【解析】四川省達州市普通高中高三第三次診斷性測試數(shù)學試題（理科）

達州市普通高中2020屆第三次診斷性測試數(shù)學試題（理科）注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共計60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結合對數(shù)函數(shù)的性質可得，再由集合交集的概念即可得解.【詳解】由題意，所以.故選：D.【點睛】本題考查了對數(shù)不等式的求解及集合交集的運算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.為純虛數(shù)，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】，因為是純虛數(shù)，所以解得，故選A.，命題．p是q的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義求解.【詳解】當時，，故不充分；當時，即，即，所以且或且；故不必要；故選：D【點睛】本題主要考查邏輯條件的判斷以及不等式的基本性質，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.展開式中，只有第項的二項式系數(shù)最大，則該展開式的常數(shù)項是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大，得；由二項展開式的通項公式求出展開式的常數(shù)項.【詳解】因為二項展開式中間項的二項式系數(shù)最大，又因為只有第4項的二項式系數(shù)最大，得；所以展開式的通項為，令得，所以展開式中的常數(shù)項是.故選：C.【點睛】本題主要考查二項展開式的通項解決有關特殊項問題.屬于較易題.中，如果，則（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意結合三角恒等變換、同角三角函數(shù)的平方關系可得，進而可得，再由同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得解.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查了二倍角公式及同角三角函數(shù)關系的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.中，角的對邊分別是，，．則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結合正弦定理可得，進而可得，再由余弦定理即可得，即可得解.【詳解】由可得，所以，又，所以即，所以，在中，，又，所以.故選：D.【點睛】本題考查了正弦定理與余弦定理綜合應用，考查了運算求解能力，合理轉化條件是解題關鍵，屬于中檔題.7.如圖，S是圓錐的頂點，是底面圓的直徑，，M是線段上的點（不與端點A，S重合），N是底面圓周上的動點，則直線與不能（）A.異面 B.相交 C.平行 D.垂直【答案】C【解析】【分析】由題意結合直線間的位置關系，逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，當N不與、重合時，由異面直線的概念可得直線與異面，故A有可能；對于B，當N與、重合時，直線與相交，故B有可能；對于C，由A、B可知，直線與不能平行，故C不可能；對于D，當N與重合時，直線與垂直，故D有可能.故選：C.【點睛】本題考查了直線間位置關系的判定，關鍵是對概念的熟練掌握，屬于基礎題.的焦點到雙曲線漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得拋物線的焦點的坐標和雙曲線漸近線方程，根據(jù)拋物線的焦點到雙曲線漸近線的距離是，利用點到直線的距離求解.【詳解】拋物線的焦點，不妨設雙曲線漸近線方程為，因為拋物線的焦點到雙曲線漸近線的距離是，所以，解得.故選：B【點睛】本題主要考查拋物線和雙曲線的幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.9.有3人同時從底樓進入同一電梯，他們各自隨機在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結合分步乘法、排列組合的知識可得所有基本情況數(shù)及滿足要求的情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】3人同時從底樓進入同一電梯，他們各自隨機在第2至第7樓的任一樓走出電梯,共有種不同情況；恰有兩人在第4樓走出電梯，共有種不同情況；故所求概率.故選：C.【點睛】本題考查了計數(shù)原理的應用，考查了古典概型概率的求解，屬于基礎題.中，，，的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用相反向量將向量的加法轉化為向量的減法，利用向量的減法的模的幾何意義求得最小值.【詳解】,令，則為直線上的動點，如圖所示，當直線時，取得最小值，∵，，∴.故選A.【點睛】本題考查向量線性組合的模的最小值問題，涉及向量的線性運算，相反向量，向量的加法與減法的轉化，向量的模的意義，考查數(shù)學轉化能力和計算能力，屬中檔題.11.是邊長為1的正三角形，多邊形是正六邊形，平面平面，若六棱錐的所有頂點都在球O上，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用球的截面的性質：球心在截面圓中的射影是截面的外心，求得球心的位置，利用線面垂直，面面垂直的性質作出有關線段關系的判定，進而計算得到球的半徑，然后利用球的表面積公式計算即可.