《計(jì)算力學(xué)》課件

計(jì)算力學(xué)課堂教學(xué)課件Wednesday,May15,2024中國礦業(yè)大學(xué)xxx1h2h一、泛函的定義補(bǔ)充內(nèi)容3h變分法是在一組容許函數(shù)中選定一個(gè)函數(shù)，使給定的泛函取駐值(研究求泛函極大（?。┲档姆椒?。簡單地說，泛函也是一種“函數(shù)”，它的獨(dú)立變量一般不是通常函數(shù)的“自變量”，而是通常函數(shù)本身。泛函是函數(shù)的函數(shù)。說明泛函具體含義的三個(gè)實(shí)例。4h實(shí)例1

在xy平面內(nèi)有A、B兩定點(diǎn)，連接A、B有很多條曲線y=y(x),x是自變量，y是獨(dú)立函數(shù)，曲線的長度L是隨不同的曲線y而定的。L是一個(gè)泛函：5h實(shí)例2在xy平面內(nèi)，假設(shè)在AB兩定點(diǎn)連成的曲線上有一質(zhì)點(diǎn)。此質(zhì)點(diǎn)在重力的作用下，無摩擦地從A滑到B需要一定的時(shí)間T。T是隨不同的曲線y(x)而改變的。所以T

是一個(gè)泛函。假設(shè)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，故質(zhì)點(diǎn)由A滑到B的速度為則T為6h實(shí)例3

假設(shè)有一不計(jì)自重的彈性桿OB,長為L，截面面積A，彈性模量E。O端固定，x軸沿桿的軸線向下，B端受拉力P作用。受力以后，桿內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生隨x變化的位移u(x),因而產(chǎn)生應(yīng)變?chǔ)藕蛻?yīng)力σ。在線彈性范圍內(nèi)，定義應(yīng)變能密度由于7h故桿內(nèi)總應(yīng)變能為拉力P所作的功：桿的總勢能：因此

是一個(gè)泛函。8h泛函的定義設(shè){y(x)}是已給的函數(shù)集，如果對于這個(gè)函數(shù)集合中任一函數(shù)y(x)恒有某個(gè)確定的數(shù)與之對應(yīng)，記為Π[y(x)]，則記Π[y(x)]是定義于集合{y(x)}上的一個(gè)泛函。泛函的基本點(diǎn)（1）泛函有它的定義域。定義域是指滿足一定的邊界條件、初始條件和函數(shù)的連續(xù)程度的函數(shù)集。定義域內(nèi)的函數(shù)稱為可取函數(shù)或容許函數(shù)。y(x)亦稱為泛函Π的宗量。（2）泛函Π[y(x)]與可取函數(shù)y(x)有明確的對應(yīng)關(guān)系。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質(zhì)決定的。9h對變分學(xué)發(fā)展有重大影響的三個(gè)歷史命題：1、最速降線問題。在A、B兩端點(diǎn)固定的邊界條件下，從A滑到B所需的時(shí)間最短。通過質(zhì)點(diǎn)滑過曲線所需時(shí)間的變分為零，即求得最速降線。JohnBornouli于1696年提出。δT=010h2、短程線問題。求曲面

(x,y,z)=0上兩定點(diǎn)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)間長度最短的曲線。問題歸結(jié)為求泛函的極小值。其中函數(shù)y(x)、z(x)滿足約束條件

(x,y,z)=0此問題屬于“條件變分”問題?！狫ohnBornouli于1697年解決。11h3、等周問題。在長度一定的封閉曲線中，什么樣的曲線所圍面積最大？已知曲線用參數(shù)表達(dá)為x=x(s),y=y(s)。周長為固定邊界條件為12h所圍面積等周問題可歸納為端點(diǎn)固定條件式及限制條件（長度一定的封閉曲線）下，從一切x=x(s),y=y(s)的函數(shù)中選取一對函數(shù)，使泛函R為最大?！獥l件變分問題。Euler于1744年解決。13h二、變分及其特性14h1、泛函宗量的變分定義：對于泛函Π[y(x)]，y(x)是定義域中的任何元素，如果y(x)由y0(x)變成y1(x)，則y1(x)-y0(x)，則叫做y(x)在y0(x)上的變分，記作δy=y1(x)-y0(x)常用δy=y1(x)-y0(x)作為泛函宗量的變分。變分δy和函數(shù)微分dy的區(qū)別：變分δy反映的是整個(gè)函數(shù)的改變，函數(shù)微分dy反映的是同一函數(shù)y(x)因x取不同值而產(chǎn)生的差異。15h函數(shù)接近度的概念如果兩條曲線滿足以下條件：則稱曲線y=y(x),有k

