保險(xiǎn)精算學(xué)-利息理論基礎(chǔ)

本課程研究以單個被保險(xiǎn)人為承保對

象

，

以

被

保

險(xiǎn)

人

的生

、

死為

保

險(xiǎn)

事

故

的

單

個

被

保

險(xiǎn)

人

型人

身

保

險(xiǎn)的

精

算

方

法

。人

身

保

險(xiǎn)

精

算□

基礎(chǔ)■

利息理論基礎(chǔ)

生命表基礎(chǔ)口

核

心■

保

費(fèi)

計(jì)

算責(zé)

任

準(zhǔn)

備

金

計(jì)

算口

拓

展i

特

殊

年

金

與

壽

險(xiǎn)資

產(chǎn)

份

額課程結(jié)構(gòu)●

利息的度量●

利息問題求解的原則

●

年金●

收益率第

1

章

利

息

理

論

基

礎(chǔ)第

一

節(jié)利

息

的

度

量口

定

義

1利息產(chǎn)生在資金的所有者和使用者不統(tǒng)一的場

合，它的實(shí)質(zhì)是資金的使用者付給資金所有者

的租金，用以補(bǔ)償所有者在資金租借期內(nèi)不能

支配該筆資金而蒙受的損失。一、利息的定義口

定

義

2

:本金：每項(xiàng)業(yè)務(wù)開始時投資的金額。終值：業(yè)務(wù)開始一定時間后回收到的總金額稱為

該時刻的終值(或累計(jì)值)。利息：累計(jì)值與本金的差額就是這一時期的利息

金

額

。終值

=本

金

+

利

息A

=S

+I口影響利息大小的三要素：本

金

金

額利

率投

資

時

間二

、

利

息

的

度

量口

按

照

計(jì)

息時

刻

劃

分

：1.

期

末

計(jì)

息

：

利

率2.

期初計(jì)息：貼現(xiàn)率按

照

積

累

方

式

劃

分1.

線

性

積

累

(

1

)

單

利

計(jì)

息

(

2

)

單

貼

現(xiàn)

計(jì)

息2.

指

數(shù)

積

累

(

1

)

復(fù)

利

計(jì)

息

(

2

)

復(fù)

貼

現(xiàn)

計(jì)

息□按照利息轉(zhuǎn)換頻率劃分1.

一年轉(zhuǎn)換一次：實(shí)質(zhì)利率(實(shí)質(zhì)貼現(xiàn)率)2.

一

年

轉(zhuǎn)

換

m

次

：

名

義

利

率

(

名

義

貼

現(xiàn)

率

)

3.

連續(xù)計(jì)息(一年轉(zhuǎn)換無窮次)

:利息效力二

、

利

息

的

度

量三、

利息理論基礎(chǔ)本

金

：

每

項(xiàng)

業(yè)

務(wù)

開

始

時

投

資

的

金

額

。積

累

值

：

過

了

一

定

時

間

再

回

收

的

總

金

額

。利

息

：

積

累

值

減

去

本

金

。積

累

函

數(shù)：

在

時

刻

0

時

投

資

1

單

位

本

金在時

刻t

的

積

累

值

，

用

a(t)

表

示

；金

額

函

數(shù)

：在

時

刻

0

時

投

資

C

單位本

金在

時刻t時的積累值，用A(t)

表示。0

tA(t)=Ca(t)Z=

-a(t)(C--

-------A(■積累函數(shù)

a(t)■金額函數(shù)

A(t)終

值本

金積

累

函

數(shù)a(t)

的

性

質(zhì)

：

.

(t)是

t的連續(xù)函數(shù)；

4.若

a(0)=C,

則

A(t)=C

a(t).a(t)的

四

種

情

況

：1.線

性

金

額

函

數(shù)

；2.

非線性函數(shù)；3.水平的積累額函數(shù)；4.階梯上升的積累額函數(shù)。a；時，函數(shù)生增產(chǎn)遞續(xù)為連常1;321設(shè)

a(t)=at2+b,

且

A(O)=100,A(3)=370,求A(5)=

100

時

的

A(10).□

某

一

度

量

期

的

實(shí)

際

利

率，

是

指

該

度

量

期內(nèi)

得

到

的

利

息

金

額

與此

度

量

期

開

始

時

投

入

的

本

金

金

額

之

比。

實(shí)

際

利

率

通

常

用

字

母i

表

示

?？趯τ诙鄠€度量期的情形

，

可以分別定義各個度量期的實(shí)際

利率。用i

表示

從

投資日

算

起

第n個

度

量

期的

實(shí)際

利

率，

則口利息率

：

單位本金在單位時間內(nèi)所孳生的利息

。實(shí)際

利

率□

單

利

的

計(jì)