【詳解】如圖所示，外接球的球心O在底面內的射影為底面中心，在面中的射影為的中心，連接,交于，則為中點，連接，∵平面平面，平面平面，平面,又⊥平面,∴,∴又∴外接球半徑,∴球的表面積為,故選：B.【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積問題，涉及面面垂直的性質，線面垂直的性質，關鍵球的截面的性質：球心在截面圓中的射影是截面的外心，考查空間想象能力和邏輯推理能力，計算能力，屬中檔題.12.如圖，函數(shù)的圖象與它在原點O右側的第二條對稱軸交于點C，A是圖象在原點左側與x軸的第一個交點，點B在圖象上，，．則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設函數(shù)的最小正周期，，由三角函數(shù)的圖象與性質可得，由平面向量的知識可得，代入即可得，再由平面向量的數(shù)量積可得，即可得解.【詳解】設函數(shù)的最小正周期，，所以，結合函數(shù)的圖象可得，則，設，所以，，所以，所以，所以，，，由可得，解得或（舍去），所以.故選：B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質及平面向量的綜合應用，考查了運算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分．把答案填在題中的橫線上______．【答案】0【解析】【分析】由題意結合分數(shù)指數(shù)冪的運算、對數(shù)運算直接運算即可得解.【詳解】由題意.故答案為：.【點睛】本題考查了分數(shù)指數(shù)冪及對數(shù)的運算，考查了運算求解能力，屬于基礎題.滿足約束條件則的最大值是______．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)滿足約束條件，畫出可行域，將，變形為，平移直線，當直線在y軸上截距最大時，目標函數(shù)取得最大值求解.【詳解】由滿足約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將，變形為，平移直線，當直線經過點時，直線在y軸上的截距最大，此時，目標函數(shù)取得最大值，最大值為10，故答案為：10【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結合思想方法，屬于基礎題.15.2020年4月16日，某州所有61個社區(qū)都有新冠病毒感染確診病例，第二天該州新增這種病例183例．這兩天該州以社區(qū)為單位的這種病例數(shù)的中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，方差和極差5個特征數(shù)中，一定變化的是______（寫出所有的結果）【答案】平均數(shù)【解析】【分析】由題意結合中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差和極差的概念，逐個檢驗即可得解.【詳解】中位數(shù)表示將一組數(shù)據(jù)有序排列，處于中間位置的那個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)，該州新增病例183例，但各社區(qū)的數(shù)據(jù)變化不明確，所以中位數(shù)不一定發(fā)生變化；平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，該州新增病例183例，數(shù)據(jù)之和增加，但數(shù)據(jù)個數(shù)依然為61，所以平均數(shù)一定發(fā)生變化；眾數(shù)為一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，該州新增病例183例，但各社區(qū)的數(shù)據(jù)變化不明確，所以眾數(shù)不一定發(fā)生變化；方差是各個數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)，該州新增病例183例，但各社區(qū)的數(shù)據(jù)變化不明確，所以方差不一定發(fā)生變化；極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，該州新增病例183例，但各社區(qū)的數(shù)據(jù)變化不明確，所以極差不一定發(fā)生變化.故答案為：平均數(shù).【點睛】本題考查了中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差和極差概念的應用，牢記概念是解題關鍵，屬于基礎題.是奇函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意結合奇函數(shù)的性質可得，進而可得，按照、討論成立情況；當時，轉化條件為恒成立，令，求導求得的最大值，令即可得解.【詳解】由是奇函數(shù)可得，即，所以，當時，，可知此時單調遞減，所以，所以恒成立；當時，，所以等價于，令，則，令，則，，當時，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，若要使恒成立，則恒成立，所以即；當，，單調遞增，所以恒成立，滿足題意；當時，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，若要使恒成立，則恒成立，所以即；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了奇函數(shù)性質的應用及導數(shù)的綜合應用，考查了運算求解能力與邏輯推理能力，合理構造新函數(shù)是解題關鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．