極限計(jì)算方法及例題

極限計(jì)算方法總結(jié)《高等數(shù)學(xué)》是理工科院校最重要的根底課之一，極限是《高等數(shù)學(xué)》的重要組成局部。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學(xué)員的學(xué)習(xí)帶來較大困難，而極限學(xué)的好壞直接關(guān)系到《高等數(shù)學(xué)》后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。下面先對(duì)極限概念和一些結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，然后通過例題給出求極限的各種方法，以便學(xué)員更好地掌握這局部知識(shí)。一、極限定義、運(yùn)算法那么和一些結(jié)果1．定義：〔各種類型的極限的嚴(yán)格定義參見《高等數(shù)學(xué)》函授教材，這里不一一表達(dá)〕。說明：〔1〕一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限〔極限值可以觀察得到〕都可以用上面的極限嚴(yán)格定義證明，例如：；；；等等〔2〕在后面求極限時(shí)，〔1〕中提到的簡單極限作為結(jié)果直接運(yùn)用，而不需再用極限嚴(yán)格定義證明。2．極限運(yùn)算法那么定理1，都存在，極限值分別為A，B，那么下面極限都存在，且有〔1〕〔2〕〔3〕說明：極限號(hào)下面的極限過程是一致的；同時(shí)注意法那么成立的條件，當(dāng)條件不滿足時(shí)，不能用。3．兩個(gè)重要極限〔1〕〔2〕；說明：不僅要能夠運(yùn)用這兩個(gè)重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運(yùn)用它們的變形形式，作者簡介：靳一東，男，〔1964—〕，副教授。例如：，，；等等。4．等價(jià)無窮小定理2無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小〔即極限是0〕。定理3當(dāng)時(shí)，以下函數(shù)都是無窮小〔即極限是0〕，且相互等價(jià)，即有：～～～～～～。說明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成時(shí)〔〕，仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如：當(dāng)時(shí)，～；～。定理4如果函數(shù)都是時(shí)的無窮小，且～，～，那么當(dāng)存在時(shí)，也存在且等于，即=。5．洛比達(dá)法那么定理5假設(shè)當(dāng)自變量x趨近于某一定值〔或無窮大〕時(shí)，函數(shù)和滿足：〔1〕和的極限都是0或都是無窮大；〔2〕和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為0；〔3〕存在〔或是無窮大〕；那么極限也一定存在，且等于，即=。說明：定理5稱為洛比達(dá)法那么，用該法那么求極限時(shí)，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達(dá)法那么就不能應(yīng)用。特別要注意條件〔1〕是否滿足，即驗(yàn)證所求極限是否為“”型或“”型；條件〔2〕一般都滿足，而條件〔3〕那么在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達(dá)法那么可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。6．連續(xù)性定理6一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點(diǎn)處都連續(xù)，即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點(diǎn)，那么有。7．極限存在準(zhǔn)那么定理7〔準(zhǔn)那么1〕單調(diào)有界數(shù)列必有極限。定理8〔準(zhǔn)那么2〕為三個(gè)數(shù)列，且滿足：〔1〕〔2〕，那么極限一定存在，且極限值也是a，即。二、求極限方法舉例用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法那么求極限例1解：原式=。注：此題也可以用洛比達(dá)法那么。例2解：原式=。例3解：原式。利用函數(shù)的連續(xù)性〔定理6〕求極限例4解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)，所以原式=。利用兩個(gè)重要極限求極限例5解：原式=。注：此題也可以用洛比達(dá)法那么。例6解：原式=。例7解：原式=。利用定理2求極限例8解：原式=0〔定理2的結(jié)果〕。利用等價(jià)無窮小代換〔定理4〕求極限例9解：～，～，原式=。例10解：原式=。注：下面的解法是錯(cuò)誤的：原式=。正如下面例題解法錯(cuò)誤一樣：。例11解：，所以，原式=?！沧詈笠徊接玫蕉ɡ?〕利用洛比達(dá)法那么求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比擬復(fù)雜時(shí)，也可能用到前面的重要極限、等價(jià)無窮小代換等方法。同時(shí)，洛比達(dá)法那么還可以連續(xù)使用。例12〔例4〕解：原式=?！沧詈笠徊接玫搅酥匾獦O限〕例13解：原式=。例14解：原式==?！策B續(xù)用洛比達(dá)法那么，最后用重要極限〕例15解：例18解：錯(cuò)誤解法：原式=。正確解法：應(yīng)該注意，洛比達(dá)法那么并不是總可以用，如下例。例19解：易見：該極限是“”型，但用洛比達(dá)法那么后得到：，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：原式=〔分子、分母同時(shí)除以x〕=〔利用定理1和定理2〕利用極限存在準(zhǔn)那么求極限例20，求解：易證