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第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系.2.掌握余弦定理及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用.活動(dòng)方案活動(dòng)一探索余弦定理思考1???在△ABC中,三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,怎樣用a,b和C表示c?【解析】
三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍,即a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.結(jié)論:余弦定理:思考2???余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系.應(yīng)用余弦定理,我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問(wèn)題,怎么確定呢?【解析】
如果△ABC中有一個(gè)角是直角,例如,C=90°,這時(shí)cosC=0.由余弦定理可得c2=a2+b2,這就是勾股定理.由此可見(jiàn),余弦定理是勾股定理的推廣,而勾股定理是余弦定理的特例.思考3???勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系,余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系.你能說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎?活動(dòng)二掌握余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用一般地,三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫作三角形的元素,已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫作解三角形.例
1在△ABC中,根據(jù)下列條件解三角形.(1)已知b=3,c=1,A=60°,求a;如果三角形中已知兩邊及夾角,或已知三邊,求其他邊或角時(shí),常常使用余弦定理解決.(1)在△ABC中,b2+c2=a2+bc,求A;(2)在△ABC中,A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.在認(rèn)清余弦定理的特征,求邊和角時(shí),要放在恰當(dāng)?shù)娜切沃薪鉀Q.在△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足b2=a2+c2-ac.(1)求角B的大?。?2)若a+c=4,求b的最小值.(2)因?yàn)閍+c=4,所以c=4-a,則0<a<4,所以b2=a2+c2-ac=a2+(4-a)2-a(4-a)=3a2-12a+16=3(a-2)2+4.當(dāng)a=2時(shí),b2有最小值為4,所以b的最小值為2.檢測(cè)反饋24513【答案】B245132.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,則角A的大小為(
)A.60° B.45°C.120°
D.30°【答案】C24531245
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