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文檔簡介
四川省自貢市富順縣二中2023-2024學(xué)年高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.162.設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.3.將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長度與向左平移(>0)個(gè)單位長度,若所得到的兩個(gè)圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.4.函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A. B.C. D.5.在中,,分別為,的中點(diǎn),為上的任一點(diǎn),實(shí)數(shù),滿足,設(shè)、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時(shí),的值為()A.-1 B.1 C. D.6.是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知,是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則的最小值為()A. B. C.8 D.68.已知實(shí)數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn),過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn),若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.11.已知正四面體的棱長為,是該正四面體外接球球心,且,,則()A. B.C. D.12.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,點(diǎn)在邊上,且,設(shè),,則________(用,表示)14.已知定義在的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則的解集為__________________.15.設(shè),分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則_________16.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為,且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.(1)求橢圓的方程;(2)若圓上存在兩點(diǎn),,橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足:三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的取值范圍.18.(12分)某商店舉行促銷反饋活動(dòng),顧客購物每滿200元,有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)(即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次,滿400元可以抽獎(jiǎng)兩次,依次類推).抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下:在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號(hào)一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金40元;若摸得的小球編號(hào)一次比一次?。ㄈ?,3,1),則獲得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金20元;其余情況獲得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金10元.(1)某人抽獎(jiǎng)一次,求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.19.(12分)百年大計(jì),教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召,不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度,為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.(其中表示通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù),表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù))年份(屆)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通過畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(保留兩位有效數(shù)字)(2)若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人,預(yù)測2019年高考該??既嗣5娜藬?shù);(3)若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳,在選取的5個(gè)人中再選取2人進(jìn)行演講,求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式:,參考數(shù)據(jù):,,,20.(12分)已知函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)若對,恒成立,求的取值范圍.21.(12分)2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中,居民生活垃圾分類逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí),面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì),通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:(i)得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于則只有1次:(ii)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)概率如下:贈(zèng)送話費(fèi)(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi),求X的分布列.附:,若,則,.22.(10分)已知中,,,是上一點(diǎn).(1)若,求的長;(2)若,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.2、C【解析】
根據(jù)表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系,求出離心率.【詳解】設(shè),則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法,通過幾何關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)系,得到離心率.屬于中檔題.3、B【解析】
首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長度后,所得的兩個(gè)圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當(dāng)時(shí),最小值為,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系,屬于簡單題目.4、B【解析】
根據(jù)定義域排除,求出的值,可以排除,考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?,所以不合題意;選項(xiàng),計(jì)算,不符合函數(shù)圖象;對于選項(xiàng),與函數(shù)圖象不一致;選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式,主要利用函數(shù)性質(zhì)分析,常見方法為排除法.5、D【解析】
根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結(jié)合基本不等式求最值,得到當(dāng)取到最大值時(shí),為的中點(diǎn),再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示:因?yàn)槭恰鞯闹形痪€,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即為的中點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.6、D【解析】
求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,該點(diǎn)位于第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡,結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的半實(shí)軸長為,半焦距為,則,,設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得:,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式,屬于中等題.8、D【解析】
根據(jù)題意,對于函數(shù)分2段分析:當(dāng),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①,當(dāng),由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在上恒成立,變形可得②,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分析可得③,聯(lián)立三個(gè)式子,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng),若為增函數(shù),則①,