算

：只

有

本

金

計(jì)

息

，

利

息

不

計(jì)

息

的

計(jì)

息

方

式

。口

復(fù)利的計(jì)算：本

周

期

的

利

息

由

上

周

期

的本

利

和產(chǎn)

生

，

也就

是

利

息

也

將

產(chǎn)

生

利

息

。2.單利與復(fù)利(對多個利息周期而言))單利計(jì)算(利息不計(jì)

)累積函數(shù)

：a(t)=1+i?+i?+……+i?(2)復(fù)利計(jì)算(利息也計(jì)息)累積函數(shù)：a(t)=(1+i?)(1+i?)(1+i?)……(1+i)is息……1ii設(shè)

在

0

到t時

刻

，

利

率

河

以

變

動

，

如

第

一

個時

間

段

i=i?,

第二個時間段

i=i?

……如下圖所示：本金

1利率|i?

時間t

0工32●

●

●

●

●

●●●t-131t等

利

率

情

況

下單利累積函數(shù)：a(t)=1+i

t金額函數(shù)：A(t)=A(0)(1+it)=A(0)a(t)復(fù)利累積函數(shù)：a(t)=(1+i)金額函數(shù)：A(t)=A(0)(1+i)t=A(0)a(t)時

間

(

年

)各

年

實(shí)

際

利

率時

間

(

年

)各

年

實(shí)

際

利

率O-22%5-63%2-54%口本金1000元，6年投資如下，分別按單利和復(fù)

利

，

求

資

本

總

額

以

及

利

息

總

額

。例3.現(xiàn)

值(Present

Value單利與復(fù)利的現(xiàn)值(單個度量周期)已知：本金為1的投資在一個度量周期期末將會有

1+i積累值，1+i稱為累積因子。反之：為使一個度量周期期末的積累值為1,在期初

投

資

的

本

金

金

額

須

是

(

1

+i)-1,

把

(

1

+i)-1

稱為貼現(xiàn)因子，記為：

故有單利與復(fù)利的現(xiàn)值(多個度量周期)t年現(xiàn)值：我們把現(xiàn)在1單位元在t年前的值或者未來t年1單位元在現(xiàn)在的值稱為t年的現(xiàn)值。1單位本金經(jīng)過t年后成為

a()

那么

1單位累計(jì)值在t年前的值便為

a1lg)a(t)t累積值1/a(t)-t現(xiàn)值10本金復(fù)利下的現(xiàn)值和累計(jì)值單利下的現(xiàn)值和累計(jì)值金額時間-1

0

1

2

t金額時間(1+i)22(1+i)t嚴(yán)-2+-11+i1+-21011+ti11+i1+ti1+2i1+i-七-七十1■■■dt)A(t)------------1積

累

函

數(shù)

a(t)金

額

函

數(shù)A(t)貼現(xiàn)函數(shù)a-1(t)第n期利息I(n)0tI(n)=A(n)-A(n-1)終

值本

金a-1(t)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)0

如

果

應(yīng)

在

將

來

某

個

時

期

支

付

的

金

額

提

前

到

現(xiàn)

在

來

支

付

，

則

支

付

額

中

應(yīng)

扣

除

一

部

分

金

額

，

這

個

扣除額稱為貼現(xiàn)額。。它相當(dāng)于資金投資在期初的預(yù)付利息。貼

現(xiàn)

和

利

息

的

區(qū)

別

在

于

分

析

的

出

發(fā)

點(diǎn)

不

同

：利息是在本金基礎(chǔ)上的增加額

，

而貼現(xiàn)則是在累積

額

基

礎(chǔ)

上

的

減

少

。

它

相

當(dāng)

于

利

率

在

每

一

利

息

計(jì)

算

期

的

起

點(diǎn)

時

刻

被

記

入

。貼現(xiàn)額○某

人

以

年

利

率

5

%

向

銀

行

借

1

0

0

元

，

則

銀

行

將付給借款人100元。

1年后，該借款人將

還

給

銀

行

貸

款

本

金

1

0

0

元

，

外

加

5

元

的

利

息

，

共

計(jì)

1

0

5

元

。o

如

果

此

人

不

是

以

年

實(shí)

際

利

率

5

%

而

是

以

年

實(shí)

際

貼

現(xiàn)