階接近度。接近度的階數(shù)越高，曲線接近得越好。Lagrange引用小量ε保證曲線有k

階接近度：小量ε→0。16h零階接近度曲線一階接近度曲線17h2、泛函的連續(xù)對于任意給定的ε>0，總可找到δ，并當(dāng)就能使則稱泛函Π[y(x)]在y(x)=y1(x)處k階接近地連續(xù)。18h3、泛函的變分（1）泛函變分是泛函增量的線性主部“泛函變分”可以說是“函數(shù)微分”概念的推廣。什么是函數(shù)y=f(x)的微分？例如：y=f(x)=sinx如果x→x+Δx，則函數(shù)的增量從式中可看到：Δy與Δx之間的函數(shù)關(guān)系是非線性的。19h如果函數(shù)y=f(x)在給定點(diǎn)x

處有導(dǎo)數(shù)f

(x)，則于是所以第一項(xiàng)即dy是Δx的線性函數(shù)，第二項(xiàng)，是比Δx高階的無窮小量20h所以函數(shù)的微分dy=f

(x)Δx既是函數(shù)增量Δy的線性部分，又是Δy的主要部分，即“線性主要部分”。泛函的變分？例如泛函增量ΔΠ有兩項(xiàng)組成，第一項(xiàng)記為：21h當(dāng)函數(shù)y(x)固定時(shí)，線性泛函。因?yàn)槭顷P(guān)于

y的第二項(xiàng)：所以22h于是此式與函數(shù)的微分式非常相似，即泛函的變分亦可理解為兩部分：第一部分是δy

的線性泛函；第二部分是比δy更高階次的無窮小量。泛函變分的定義：即泛函[y(x)]的變分

是泛函隨宗量y(x)的微小增量δy而產(chǎn)生的增量

的線性主要部分。23h（2）拉格朗日泛函變分定義如果泛函[y(x)]的變分存在，那么此變分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在ε=0處的值，即24h4、泛函的駐值（1）函數(shù)的駐值如果函數(shù)y(x)在x=x0附近的任意點(diǎn)上的值都不大（小）于y(x0)，即則稱函數(shù)y(x)在x=x0上達(dá)到極大（極?。?，而且在x=x0上有對于多元函數(shù)根據(jù)泰勒公式：25h式中是關(guān)于增量的一次、二次…齊次式，其中26h使多元函數(shù)為極大或極小的條件是：也可寫成：稱為函數(shù)的駐值條件，其解稱為駐點(diǎn)，駐點(diǎn)處的函數(shù)值稱為駐值。27h（2）泛函的駐值如果泛函[y(x)]在任何一條與y0(x)接近的曲線上的值不大（?。┯赱y0(x)]，即則稱泛函[y(x)]在曲線y=y0(x)上達(dá)到極大（或極?。┲?，而且在y=y0(x)上有駐值條件即泛函[y(x)]在y0(x)的一階變分為零。28h4、變分的計(jì)算方法1、微分與變分能夠互調(diào)：2、積分與變分能夠互調(diào)：3、設(shè)則29h4、設(shè)則5、設(shè)則6、設(shè)則30h三、歐拉方程31h1、變分法的基本預(yù)備定理如果函數(shù)F(x)在區(qū)間(x1,x2)上連續(xù)，而任意選定的函數(shù)

