專題26拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見考法歸類（原卷版）

專題26拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程5種常見考法歸類1、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：（1）定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M；一個(gè)定點(diǎn)F(拋物線的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個(gè)定值(點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離之比等于1)．（2）在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)點(diǎn)F”，點(diǎn)的軌跡不一定是拋物線，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F，且垂直于定直線l的一條直線；l不經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)的軌跡是拋物線．2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注：（1）四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．（2）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的作用參數(shù)p稱為焦準(zhǔn)距或焦參數(shù)，是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．p確定了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（3）如何記憶拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程？①方程特點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸上，x是一次項(xiàng)，y是平方項(xiàng)；焦點(diǎn)在y軸上，y是一次項(xiàng)，x是平方項(xiàng)．②一次項(xiàng)表明焦點(diǎn)所在軸，它的符號(hào)表明開口方向，有如下口訣：焦點(diǎn)軸一次項(xiàng)，符號(hào)確定開口向；若y是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向下正向上；若x是一次項(xiàng)，負(fù)時(shí)向左正向右．（4）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)與二次函數(shù)y＝ax2(a>0)區(qū)別：y2＝2px(p>0)與y＝ax2(a>0)對(duì)應(yīng)的圖形都是拋物線形，但開口方向和對(duì)稱軸都不一樣．y2＝2px(p>0)：焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，對(duì)稱軸為x軸，開口向右；y＝ax2(a>0)，即x2＝eq\f(1,a)y，焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4a)))，對(duì)稱軸為y軸，開口向上．3、拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．4、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵：確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，進(jìn)而求方程的有關(guān)參數(shù)．(2)方法：①直接法，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡(jiǎn)方程；②直接根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程；③利用待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，找有關(guān)的方程(組)求系數(shù)，其一般步驟為：5、求解拋物線實(shí)際應(yīng)用題的步驟：6、圓錐曲線的共性探究動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為一個(gè)常數(shù)，即eq\f(|MF|,|MA|)＝e.(1)當(dāng)0＜e＜1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓；(2)當(dāng)e＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是拋物線；(3)當(dāng)e＞1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線．此時(shí)定點(diǎn)F為圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線l叫做圓錐曲線對(duì)應(yīng)該焦點(diǎn)F的一條準(zhǔn)線x＝eq\f(a2,c)，常數(shù)e就是該圓錐曲線的離心率，此結(jié)論稱為圓錐曲線的統(tǒng)一定義(也稱為第二定義)．考點(diǎn)一拋物線定義及應(yīng)用考點(diǎn)二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)三求拋物線的方程求參數(shù)考點(diǎn)四拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)五求拋物線的軌跡方程考點(diǎn)一拋物線定義及應(yīng)用1．（2023春·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面上，一動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離與它到一定直線的距離之比為1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．拋物線 B．直線C．拋物線或直線 D．以上結(jié)論均不正確2．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是．3．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，則與點(diǎn)距離的最小值為．4．【多選】（2023秋·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（F是的焦點(diǎn)），則（

）A．的最小值為 B．最小值為C．最小值為 D．最小值為5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若點(diǎn)A為拋物線任意一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.7．（2023秋·廣東廣州·高三廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的最小值是．8．（2023秋·陜西延安·高二?？计谀┮阎c(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為．10．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若位于軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)到的距離比它到軸的距離大，點(diǎn)，求的最小值，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，求點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到x軸的距離之和的最小值.12．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（1）設(shè)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).①求點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值；②若，求的最小值.（2）已知拋物線，A點(diǎn)的坐標(biāo)為.求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離.考點(diǎn)二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程13．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）焦點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．14．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線上；(4)焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.15．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn).求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.16．（2023秋·全國(guó)·高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．或C． D．或17．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）已知拋物線對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為4，則該拋物線的方程為．考點(diǎn)三求拋物線的方程求參數(shù)19．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）.A． B． C．2 D．420．（2003·江蘇·高考真題）拋物線的準(zhǔn)線方程是，則（

）A． B． C． D．21．（2023春·云南昭通·高二?？计谥校┰O(shè)第四象限的點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，若，則（

）A．4 B． C． D．3222．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，正好與拋物線重合，則（

）A． B． C．2 D．223．（2023秋·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，曲線與交于點(diǎn)，軸，則.24．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是焦點(diǎn)為F的拋物線C：（）上一點(diǎn)，，，則（

）A．1 B． C．2 D．325．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，過作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的焦點(diǎn)．若，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則.考點(diǎn)四拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用26．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）清代青花瓷蓋碗是中國(guó)傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤(rùn)”“淡遠(yuǎn)”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計(jì)）（

）A． B． C． D．27．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示.衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m.(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)為了增強(qiáng)衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時(shí)衛(wèi)星波束反射聚集點(diǎn)的坐標(biāo).28．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，探照燈反射鏡由拋物線的一部分繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣可以保證發(fā)出的光線經(jīng)過反射之后平行射出.已知燈口圓的直徑為60cm，燈的深度為40cm.(1)將反射鏡的旋轉(zhuǎn)軸與鏡面的交點(diǎn)稱為反射鏡的頂點(diǎn).光源應(yīng)安置在旋轉(zhuǎn)軸上與頂點(diǎn)相距多遠(yuǎn)的地方？(2)為了使反射的光更亮，增大反射鏡的面積，將燈口圓的直徑增大到66cm，并且保持光源與頂點(diǎn)的距離不變.求探照燈的深度.29．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為0.7m，若行車道總寬度為7.2m，則車輛通過隧道時(shí)的限制高度為m.30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，某大橋中央橋孔的跨度為20m，拱頂呈拋物線形，拱頂距水面10m，橋墩高出水面4m.現(xiàn)有一貨輪欲通過此孔，該貨輪水下寬度不超過18m.目前吃水線上部分中央船體高16m，寬16m.若不考慮水下深度，該貨輪在此狀況下能否通過橋孔？試說明理由.考點(diǎn)五求拋物線的軌跡方程31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到y(tǒng)軸的距離比到點(diǎn)（2，0）的距離小2，求點(diǎn)P的軌跡方程．32．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）一圓經(jīng)過點(diǎn)，且和直線相切，求圓心的軌跡方程，并畫出圖形.33．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到的距離比M到x軸的距離大2，求M的軌跡方程，并在平面直角坐標(biāo)系中作出軌跡曲線．34．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線l平行于y軸，且l與x軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)A在直線l上，動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與A的縱坐標(biāo)相同，且，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡方程的形狀．35．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，，連接PA并延長(zhǎng)至Q，使得，求動(dòng)點(diǎn)Q的