率

5

%

向

銀

行

借

1

0

0

元

，

為

期

1

年

，

則

銀

行

將預(yù)收5%(即5元)的利息，而僅付給借款人95元

。

一

年

后

，

該

借

款

人

將

還

給

銀

行

1

0

0

元

。

單位

時

間

以

年

度

衡

量

時

，

稱

為

實(shí)

際

貼

現(xiàn)

率

。實(shí)際

貼

現(xiàn)

率

為

該

年內(nèi)

得

到

的

利

息

金

額

與

此

年

末

的

累

計(jì)

金

額之比。

簡

稱

為

貼

現(xiàn)

率。

第n年的貼

現(xiàn)

率

記

為dn。一

年的

貼

現(xiàn)

率

簡

化

表示

為d,

有

實(shí)際

貼

現(xiàn)率第

n

年的

貼

現(xiàn)率

為●

使積累值為一個單位，須在一個度量周期期初支

付

的

利

息

?！窠?/p>

釋

：為

了

在

時

間

1

能

得

到

1

元

的

返

還

，

投

資人

必

須在時間0投入(1-d)

元資金。這就相當(dāng)于單位

時

間

后

到

期

的

1

元

錢

，

在

單

位

時

間

里

產(chǎn)

生

的

利

息

是d

。d

即

為

單

位

時

間

的

實(shí)

際

貼

現(xiàn)

率

。實(shí)

際

貼

現(xiàn)

率d:-t-10

1

t復(fù)

利

下

的

現(xiàn)

值

和

累

計(jì)

值(1-d)t

1-d1

=

a-ay金

額時

間t;1-d==U

某

人

存

1

0

0

0

元

進(jìn)

入

銀

行

，

第

1

年

末

存

款

余

額

為

1

0

2

0

元

，

第

2

年

存

款

余

額

為

1

0

5

0

元

，

求

：

i?

、i

?

、d1、d?分

別

等

于

多

少

?例

實(shí)質(zhì)利率/貼現(xiàn)率---A(O)=1000,A(1)=1020,A(2)=1050-.I?=A(1)—A(O)=20I?=A(2)—A(1)=30答

案例

已

知

某

投

資

在

一

年

中

能

得

到

的

利

息

金

額

是

4

2

0

元

，

而

等

價

的

貼

現(xiàn)

金

額

是

3

0

0

元

，

求

本

金

?！?/p>

實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率都是用來度量利息的。

實(shí)際利率6%并不等于實(shí)際貼現(xiàn)率6%。然而，

在實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率之間存在著一個確定

的

關(guān)

系

?！?/p>

若對給定的投資金額，在同樣長的時期內(nèi)，它

們產(chǎn)生同樣的積累值，則稱這兩個“率”是“

等

價

”

的

。設(shè)本金為A,

則A

i=420,Ad=300,

所

以i/d=1.4,即1

+i=1.4,i=0.4從而得A=420/0.4=1050

元，即投資的本金為1050元。解初始值利

息積累值1Z1+iVd1實(shí)際利率與實(shí)際貼現(xiàn)率ν=1-d=(1+i)-1□

實(shí)際利率(貼現(xiàn)率)“實(shí)際”

:指利息在每個度量期(期末或期中)支付

一

次

?？?/p>

問題：如果在一個度量期中利息支付不止一次，或

多個度量期利息才支付一次，該如何刻畫利率?口

答案：此種情況下稱相應(yīng)的一個度量期的利率為名義利率(貼現(xiàn)率)(

4

)

名

義

利

率(4)名

義

利

率

(Nominal

Interest

Rates)考慮如下的多次性結(jié)算問題：假設(shè)年利率(annulnterestrate)為

i,現(xiàn)在

需

要在

一

年

內(nèi)

等

周

期

地

進(jìn)

行多次結(jié)算，

比如每半年(semiannually)、一個季度(quarterly)或一個月(monthly)結(jié)算一次，應(yīng)該如何操作呢?通

常采用如下

的結(jié)算方式

：假設(shè)一年

內(nèi)進(jìn)行

m

次結(jié)算

，

則

以

i的算術(shù)平均數(shù)作為每次結(jié)算

的利

率

：

.子

立

·

·

·

于

是

，

每

次

結(jié)

算

的

累積

值

為

,k

=1,2,·.,m此時，我們稱

為名義(復(fù))利率，并記m次結(jié)算的名義利率為

j(m,(

5

)

多

次

結(jié)

算

方

式

下

的

實(shí)

際

利

率●

問題：

一年多次結(jié)算與一次結(jié)算的效果有什么區(qū)別?考慮如下的計(jì)算實(shí)例：·

婆李金為1秀：整類年結(jié)算的名義利率為10%

,

則結(jié)算利●

第一次結(jié)算結(jié)果：1×(1+0.05)=1.05元，●第二次結(jié)算結(jié)果：1.05×(1+0.05)=1.1025元，●—年的利息額：1.1025-1=0.1025元，●

實(shí)際的年利率：10.25%.我

們

稱

“

1

0

%

的

名

義

復(fù)

利

率”

與

“

1

0

.