的通項公式為．（1）求寫出數(shù)列的前6項；（2）求數(shù)列前項中所有奇數(shù)項和奇與所有偶數(shù)項和偶．【答案】（1），，，，，；（2）奇，偶.【解析】【分析】（1）由題意結合數(shù)列的通項公式直接代入即可得解；（2）由題意結合數(shù)列的通項公式可得，，再利用等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式分別求解即可.【詳解】（1）由知：，，，，，．（2）由得，，是首項為，公比為的等比數(shù)列，是首項為4，公差為的等差數(shù)列，奇，偶．【點睛】本題考查了利用數(shù)列的通項求數(shù)列的項，考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷及前n項和公式的應用，屬于中檔題.的坐標分別為，，直線相交于點M，且它們的斜率分別是．（1）求點M的軌跡C的方程；（2）與圓相切于點的直線l交C于點，點D的坐標是，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設點M的坐標為，由題意結合直線的斜率公式可得，化簡即可得解；（2）由題意結合直線與圓相切的性質可得切線l的方程為，再結合橢圓的性質即可得解.【詳解】（1）設點M的坐標為，由題意得，化簡得，所以點M的軌跡C的方程為；（2）由題意圓的圓心為，過切點和圓心的直線的斜率為，切線l的斜率為1，切線l的方程為即，與x軸的交點坐標是，是橢圓C的左焦點．為橢圓C的右焦點，根據(jù)橢圓的性質，．【點睛】本題考查了動點軌跡方程的求解，考查了直線與圓相切性質的應用及橢圓焦點三角形周長的求解，屬于中檔題.19.某城市9年前分別同時開始建設物流城和濕地公園，物流城3年建設完成，建成后若年投入x億元，該年產生的經濟凈效益為億元；濕地公園4年建設完成，建成后的5年每年投入見散點圖．公園建成后若年投入x億元，該年產生的經濟凈效益為億元．（1）對濕地公園，請在中選擇一個合適模型，求投入額x與投入年份n的回歸方程；（2）從建設開始的第10年，若對物流城投入0.25億元，預測這一年物流城和濕地公園哪個產生的年經濟凈效益高？請說明理由．參考數(shù)據(jù)及公式：，；當時，，，回歸方程中的；回歸方程斜率與截距，．【答案】（1）；（2）該年濕地公園產生的年經濟凈效益高，理由見解析.【解析】【分析】（1）由散點圖可得應該選擇模型，令，代入公式可得、，即可得投入額x與投入年份n的回歸方程；（2）由題意將代入即可得物流城第10年的年經濟凈效益；由回歸方程可預測濕地公園第10年的投入，進而可得濕地公園第10年的經濟凈效益；比較大小即可得解.【詳解】（1）根據(jù)散點圖，應該選擇模型，令，則，，故所求回歸方程是即；（2）由題意，物流城第10年的年經濟凈效益為（億元）；濕地公園第10年的投入約為（億元），該年的經濟凈效益為（億元）；因為，所以該年濕地公園產生的年經濟凈效益高．【點睛】本題考查了非線性回歸方程的求解與應用，考查了運算求解能力，熟練使用公式、細心計算是解題關鍵，屬于中檔題.M，N是平面兩側的點，三棱錐所有棱長是2，，，如圖．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取線段中點D，分別連結，由平面幾何的知識、線面垂直的判定平面，平面，進而可得平面與平面重合，再由平面幾何的知識可得四邊形是平行四邊形，再由線面平行的判定即可得證；（2）取線段的中點O，連結，建立空間直角坐標系，求出各點坐標，求出平面的一個法向量、平面的一個法向量，再由即可得解.【詳解】（1）證明：取線段中點D，分別連結，由條件得，，，，，與是平面內兩相交直線，與是平面內兩相交直線，平面，平面，平面與平面重合，，，四邊形是平行四邊形，即．平面，平面，平面；（2）取線段的中點O，連結，由（1）知，平面，，，，，，又，平面，、、兩兩垂直，以過O平行的直線為x軸，分別以直線為y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，設平面的一個法向量，，不妨取，得，又平面的一個法向量，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦為．【點睛】本題考查了線面平行的判定及線面垂直的判定及性質，考查了利用空間向量求二面角及運算求解能力，屬于中檔題.21.（1）求證：當時，；（2）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）設，求導后可得函數(shù)的單調性，進而可得，即可得證；（2）由題意轉化條件可得，設，求導后可得函數(shù)的單調區(qū)間和極值，再根據(jù)、或、分類，求得的取值范圍即可得解.【詳解】（1）證明：設，則，當時，，單調遞增，當時，．所以當時，；（2）函數(shù)的定義域為，由得，設，則，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以當時，有極小值，且極小．當時，；當或時，，所以對，當或時，都有，所以當，，當時，；當時，由（1）得．所以對，當時，都有，所以當時，；綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合應用，考查了運算求解能力與轉化化歸思想，合理構造新函數(shù)、轉化條件是解題關鍵，屬于難題.（二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．【選修44：坐標系