y(x)滿足下列一般條件：（1）一階或若干階可微；（2）（3）并且有下式成立則在區(qū)間(x1,x2)上有F(x)≡032h2、歐拉方程的建立假設(shè)一個(gè)自變量x,一個(gè)獨(dú)立函數(shù)y,一般泛函形式如下：如圖所示，如果存在過定點(diǎn)A、B兩點(diǎn)并且其一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的極值曲線使上式泛函取極值，求此極值曲線。解：設(shè)y(x)就是欲求的極值曲線，在y(x)的近旁構(gòu)造一類可取函數(shù)ε為與x無關(guān)的微小參量，

y(x)是滿足變分法預(yù)備定理中的3個(gè)一般條件的任意選定的函數(shù)。（1）（2）33h而且

y(x)具有下列邊界條件：（3）將（2）代入（1），得到以為參變量ε的泛函：根據(jù)泛函取極值的條件及泛函變分的Lagrange定義：即34h由于且ε=0時(shí)所以將（4）第二式進(jìn)行分部積分：（4）因（5）35h所以（5）變?yōu)椋簞t（4）式為：由變分法預(yù)備定理得：（Euler-Lagrange方程）36h?注意：Euler方程式中的第二項(xiàng)為全導(dǎo)數(shù)。而且所以展開得：另外，根據(jù)泛函的變分是泛函增量的線性主部這一定義也可得到Euler方程：解：仍設(shè)y(x)就是欲求的極值曲線，則與y(x)鄰近的任意容許函數(shù)仍設(shè)為37h其中

y(x)是滿足變分法預(yù)備定理中的3個(gè)一般條件的任意選定的函數(shù)。并且要使泛函取極值，必須滿足駐值條件

=0，而38h記為分別為泛函的一階、二階、三階變分。因此以前述同樣的方法可以得到Euler方程，推導(dǎo)過程略。39h3、利用歐拉方程求解泛函極值問題（1）實(shí)例1（過A、B兩定點(diǎn)間長度最短的曲線）中，泛函形式為：被積函數(shù)為代入Euler方程得：40h解得代入邊界條件后得A、B兩點(diǎn)間最短曲線為直線。與實(shí)際情況一致。41h（2）實(shí)例2（最速降線問題）中，泛函形式為：利用展開后的Euler方程：因被積函數(shù)F不顯含x，可簡化為：42h現(xiàn)證明：即證：而43h所以即證明了（6）44h將被積函數(shù)代入（6），得：分離變量得：引入?yún)?shù)θ，令則45hEuler方程的解為令2θ=π-

，則解化為：又當(dāng)

=0時(shí)，取x=0=y,E=D/2,于是46h這組方程是半徑為D/2的輪沿著x

軸滾動(dòng)時(shí)，輪周上A點(diǎn)軌跡的方程。這是一組圓滾線方程，常數(shù)D由圓滾線通過B點(diǎn)確定，它能使其上質(zhì)點(diǎn)滑下的時(shí)間最短。也稱其為最速降線（旋輪線或擺線）。47h變分法的幾個(gè)步驟：（1）從物理問題建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用變分法基本預(yù)備定理，求得Euler方程；（3）在邊界（或初始）條件下求解Euler方程，得到極值解。48h（3）實(shí)例3（受拉桿件問題）中，泛函形式為：將被積函數(shù)代入Euler方程得：求解得：位移u在桿內(nèi)的分布是線性的。兩個(gè)待定常數(shù)由以下兩個(gè)邊界條件決定：49hx=0時(shí)，u=o;x=L

時(shí)，P=p。以下用變分的方法推導(dǎo)。令δΠ=0，得在x=0處，u=o，δu=0，但x=L處，δu≠0,所以50h由于在(0,L)開區(qū)間內(nèi)δu的任意性，得微分方程：AEu”=0(a)邊界條件：