當(dāng),若為增函數(shù),必有在上恒成立,
變形可得:,
又由,可得在上單調(diào)遞減,則,
若在上恒成立,則有②,
若函數(shù)在上單調(diào)遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③
聯(lián)立①②③可得:.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).9、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x,不妨設(shè)過點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=(x﹣c),與y=﹣x聯(lián)立,可得交點(diǎn)M(,﹣),∵點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外,∴|OM|>|OF1|,即有+>c1,∴>3,即b1>3a1,∴c1﹣a1>3a1,即c>1a.則e=>1.∴雙曲線離心率的取值范圍是(1,+∞).故選:A.點(diǎn)睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式,建立關(guān)于a,b,c的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.10、B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.11、A【解析】
如圖設(shè)平面,球心在上,根據(jù)正四面體的性質(zhì)可得,根據(jù)平面向量的加法的幾何意義,重心的性質(zhì),結(jié)合已知求出的值.【詳解】如圖設(shè)平面,球心在上,由正四面體的性質(zhì)可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因?yàn)闉橹匦?,因此,則,因此,因此,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了正四面體的性質(zhì),考查了平面向量加法的幾何意義,考查了重心的性質(zhì),屬于中檔題.12、B【解析】
由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點(diǎn),使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn),然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
結(jié)合圖形及向量的線性運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為用向量表示,即可得到結(jié)果.【詳解】在中,因?yàn)椋?,又因?yàn)?,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是利用已知向量為基底,將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化.14、【解析】
由已知得出函數(shù)是偶函數(shù),再得出函數(shù)的單調(diào)性,得出所解不等式的等價(jià)的不等式,可得解集.【詳解】因?yàn)槎x在的函數(shù)滿足,所以函數(shù)是偶函數(shù),又當(dāng)時(shí),,得時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以不等式等價(jià)于,即或,解得或,所以不等式的解集為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解,關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,屬于中檔題.15、1【解析】
令,結(jié)合函數(shù)的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,令,可得,所以.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性,合理賦值求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
對函數(shù)求導(dǎo),得出在處的一階導(dǎo)數(shù)值,即得出所求切線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.【詳解】令,,所以,又,所求切線方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程,關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)又題意知,,及即可求得,從而得橢圓方程.(2)分三種情況:直線斜率不存在時(shí),的斜率為0時(shí),的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)出直線方程,聯(lián)立方程組,用韋達(dá)定理和弦長公式以及四邊形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】(1)由焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直及橢圓的對稱性可知,,∵過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.又,解得.∴橢圓的方程為(2)由(1)可知圓的方程為,(i)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線的斜率為0,此時(shí)(ii)當(dāng)直線的斜率為零時(shí),.(iii)當(dāng)直線的斜率存在且不等于零時(shí),設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得,設(shè)的橫坐標(biāo)分別為,則.所以,(注:的長度也可以用點(diǎn)到直線的距離和勾股定理計(jì)算.)由可得直線的方程為,聯(lián)立橢圓的方程消去,得設(shè)的橫坐標(biāo)為,則..綜上,由(i)(ii)(ⅲ)得的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目,通常利用的關(guān)系,確定橢圓方程是基礎(chǔ);通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程建立方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù),得到目標(biāo)函數(shù)解析式,運(yùn)用函數(shù)知識(shí)求解;本題是難題.18、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元,可能是三次二等獎(jiǎng),也可能是一次一等獎(jiǎng),兩次三等獎(jiǎng),然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機(jī)變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),設(shè)恰好獲得60元為事件A,因?yàn)?0=20×3=40+10+10,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應(yīng)的概率,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).19、(1);(2)117人;(3)分布列見解析,【解析】
(1)首先求得和,再代入公式即可列方程,由此求得關(guān)于的線性回歸方程;(2)根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式,計(jì)算可得人數(shù);(3)和被選中的人數(shù)分別為2和3,利用超幾何分布分布列的計(jì)算公式,計(jì)算出的分布列,并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題,所以線性回歸方程為(若第一問求出.)(2)當(dāng)時(shí),所以預(yù)測2019年高考該??既朊5娜藬?shù)約為117人(3)由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3,進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0,1,2,,的分布列為012【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計(jì)算,考查回歸直線方程的計(jì)算,考查期望的計(jì)算,考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.20、(1)①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;(2).【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),,對討論,得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得原函數(shù)的單調(diào)性;(2)法一:由得,分別運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)(),的單調(diào)性,和其函數(shù)的最值,可得,可得的范圍;法二:由得,化為令(),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得的取值范圍.【詳解】(1)的定義域?yàn)?,,①?dāng)時(shí),由得,得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增;(2)法一:由得,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即
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