特色題型專練04 新定義（原卷版）（江蘇專用）

中考特色題型專練之新定義幾何篇題型一、與三角形結(jié)合1．問題背景定義：若兩個等腰三角形有公共底邊，且兩個頂角的和是，則稱這兩個三角形是關(guān)于這條底邊的互補三角形．如圖1，四邊形中，是一條對角線，，且，則與是關(guān)于的互補三角形．(1)初步思考：如圖2，在中，，D、E為外兩點，，為等邊三角形．則關(guān)于的互補三角形是______，并說明理由．(2)實踐應(yīng)用：如圖3，在長方形中，．點E在邊上，點F在邊上，若與是關(guān)于互補三角形，試求的長．(3)思維探究：如圖4，在長方形中，．點E是線段上的動點，點P是平面內(nèi)一點，與是關(guān)于的互補三角形，直線與直線交于點F．在點E運動過程中，線段與線段的長度是否會相等？若相等，請直接寫出的長；若不相等，請說明理由．2．定義：用一條直線截三角形的兩邊，若所截得的四邊形對角互補，則稱該直線為三角形第三條邊的“幸福線”．如圖1，為的截線，截得四邊形，若，則稱為邊的“幸福線”．(1)已知為邊的“幸福線”，，，，求的長；(2)如圖2，若內(nèi)接于，為弧的中點，、分別為、邊的“幸福線"，求證：；(3)在（2）的條件下，若，，如圖3過點作的“幸福線”交于點，當(dāng)四邊形面積最大時，求的正切值．3．【概念認識】定義：如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．當(dāng)這個點是直角的頂點時，這個點又稱為強勾股點．如圖①，在中，，是，兩點的勾股點，是，兩點的勾股點，是，兩點的勾股點，也是強勾股點．【概念運用】（1）如圖②，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，，兩點均在格點上，線段上的8個格點中，是，兩點的勾股點的有個．（2）如圖③，在中，，垂足為，若，，．求證：是，兩點的強勾股點．【拓展提升】（3）如圖④，在中，，，，是的中點，是射線上一個動點，當(dāng)是任意兩個頂點的強勾股點時，直接寫出的長．題型二、與四邊形結(jié)合1．在平面直角坐標系中，將中心為的正方形記作正方形，對于正方形和點（不與重合）給出如下定義：若正方形的邊上存在點，使得直線與以為半徑的相切于點，則稱點為正方形的“伴隨切點”．(1)如圖，正方形T的頂點分別為點O，．①在點中，正方形的“伴隨切點”是_______；②若直線上存在正方形的“伴隨切點”，求b的取值范圍；(2)已知點，正方形的邊長為．若存在正方形的兩個“伴隨切點”，，使得為等邊三角形，直接寫出的取值范圍．2．定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

【概念理解】如圖②，在四邊形中，如果，，那么四邊形是垂美四邊形嗎？請說明理由．【性質(zhì)探究】如圖①，垂美四邊形兩組對邊與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明．【問題解決】如圖③，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接．若，，則直接寫出的值．3．對于平面直角坐標系中的點P和矩形M．給出如下定義：若矩形M各邊分別與坐標軸平行，且在矩形M上存在一點Q，使得P、Q兩點間距離小于1，則稱P為矩形M的“近距點”．

(1)如圖，若矩形對角線交點與坐標原點O重合，且頂點．①在點中，矩形的“近距點”是______；②點P在直線上，若P為矩形的“近距點”，求點P橫坐標m的取值范圍；(2)將（1）中的矩形沿著x軸平移得到矩形，矩形對角線交點為，直線與x軸、y軸分別交于點E、F．若線段上的所有點都是矩形的“近距點”，真接寫出n的取值范圍．題型三、與圓結(jié)合1．在平面直角坐標系xOy中，對于點，給出如下定義：當(dāng)點滿足時，稱點Q是點P的等和點．已知點．

備用圖(1)在，，中，點P的等和點有________；(2)點A在直線上，若點P的等和點也是點A的等和點，求點A的坐標；(3)已知點和線段MN，對于所有滿足的點C，線段MN上總存在線段PC上每個點的等和點．若MN的最小值為5，直接寫出b的值．2．對于平面直角坐標系中的圖形M，N和點P．給出如下定義：如果圖形M，N上分別存在點E，F(xiàn)，使得點E，F(xiàn)關(guān)于點P中心對稱，那么稱點P為圖形M，N的關(guān)聯(lián)點．特別地，當(dāng)E，P，F(xiàn)三點重合時，點P也為其關(guān)聯(lián)點．已知點，．(1)在點，，中，點C的坐標為______時，點O為線段，點C的關(guān)聯(lián)點；(2)的圓心為，半徑為1．若點O為，線段的關(guān)聯(lián)點，求d的取值范圍；(3)的半徑為3，若點為，線段的關(guān)聯(lián)點，直接寫出t的取值范圍．3．