2

5

%

的

年

利

率

”為等價利

率(equivalentrates)由此可見，在使

用

名

義

利

率

進(jìn)行多

次

結(jié)

算時，客觀上產(chǎn)生了一個實(shí)

際利率

(

或有

效

利

率：EffectiveInterestRates)i,

即0

第1季度

第2季度

第3季度

1年1

l

1+i實(shí)際利率……

……………...名

義

利

率

(n

與

實(shí)

際

利

率j[+

[+*][丁1+4)

1反

之

也

有i(m)=m(Vl+i-1).

故

在

多

次

結(jié)

算

下的

實(shí)

際

利

率

為時的實(shí)際貼現(xiàn)率為若記實(shí)際年貼現(xiàn)率為d,則有(

6

)

名

義

貼

現(xiàn)

率

與

實(shí)

際

貼

現(xiàn)

率設(shè)d(m)為一年m

次結(jié)算的名義貼現(xiàn)率，則每次結(jié)算f-“丁

[-44]

1-a4)

1名

義

貼

現(xiàn)

率d(m)第

2

季

度d1

年1-d第

3

季

度第

1

季

度01口在單利下由于利率只在本金上記息，所以

沒有名義利率和實(shí)際利率的區(qū)別。(7)利息力現(xiàn)在考慮一個反問題：

如果保持實(shí)際利率i

不變，而讓結(jié)算次數(shù)趨向與無窮，那么,名義利率的變化趨勢將是怎樣的呢?計(jì)算可得所以得到

δ=ln(1+i)以及

i=e?-1

現(xiàn)在解釋利息力的意義：

設(shè)累積函數(shù)為a(t)=(1+i)',這是利息力的又一表達(dá)方式。則利息強(qiáng)度口在下面的討論中，如果不作特別的說明，我們總是

考

慮離

散的時間周

期，

通

常

以

一年為單位，

多年的資金運(yùn)行按復(fù)利計(jì)算.

[+

”

+4]

[+]

11利

息i

1+i1…

…1—dd1

.....時

間

0

1/p

2/p

3/p

(p-1)/p

dd(P)/p

d(P)/p

d(P)/p-------d(P)/pi(P)/pi(P)/pi(P)/p

-----------

i(P)/p五

種

利

息

支

付

方

式

：δi1、

確

定

5

0

0

元

以

季

度

轉(zhuǎn)

換

8

%

年

利

率

投

資

5

年的積累值

。2、

如

以

6

%

年

利

，

按

半

年

為

期預(yù)

付及

轉(zhuǎn)

換，

到

第

6

年

末

支

付

1

0

0

0

元

，

求

其

現(xiàn)

時

值

。3、

確定季度轉(zhuǎn)換的名義利率，使其等于

月

度

轉(zhuǎn)

換

6

%

名

義

貼

現(xiàn)

率

。例1、2、3、答

案=6.0605%利息問題求解原則第

二

節(jié)口

原始投資本金口

投資時期長度口

利率及計(jì)息方式期初/期末計(jì)息：利率/貼現(xiàn)率積

累

方

式

：

單

利

計(jì)

息

、

復(fù)

利

計(jì)

息■

利息轉(zhuǎn)換時期：實(shí)質(zhì)利率、

名義利率、利息

效

力口

本金在投資期末的積累值一、利息問題求解四要素第一年的年初第一年的年末、第二年的年初0

1

2

3kk+1

年

份k年的年末、第

k+1年

的年初我們先介紹時間周期的坐標(biāo)表示方法，

如圖所示：二

、

利

息

問

題

求

解

原

則□本質(zhì)：任何一個有關(guān)利息問題的求解本質(zhì)都

是

對

四

要

素

知

三

求

一

的

問

題□

工

具

：

現(xiàn)

金

流

圖口方法：建立現(xiàn)金流分析方程(等值方程)□

間參照點(diǎn)，等值方程等號兩邊

現(xiàn)

時

值

相

等原則：在任意DPo

P?

D

P

n現(xiàn)金流時間坐標(biāo)tT

200t●

某人為了能在第7年末得到1萬元款項(xiàng)，他

愿