14/202412數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340設(shè)周期序列和的周期都為N

，且則有即離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)展開是一種線性變換。離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)線性性質(zhì)5/14/202413數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340設(shè)則有證類似可證明離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)周期序列的移位5/14/202414數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340設(shè)周期序列和的周期都為N

，它們的DFS系數(shù)分別為則有離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)周期卷積5/14/202415數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340上式中稱為兩周期序列的周期卷積，注意求和上下限。式子說明兩序列周期卷積的DFS是它們各自DFS的乘積。即離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)周期卷積5/14/202416數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340證明：離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)周期卷積5/14/202417數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340而離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)周期卷積5/14/202418數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340所以或者離散傅立葉級(jí)數(shù)(DFS)的性質(zhì)周期卷積5/14/202419數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340設(shè)則容易知道，也是一個(gè)周期序列，它的周期也為N

。周期卷積的計(jì)算與線性卷積的計(jì)算類似，首先將一個(gè)序列反折、移位，然后相乘，最后相加。相乘和相加僅在區(qū)間m=0到m=N-1之間進(jìn)行。計(jì)算出n=0

到n=N-1（一個(gè)周期）的結(jié)果后，再將其周期延拓，得到周期卷積結(jié)果上述過程也可以用圖形來表示，見書P99頁，在此略過。周期卷積的計(jì)算5/14/202420數(shù)字信號(hào)處理陳鵬3299340兩個(gè)短周期序列的周期卷積也可以仿照線性卷積的手工計(jì)算方法，將其中一個(gè)序列只寫出一個(gè)周期，另一個(gè)序列寫出一個(gè)周期再加N-1

個(gè)值。然后按照整數(shù)運(yùn)算方法，取前面N

個(gè)數(shù)據(jù)作為結(jié)果，如下例所示。周期卷積的手工計(jì)