定義：在平面直角坐標系中，對于內(nèi)的一點，若在外存在點，使得，則稱點為的“內(nèi)二分點”．(1)當(dāng)?shù)陌霃綖闀r，①在，，，四個點中，是的“內(nèi)二分點”的是；②已知一次函數(shù)在第一象限的圖像上的所有的點都是的“內(nèi)二分點”，求的取值范圍；(2)已知點，，，的半徑為，若線段上存在的“內(nèi)二分點”，直接寫出的取值范圍．題型四、與相似結(jié)合1．定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的乘積等于這個點到這邊所對頂點連線段的平方，則稱這個點為這個三角形該邊的“好點”．如圖1，在中，點D是邊上的一點，連接，若，則稱點D是中邊的“好點”．(1)如圖1，在中，，若點D是邊的“好點”，且，則線段的長是______；(2)如圖2，是的外接圓，點E在邊上，連接并延長，交于點D，連接、、，若點E是中邊的“好點”，，求證：是的直徑；(3)在（2）的條件下，點P是上一點，連接交于點Q，連接、，若，，，求的長．2．定義：若三角形有兩個內(nèi)角的差為90°，則這樣的三角形叫做“準直角三角形”．(1)若是“準直角三角形”，，，則___________°；(2)如圖1，中，，，．若D是AC上的一點，，請判斷是否為準直角三角形，并說明理由；(3)如圖2，在四邊形中，，，，，且是“準直角三角形“，求的面積．3．定義：若一個圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為圓美四邊形．（1）請你寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是圓美四邊形的圖形的名稱__________；（2）如圖1，在等腰中，，經(jīng)過點A、B的⊙O交邊于點D，交于點E，連結(jié)．若四邊形為圓美四邊形，求的值；（3）如圖2，在中，經(jīng)過A、B的⊙O交邊于點D，交于點E，連結(jié)，交于點F．若在四邊形的內(nèi)部存在一點P．使得，連結(jié)交于點G，連結(jié)，若，．①求證：四邊形為圓美四邊形；②若，，，求的最小值．題型五、與三角函數(shù)結(jié)合1．定義：若一個圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為圓美四邊形．(1)請在特殊四邊形中找出一個圓美四邊形，該四邊形的名稱是；(2)如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，經(jīng)過點A、B的⊙O交AC邊于點D，交BC于點E，連接DE，若四邊形ABED為圓美四邊形，則的值是(3)如圖2，在△ABC中，經(jīng)過點A、B的⊙O交AC邊于點D，交BC于點E，連接AE、BD交于點F，若在四邊形ABED的內(nèi)部存在一點P，使得∠PBC=∠ADP=α，連接PE交BD于點G，連接PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．①試說明：四邊形ABED為圓美四邊形；②若，，，求DE的最小值．2．定義：如果一個三角形中有兩個內(nèi)角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝度；（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，①求證：△BDC是“近直角三角形”；②在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D為AC邊上一點，以BD為直徑的圓交BC于點E，連結(jié)AE交BD于點F，若△BCD為“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．3．定義：在一個三角形中，若存在兩條邊x和y，使得y＝x2，則稱此三角形為“平方三角形”，x稱為平方邊．（1）“若等邊三角形為平方三角形，則面積為是命題；“有一個角為30°且有一條直角邊為2的直角三角形是平方三角形”是命題；（填“真”或“假”）（2）若a，b，c是平方三角形的三條邊，平方邊a＝2，若三角形中存在一個角為60°，求c的值；（3）如圖，在△ABC中，D是BC上一點．①若∠CAD＝∠B，CD＝1，求證，△ABC是平方三角形；②若∠C＝90°，BD＝1，AC＝m，CD＝n，求tan∠DAB．（用含m，n的代數(shù)式表示）代數(shù)篇題型一、與代數(shù)式結(jié)合1．我們定義：一個整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為，所以5是“完美數(shù)”．