大二輪高考總復(fù)習(xí)文數(shù)自檢16概率

自檢16：概率A組高考真題集中訓(xùn)練古典概型1．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)解析：從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D．答案：D2．(2016·全國(guó)丙卷)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是()A．eq\f(8,15) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,30)解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開(kāi)機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).答案：C3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱(chēng)這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,20)解析：從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).故選C．答案：C4．(2013·全國(guó)卷Ⅰ)從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)解析：從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12種情形，而滿足條件“2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4種情形，所以取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).答案：B5．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為_(kāi)_______．解析：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍(lán))，(藍(lán)，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共9種，他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種．故所求概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．(2013·全國(guó)卷Ⅱ)從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是________．解析：從五個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)數(shù)的可能結(jié)果有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(gè)，其中“和為5”的結(jié)果有(1,4)，(2,3)，共2個(gè)，故所求概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)幾何概型1．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(1,2) D．eq\f(π,4)解析：不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形＝4.由圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圓＝eq\f(π,2)，所以由幾何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故選B．答案：B2．(2016·全國(guó)甲卷)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為()A．eq\f(4n,m) B．eq\f(2n,m)C．eq\f(4m,n) D．eq\f(2m,n)解析：因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得eq\f(S扇形,S正方形)＝eq\f(m,n)，即eq\f(π,4)＝eq\f(m,n)，所以π＝eq\f(4m,n).答案：C3．(2016·全國(guó)乙卷)某公司的班車(chē)在7：30,8：00,8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)解析：如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘，而小明等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站，此兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).故選B．答案：B4．(2015·湖北高考)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥eq\f(1,2)”的概率，p2為事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”的概率，p3為事件“xy≤eq\f(1,2)”的概率，則()A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p3＜p1C．p3＜p1＜p2 D．p3＜p2＜p1解析：滿足條件的x，y構(gòu)成的點(diǎn)(x，y)在正方形OBCA及其邊界上．事件“x＋y≥eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖①所示的陰影部分；事件“|x－y|≤eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖②所示的陰影部分；事件“xy≤eq\f(1,2)”對(duì)應(yīng)的圖形為圖③所示的陰影部分．對(duì)三者的面積進(jìn)行比較，可得p2＜p3＜p1.答案：B5．(2015·重慶高考)在區(qū)間[0,5]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根的概率為_(kāi)_______．解析：∵方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)6．(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[－4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是________．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3]．如圖，區(qū)間[－4,5]的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5，∴P＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)B組高考對(duì)接限時(shí)訓(xùn)練(十六)(時(shí)間：35分鐘滿分70分)一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分．1．如圖所示，A是圓上一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn)A′，連接AA′，得到一條弦，則此弦的長(zhǎng)度小于或等于半徑長(zhǎng)度的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：當(dāng)AA′的長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度時(shí)，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′點(diǎn)在A點(diǎn)左右都可取得，故由幾何概型的概率計(jì)算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).答案：C2．在集合A＝{2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n，得到點(diǎn)P(m，n)，則點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,5)解析：點(diǎn)P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6種情況，只有(2,1)，(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部，所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：B3．(2017·江門(mén)一模)某ABCD－A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為2的正方體，AC1、BD1相交于O，在正方體內(nèi)(含正方體表面)隨機(jī)取一點(diǎn)M，OM≤1的概率pA．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(3,π) D．eq\f(2,π)解析：由題意可知總的基本事件為正方體內(nèi)的點(diǎn)，可用其體積23＝8，滿足OM≤1的基本事件為O為球心1為半徑的球內(nèi)部在正方體中的部分，其體積為V＝eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4,3)π，故概率P＝eq\f(\f(4,3)π,8)＝eq\f(π,6).故選A．答案：A4．(2017·莆田一模)從區(qū)間(0,1)中任取兩個(gè)數(shù)，作為直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)，則所得的兩個(gè)數(shù)使得斜邊長(zhǎng)不大于1的概率是()A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)解析：設(shè)兩個(gè)直角邊長(zhǎng)為a，b，則由條件可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1,0＜b＜1))，則斜邊長(zhǎng)不大于1的事件為，a2＋b2≤1，則由幾何概型的概率可知所求的概率P＝eq\f(\f(1,4)π·12,1×1)＝eq\f(π,4)，故選B．答案：B5．袋子中裝有大小相同的5個(gè)小球，分別有2個(gè)紅球、3個(gè)白球．現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2個(gè)小球，則這2個(gè)小球中既有紅球也有白球的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(7,10)C．eq\f(4,5) D．eq\f(3,5)解析：設(shè)2個(gè)紅球分別為a，b,3個(gè)白球分別為A，B，C，從中隨機(jī)抽取2個(gè)，則有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10個(gè)基本事件，其中既有紅球也有白球的基本事件有6個(gè)，則所求概率為P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：D6．(2017·寧德一模)若在區(qū)間[0，e]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則代表數(shù)x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于eq\f(e,3)的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,5)解析：∵區(qū)間[0，e]的長(zhǎng)度為e－0＝e，x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于eq\f(e,3)，長(zhǎng)度為eq\f(e,3)，∴在區(qū)間[0，e]內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則代表數(shù)x的點(diǎn)到區(qū)間兩端點(diǎn)距離均大于eq\f(e,3)的概率為P＝eq\f(1,3)，故選C．答案：C7．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足a·b＞0的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)解析：設(shè)(x，y)表示一個(gè)基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36個(gè)．a(chǎn)·b＞0，即x－2y＞0，滿足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6個(gè)，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).故選D．答案：D8．已知A(2,1)，B(1，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))，動(dòng)點(diǎn)P(a，b)滿足0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤2，且0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤2，則點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離大于eq\f(1,4)的概率為()A．1－eq\f(5,64)π B．eq\f(5,64)πC．1－eq\f(π,16) D．eq\f(π,16)解析：∵eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－2b，又0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤2，且0≤eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≤2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2a＋b≤2，,0≤a－2b≤2))表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，點(diǎn)C在陰影區(qū)域內(nèi)到各邊界的距離大于eq\f(1,4).又|OM|＝eq\f(2\r(5),5)，∴所求概率P＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2－π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝1－eq\f(5,64)π.答案：A9．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A．eq\f(7,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,3)解析：對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：D10．(2017·商丘模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)解析：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M是BC邊的中點(diǎn)，因?yàn)閑q\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，所以點(diǎn)P是中線AM的中點(diǎn)，所以黃豆落在△PBC內(nèi)的概率P＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2)，故選C．答案：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．共20分．11．(2016·四川高考)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________．解析：從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則(a，b)的所有可能結(jié)果為(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12種取法，其中l(wèi)ogab為整數(shù)的有(2,8)，(3,9)兩種，故P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)12．在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好落在第二象限的概率為_(kāi)______