方陣的特征值和特征向量

§2

方陣的特征值與特征向量1引言純量陣lE

與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB

≠

BA

．?dāng)?shù)乘矩陣時，數(shù)l都是可交換的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?

例：2定義：設(shè)A

是n階矩陣，如果數(shù)l

和n維非零向量

x

滿足Ax=l

x，那么這樣的數(shù)l

稱為矩陣A

的特征值，非零向量x

稱為A

對應(yīng)于特征值l

的特征向量．例1：則l=4為的特征值，為對應(yīng)于l=4的特征向量.一、基本概念3一、基本概念定義：設(shè)A

是n階矩陣，如果數(shù)l

和n維非零向量

x

滿足Ax=l

x，那么這樣的數(shù)l

稱為矩陣A

的特征值，非零向量x

稱為A

對應(yīng)于特征值l

的特征向量．

Ax=l

x=lE

x

<=>Ax-lE

x=0

非零向量x

滿足(A?lE)

x=0（零向量） 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式|A?lE|=04特征方程特征多項(xiàng)式特征方程 |A?lE|=0特征多項(xiàng)式 |A?lE|5二、基本性質(zhì)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

（稱為矩陣A的跡,TrA）l1l2…ln=|A|當(dāng)時,A的特征值全為非零數(shù);結(jié)論：當(dāng)時,A至少有一個特征值等于零.6因而,A

的特征多項(xiàng)式中,

n

與

n-1

的系數(shù)由該項(xiàng)中,有一項(xiàng)是主對角線上n

個元素的乘積(

-a11)(

-a22)(

-ann)而其他各項(xiàng)至多含有主對角線上的n-2

個元素.證明：確定.不難看出,

n

的系數(shù)為1

,

n-1

的系數(shù)為另外,在特征多項(xiàng)式中7故令

=0可得其常數(shù)項(xiàng)為|E-A|=

n-(a11+a22+…+ann)

n-1+…+(-1)n|A|.另一方面，由于

1,

2,…,

n

是A

的n

個特征值,所以|E-A|=(

-

1)(

-

2)…(

-

n).由此推出其常數(shù)項(xiàng)為|0E-A|=8

1

2…

n=|A|.

[證畢]定義：稱為矩陣A

的跡,記作trA.比較上述兩式，對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相同，可得

1+2+…+n=a11+a22+…+ann;|E-A|=

n-(a11+a22+…+ann)

n-1+…+(-1)n|A|.|E-A|=(

-

1)(

-

2)…(

-

n).推論：方陣A可逆A的特征值都不是零9例2：求矩陣的特征值和特征向量．解：A

的特征多項(xiàng)式為所以A

的特征值為l1=2，l2=4．當(dāng)l1=2時，對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足方程組

即解得基礎(chǔ)解系,k

p1（k

≠

0）就是對應(yīng)的特征向量．10例2：求矩陣的特征值和特征向量．解（續(xù)）：A

的特征多項(xiàng)式為所以A

的特征值為l1=2，l2=4．當(dāng)l2=4時，對應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足方程組

解得基礎(chǔ)解系k

p2（k

≠

0）就是對應(yīng)的特征向量．11例3：求矩陣的特征值和特征向量．解：所以A

的特征值為l1=?1，l2=l3=2．12例3：求矩陣的特征值和特征向量．解（續(xù)）：當(dāng)l1=?1時，因?yàn)榻夥匠探M(A+E)

x=0．解得基礎(chǔ)解系；k

p1（k

≠

0）就是對應(yīng)的特征向量．13例3：求矩陣的特征值和特征向量．解（續(xù)）：當(dāng)l2=l3=2時，因?yàn)榻夥匠探M(A?2E)

x=0．解得基礎(chǔ)解系．k2

p2+k3

p3（k2,k3

不同時為零）就是對應(yīng)的特征向量．14證明：由于

是齊次線性方程組是A的屬于

的特征向量.定理:

若和

都是A的屬于特征值的特征向量,則

也是A的屬于的特征向量(其中是任意常數(shù),但)因此

也是方程組的解。故當(dāng)時,的解.因此

也是方程組的解。15二、基本性質(zhì)（續(xù)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一個特征值，則齊次線性方程組(A?lE)

x=0的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于特征值為l

的全體特征向量的最大無關(guān)組．16例4（書上例8）：設(shè)l是方陣A

的特征值，證明(1)l2

是A2

的特征值；(2)當(dāng)A

可逆時，1/l

是A?1

的特征值．證明：結(jié)論：若非零向量p

是A對應(yīng)于特征值l

的特征向量，則l2

是A2

的特征值，對應(yīng)的特征向量也是

p

．推廣：lk

是Ak

的特征值，對應(yīng)的特征向量也是

p

．當(dāng)A

可逆時，1/l

是A?1

的特征值，對應(yīng)的特征向量仍然是

p

．17二、基本性質(zhì)（續(xù)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣A有n個特征值（重根按重數(shù)計算）．設(shè)n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一個特征值，則齊次線性方程組(A?lE)

x=0的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于特征值為l

的全體特征向量的最大無關(guān)組．若l是

A的一個特征值，則

j

(l)=a0+a1l+…+aml

m

是矩陣多項(xiàng)式j(luò)

(A)=a0+a1A+…+amA

m

的特征值．18若l是

A的一個特征值，則

j

(l)=a0+a1l+…+aml

m

是矩陣多項(xiàng)式j(luò)

(A)=a0+a1A+…+amA

m

的特征值．19

例5

設(shè)A

為可逆矩陣,

為A

的特征值,

p

為對應(yīng)的特征向量,證明:特征值,

p

為A*

對應(yīng)的特征向量.由已知條件可知：故證明為A*

的因此結(jié)論成立.20例6（書上例9）：設(shè)3階方陣A

的特征值為1,?1,2，求A*+3A?2E的特征值．解：

A*+3A?2E=|A|A?1+3A?2E=?2A?1+3A?2E

=j

(A)

其中|A|=1×(?1)×2=?2，所以A是可逆矩陣.設(shè)l是

A的一個特征值，p

是對應(yīng)的特征向量．令21練習(xí)：22關(guān)于矩陣的特征值的幾點(diǎn)說明1.

由于n

階矩陣的特征方程是一元n

次方程，所以在復(fù)數(shù)域上，n

階矩陣一定有n

個特征值，但不一定有n

個實(shí)特征值.2.

若n

階矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，則它們不一定各不相同,即矩陣的特征值可以是特征方程的重根.在計算特征值的個數(shù)時，重根按重數(shù)計算.k重根叫做k重特征值。233.矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的.一個特征向量不能屬于不同的特征值.反證法：若p同時是A的屬于特征值的特征向量,即有則 即由于而這是不可能的.4.矩陣A和AT的特征值相同.證明:

因此,A和AT有完全相同的特征值.24定理2：設(shè)

1,

2,…

m

是方陣A

的m個各不相等特征值,p1,p2,…,pm

依次是與之對應(yīng)的特征向量.則p1,p2,…,pm

線性無關(guān).證用數(shù)學(xué)歸納法（課上不講證明過程）當(dāng)m=1時，A

的屬于特征值

1的特征向量p1

0，而單個的非零向量是線性無關(guān)的.設(shè)m=s–1時，結(jié)論成立.只需證明m=s時,向量p1,p2,…,ps

線性無關(guān).25設(shè)有數(shù)k1,k2,…,ks

,使k1p1+k2p2+…+ksps

=0(１)在上式兩邊左乘矩陣A,得A(k1p1+k2p2+…+ksps

)

=0即k1Ap1+k2Ap2+…+ksAps

=0由于Api

=

ipi

(i=1,2,…,s)，所以有k1

1p1+k2

2p2+…+ks

sps

=0(２)在k1p1+k2p2+…+ksps

=0兩邊乘以

s

，得k1

sp1+k2

sp2+…+ks

sps

=0(３)(３)式減去(２)式，得26k1(

s-