x=L時(shí)，AEu′=p(b)x=0處，u=0(c)（c)式為方程(a)的第一類邊界條件，也稱為位移邊界條件，是泛函極值曲線首先要滿足的邊界條件，所以也稱為強(qiáng)加邊界條件.(b)式為第二類邊界條件。是變分后從泛函中分離出來的，是為了使泛函滿足極值條件而又必須滿足的邊界條件，稱為自然邊界條件，即x=L處力的邊界條件。51h利用泛函形式求解的優(yōu)點(diǎn)：（1）泛函中包含了微分方程的第二類邊界條件（自然邊界條件），而在微分方程中卻不包含，需作專門考慮。（2）泛函被積函數(shù)中包括的最高階導(dǎo)數(shù)的階次低于微分方程中最高階導(dǎo)數(shù)的階次。因此，通過泛函進(jìn)行求解更加方便。52h四、其他形式泛函的歐拉方程53h1、具有高階導(dǎo)數(shù)泛函的Euler方程泛函：Euler方程：這是關(guān)于y(x)的2n階微分方程，一般稱為泛函（1）的Euler-Poisson方程。其解的2n個(gè)待定常數(shù)由2n個(gè)端點(diǎn)條件決定：(1)54h例：假設(shè)有一不計(jì)自重的懸臂梁,長為L，截面面積A，彈性模量E。受分布荷載q(x)，并在自由端處受集中力P和集中力偶M作用,處于平衡狀態(tài)。求梁內(nèi)各點(diǎn)隨x變化的位移v(x)。解：應(yīng)變能55h所以外力功總位能（1）用Euler方程求解將被積函數(shù)代入Euler方程56h得到：此即撓曲線方程。此方程的解有四個(gè)待定常數(shù)需要確定。x=0時(shí)，v=0,v′=0力的邊界條件：梁自由端處的條件。（2）直接用泛函變分求解位移邊界條件：57h對第二項(xiàng)進(jìn)行分部積分：代入δΠ式：58h由位移邊界條件，即有于是59h要使總位能取駐值，須使δΠ=0成立，則必須要有：60h2、含有多個(gè)待定函數(shù)的泛函泛函：Euler方程：61h3、含有多個(gè)自變量函數(shù)的泛函1）、二變量問題泛函：Euler方程：其中62h例：泛函由Euler方程知：它的極值條件歸結(jié)為求解Laplace方程：例：泛函由Euler方程知：它的極值條件歸結(jié)為求解Poisson方程：63h2）、多變量問題泛函：Euler方程：其中64h1．3變分原理和里茲方法65h1．3．1變分原理的定義和意義

66h1.變分原理與變分法若一連續(xù)介質(zhì)問題存在一標(biāo)量泛函

：（1.3.1）則連續(xù)介質(zhì)問題的解u一定使泛函對微小變分

u

取駐值，即，使泛函的“變分”等于零：（1.3.2）稱為變分原理。由變分原理求解連續(xù)介質(zhì)問題的方法稱為變分法。67h說明：（1）要求存在某一標(biāo)量泛函

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題；

熱傳導(dǎo)問題；

流場問題；

電磁場問題等。（2）是等效積分形式的一種特殊情形。

對式（1.3.1）求變分，有

68h（3）彈性力學(xué)中基本變分原理：

最小勢（位）能原理最小余能原理平衡微分方程+力的邊界條件

幾何方程+位移邊界條件

69h2.變分法的求解過程（1）選取未知函數(shù)

u的近似解；（1.3.3）注意：使

u滿足強(qiáng)制邊界條件。（2）將函數(shù)

u的近似解代入泛函

(u):~~（3）對泛函

(ai

)

求變分，并令等于零；~（1.3.4）70h（1.3.4）由于是任意的，故上式成立時(shí)，必有：將上式表示成矩陣形式，有：71h其中：得到與待定參數(shù)

a

的個(gè)數(shù)相等的方程組，由此可求得待定參數(shù)a

。——

里茲（Ritz）法（1.3.5）72h特殊情形：

（1.3.6）式（1.3.6）為一線性方程組。式中，K為一對稱的常系數(shù)矩陣。若泛函

(u)