[解決問題](1)已知29是“完美數(shù)”，請將它寫成（a、b是整數(shù)）的形式______；(2)若可配方成（m、n為常數(shù)），則______；[探究問題](3)已知，則______；(4)已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由．[拓展結(jié)論](5)已知實數(shù)x、y滿足，求的最值．2．閱讀下列兩份材料，理解其含義并解決下列問題：【閱讀材料1】如果兩個正數(shù)a，b，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮栴}的有力工具．【實例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，式子有最小值，最小值為4．【閱讀材料2】我們知道，分子比分母小的分數(shù)叫做“真分數(shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數(shù)，叫做“假分數(shù)”．類似的，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．【實例剖析2】如：，這樣的分式就是假分式；如：，這樣的分式就是真分式，假分數(shù)可以化成（即）帶分數(shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式．如：；．【學(xué)以致用】根據(jù)上面兩份材料回答下列問題：(1)已知，則當(dāng)__________時，式子取到最小值，最小值為__________；(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化為帶分式形式__________；如果分式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的值有__________個；(3)用籬笆圍一個面積為的矩形花園，問這個矩形的兩鄰邊長各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？(4)已知，當(dāng)x取何值時，分式取到最大值，最大值為多少？3．定義：對任意一個兩位數(shù)，如果滿足個位數(shù)字比十位數(shù)字大，那么稱這個兩位數(shù)為“慧泉數(shù)”將一個“慧泉數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與的商記為．例如：，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字后得到新的兩位數(shù)為，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，其和與的商為：，所以．根據(jù)以上定義，回答下列問題：(1)______；(2)若，求；(3)如果一個“慧泉數(shù)”的十位數(shù)字是，另一個“慧泉數(shù)”的個位數(shù)字是，且滿足，求、的值．題型二、與方程結(jié)合1．定義：關(guān)于x的方程與方程（a，b均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對方程”，例如：方程與方程互為“反對方程”．(1)若關(guān)于x的方程與方程互為“反對方程”，則_________．(2)若關(guān)于x的方程與其“反對方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)d的值．(3)已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解為__________．（請直接寫出答案）2．定義：若關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根為，則把分別以為橫坐標和縱坐標得到的點，稱為該一元二次方程的“友好點”．(1)若方程為，則該方程的“友好點”P的坐標為．(2)若關(guān)于x的一元二次方程的“友好點”為P，過點P向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標軸恰好圍成一個正方形，求m的值．(3)是否存在b，c，使得不論為何值，關(guān)于x的方程的“友好點”P始終在函數(shù)的圖象上，若有，請求出b，c的值；若沒有，請說明理由．3．我們定義：形如（m，n不為零），且兩個解分別為，的方程稱為“十字分式方程”．例如為十字分式方程，可化為，∴，．再如為十字分式方程，可化為．∴，．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：(1)若為十字分式方程，則______，______．(2)若十字分式方程的兩個解分別為，，求的值．(3)若關(guān)于x的十字分式方程的兩個解分別為，（，），求的值．題型三、與不等式結(jié)合1．現(xiàn)對x，y定義一種新的運算：，(其中均不為0)，舉例：．(1)若；①求的值．②若關(guān)于的不等式組恰好有2個整數(shù)解，求的取值范圍．(2)若對任意實數(shù)都成立，則應(yīng)滿足什么樣的關(guān)系式？2．深化理解：新定義：對非負實數(shù)“四舍五入”到個位的值記為，即：當(dāng)為非負整數(shù)時，如果，則；反之，當(dāng)為非負整數(shù)時，如果，則．例如：，，，，…試解決下列問題：(1)填空：①________，________（為圓周率），________；②如果，求實數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解恰有4個，求的取值范圍；(3)求滿足的所有非負實數(shù)的值．3．我們定義：使方程（組）與不等式（組）同時成立的未知數(shù)的值稱為此方程（組）和不等式（組）的“夢想解”．例：已知方程與不等式，方程的解為，使得不等式也成立，則稱“”為方程和不等式的“夢想解”(1)已知①，②，③，試判斷方程解是否為它與它們中某個不等式的“夢想解”；(2)若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是不等式組的夢想解，且m為整數(shù)，求m的值．(3)若關(guān)于x的方程的解是關(guān)于x的不等式組的“夢想解”，且此時不等式組有7個整數(shù)解，試求m的取值范圍．函數(shù)篇題型一、與一次函數(shù)結(jié)合1．在平面直角坐標系中，已知點．對于點給出如下定義：若點關(guān)于直線的對稱點為點，點與點關(guān)于直線對稱，則稱點是點關(guān)于點的“對應(yīng)點”．

(1)已知點，點，點是點關(guān)于點的“對應(yīng)點”，①如圖1，當(dāng)時，點的坐標為______；②若的長度不超過4，求的取值范圍；(2)已知點在直線上，如圖2，直線與軸，軸分別交于點，對于線段上（包括端點）任意一點，若以1為半徑的上總存在一點，使得點關(guān)于點的“對應(yīng)點”在軸的負半軸上，直接寫出符合條件的的值．2．在平面直角坐標系中，對于線段，直線l和圖形W給出如下定義：線段關(guān)于直線l的對稱線段為分別是M，N的對應(yīng)點），若與均在圖形W內(nèi)部（包括邊界），則稱圖形W為線段關(guān)于直線l的“對稱封閉圖形”．如圖，點．概念理解：(1)線段關(guān)于y軸的對稱線段點坐標是______；(2)已知圖形：以線段為邊的等邊三角形，：以O(shè)為對角線交點且邊長為2的正方形，在中，線段關(guān)于y軸的“對稱封閉圖形”是______；應(yīng)用拓展：(3)以O(shè)為對角線交點的正方形的邊長為4，各邊與坐標軸平行，若正方形是線段關(guān)于直線的“對稱封閉圖形”，求b的取值范圍．3．結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的“距離”我們知道：點到直線的“距離”是直線外一點和直線上各點連接的所有線段中最短的線段（即垂線段）的長度．類似的我們給出兩個圖形M、N的“距離”定義：如果點P為圖形M上的任意一點，點Q為圖形N上的任意一點，且P、Q兩點的“距離”有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N的“距離”，記為特別地，當(dāng)圖形M，N有公共點時，圖形M，N的“距離”．

(1)如圖1，在平面直角坐標系中，，若，，，則_________，_________；(2)如圖2，已知的三個頂點的坐標分別為，，，將一次函數(shù)的圖象記為L．①若，且，求k的值；②若，求k的取值范圍．題型二、與反比例函數(shù)結(jié)合1．在平面直角坐標系中，定義：橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點為整點．如圖，已知雙曲線經(jīng)過點，在第一象限內(nèi)存在一點，滿足．(1)求的值；(2)如圖，過點分別作平行于軸，軸的直線于點、，記線段、、雙曲線所圍成的區(qū)域為（含邊界），當(dāng)時，區(qū)域的整點個數(shù)為；直線過一個定點，若點為此定點，直線上方（不包含直線）的區(qū)域記為，直線下方（不包含直線）的區(qū)域記為，當(dāng)與的整點個數(shù)之差不超過時，請求出的取值范圍．2．中國象棋棋盤上雙方的分界處也稱為“楚河漢界”，以“楚河漢界”比喻軍對壘的分界線，數(shù)學(xué)中為了對兩個圖形進行分界，在平面直角坐標系中，對“楚河漢界線”給出如下定義：點P是圖形上的任意一點，點Q是圖形上的任意一點，若存在直線L：滿足且，則稱直線L：是圖形與的“楚河漢界線”．