中

u及對u的導(dǎo)數(shù)的最高方次為二次，則稱此泛函

(u)為二次泛函。對于二次泛函

(u)，有：~且此泛函

(u)，可表示為：~（1.3.12）73h1.函數(shù)的定義和泛函的定義74h若對于自變量x域中的每一個(gè)值，y有一值與之對應(yīng)，或數(shù)y對應(yīng)于數(shù)x關(guān)系成立。則稱變量y是變量x的函數(shù)，即：y=y(x)函數(shù)的定義泛函的定義若對于某一類函數(shù){y(x)}中的每一函數(shù)y(x)，Π有一值與之對應(yīng)，或數(shù)Π對應(yīng)于函數(shù)y(x)的關(guān)系成立。則稱變量Π是函數(shù)y(x)的泛函，即：Π=Π(y(x))。75h76h3.函數(shù)的微分和泛函的變分函數(shù)的微分1:函數(shù)的增量

y=y(x+

x)-y(x)可以展開為線性項(xiàng)和非線性項(xiàng)y=A(x)

x+φ(x,

x)

x，其中A(x)和

x無關(guān)φ(x,

x)則和

x有關(guān)，而且

x→0時(shí)，φ(x,

x)→0，稱y(x)是可微的，其線性部分稱為函數(shù)的微分。即dy=A(x)

x=y’(x)

x。A(x)=y’(x)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而且77h函數(shù)的微分2:設(shè)ε為一小參數(shù)，并將y(x+ε

x)對ε求導(dǎo)數(shù)，即得：當(dāng)ε趨近于零時(shí)證明y(x+ε

x)在ε=0處對ε的導(dǎo)數(shù)就等于y(x)在x處的微分。這個(gè)定義與拉格朗日處理變分的定義是相似的。78h泛函的變分1:與函數(shù)的微分類似，泛函變分的定義也有兩個(gè)。δΠ=Π[y(x)+δy(x)]-Π[y(x)]=L[y(x),δy(x)]上式中就叫做泛函的變分，用δΠ表示。L[y(y(x),δy(x)]泛函的變分是泛函增量的主部，而且這個(gè)主部對于δy(x)來說是線性的。79h泛函的變分2:泛函變分是Π[y(x)+εδy(x)]對ε的導(dǎo)數(shù)在ε=0時(shí)的值，即拉格朗日的泛函變分定義為：80h4.函數(shù)極大極小問題如果函數(shù)y(x)在x=x0的附近的任意點(diǎn)上的值都不大（不小）于y(x0)，即dy=y(x)-y(x0)≤0(≥0)時(shí)，在x=x0上達(dá)到極大(極小)，在x=x0上，有:81h泛函Π[y(x)]也有相類似的定義。泛函極大極小問題如果泛函Π[y(x)]在任何一條與y=y0(x)接近的曲線上的值不大（不?。┯讦癧y0(x)]，即：δΠ=Π[y(x)]

-Π[y0(x)]≤0(或≥0)時(shí)，則稱泛函Π[y(x)]]在曲線y=y0(x)上達(dá)到極大值(或極小值)，而且在y=y0(x)上有:82h說明：泛函的極大(或極小)值，主要是說泛函的相對的極大(或極小)值，也就是說，從互相接近的許多曲線來研究一個(gè)最大(或最小)的泛函值，但是曲線的接近，有不同的接近度。因此，在泛函的極大極小定義里，還應(yīng)該說明這些曲線有幾階的接近度。83h84h強(qiáng)變分和強(qiáng)極大如果對于與y=y0(x)的接近度為零階的一切曲線而言，即對于

y=y0(x)

非常小，但對于

y’(x)-y’0(x)并不小y=y0(x)上達(dá)到極大(或極小)值，則就把這類變分叫強(qiáng)變分。這樣達(dá)到的極大(或極小)值叫做強(qiáng)極大(強(qiáng)極小)，或強(qiáng)變分的極大(或極小).85h弱變分和弱極大如果只對于與y=y0(x)有一階接近度的曲線y=y(x)而言，或者只對于那些不僅在縱坐標(biāo)間而且切線方向間都接近的曲線而言，泛函在曲線y=y0(x)上達(dá)到極大(或極小)值，則就稱這種變分為弱變分。這樣到的極大值(或極小值)叫做弱極大(弱極小)，或弱變分的極大(或極小).86h5.變分法的基本預(yù)備定理如果函數(shù)

F(x)在線段(x1,x2)上連續(xù),且對于只滿足某些一般條件的任意選定的函數(shù)δ

y(x)，有:則在線段上(x1,x2)

，有:F(x)=0δy(x)的一般條件為：(1)一階或若干階可微分；(2)在線段(x1,x2)的端點(diǎn)處為0；(3)

δy(x)

或

δy(x)

及

δy’(x)

<ε等。87h從泛函變分極值問題上可以看到變分法的幾個(gè)主要步驟：（1）從物理問題上建立泛函及其條件；（2）通過泛函變分，利用變分法基本預(yù)備定理求得歐拉方程；（3）求解歐拉方程，這是微分方程求解問題。88h由于δai的任意性，所以而對于等效積分的“弱”形式89h

1．3．2線性、自伴隨微分方程變分原理的建立90h1.線性、自伴隨微分算子如果微分方程具有線性、自伴隨的性質(zhì)，則：不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權(quán)余量法求其近似解；還可建立與之相等效的變分原理，基于它的另一種近似求解方法——Ritz法。91h線性、自伴隨微分方程的定義：微分方程為微分算子若具有性質(zhì)：則稱為線性微分算子。92h對上式分部積分，直至u的導(dǎo)數(shù)消失，若內(nèi)積后，求積；得：93h2.泛函的構(gòu)造設(shè)有微分方程：利用

Galerkin（伽遼金）格式整理成：就得到泛函

94h因?yàn)樗阕邮蔷€性、自伴隨的，所以：95h微分方程的等效積分形式：96h整理得到：97h結(jié)論：（1）對于線性、自伴隨微分方程，一般都存在一標(biāo)量泛函

（u）,原微分方程的邊值問題等價(jià)于該泛函

（u）取駐值，即：（2）對于線性、自伴隨微分方程，其等效積分的Galerkin形式等價(jià)于該泛函

（u）的變分等于零，即：

（u）取駐值。98h變分原理：變分原理是針對以下積分形式定義的標(biāo)量泛函而言，對于未知場函數(shù)任意一個(gè)微小的變化使取駐值的即為問題的控制方程及邊界條件的解。99h自然變分原理原問題微分方程和邊界條件的等效積分的Galerkin提法等效于泛函取駐值。反之泛函取駐值則等效于微分方程和邊界條件。這里泛函可以通過等效積分的Galerkin提法得到。這種變分原理稱為自然變分原理。例如，彈性力學(xué)中的最小位能原理、粘性流體中最小能力耗散原理，稱為自然變分原理。100h3.泛函

(u)的極值性強(qiáng)制邊界條件與自然邊界條件：若算子L為偶數(shù)（2m）階的，即對于2m階的微分方程：對（在域

內(nèi)）

（在邊界

上）

含

0~m-1

階導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為強(qiáng)制邊界條件。近似解應(yīng)事先滿足。含

m~2m-1

階導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為自然邊界條件101h等價(jià)于泛函

（u）取駐值：極大值：極小值：不定：——取決于泛函（u）的特性

（u）極值性：102h例：二維熱傳導(dǎo)問題：（2）研究其極值性。試：（1）建立它的泛函；——強(qiáng)制邊界條件——自然邊界條件103h（1）解：原問題的Galerkin等效積分（變分）形式可表示為：分步積分：104h同理，得：代入（1）：105h對照變分原理：得到：（1）106h對（1）式求二階變分：把寫成如下形式得到，在時(shí)，泛函

（

）取極小值。107h1．3．3里茲法（RitZ）方法——基于變分原理的近似解法108hRitz（里茲）法——基于變分原理的近似解法1.求解步驟：1）假設(shè)近似解：為待定參數(shù)，滿足強(qiáng)制邊界條件。2）將代入泛函的極值問題（求函數(shù)u），轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù)的極值問題。109h3）求解線性代數(shù)方程組u的近似解110h邊界條件例：用Ritz法求解以下二階常微分方程（1）（2）解：（1）建立變分原理，求原問題的泛函

(u)

（3）（4）111