廣西壯族自治區(qū)“貴百河”2024屆高三下學(xué)期4月質(zhì)量調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)“貴百河”2024屆高三下學(xué)期4月質(zhì)量調(diào)研聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則，故選：B.2.已知，為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，則，故.故選：C.3.抽樣統(tǒng)計某位學(xué)生8次的數(shù)學(xué)成績分別為，則該學(xué)生這8次成績的分位數(shù)為（）A.85 B.85.5 C.87 D.88.5〖答案〗D〖解析〗8次的數(shù)學(xué)成績由小到大排列為：，因，故分位數(shù)為，故選：D.4.被除的余數(shù)為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗因為，其中能被整除，又，所以被除的余數(shù)為.

故選：B5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗,為偶函數(shù),排除A.,排除B和C.故選:D.6.已知圓，當(dāng)圓心C到直線的距離最大時，實數(shù)的值是（）A. B. C.－3 D.3〖答案〗B〖解析〗因為圓的方程為：，化為標準方程得：，所以圓心為，半徑，直線恒過定點，當(dāng)直線與垂直時，圓心到直線的距離最大，由斜率公式得直線的斜率為：，由垂直關(guān)系的斜率公式得：，解得，故選：B．7.“升”是我國古代發(fā)明的量糧食的一種器具，升裝滿后沿升口刮平，稱為“平升”．已知某種升的形狀是正四棱臺，上、下底面邊長分別為和，高為（厚度不計），則該升的1平升約為（）（精確到）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，上底面積為，下底面積為，所以1平升為，約為.故選：B.8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a最小值為（）A. B. C.e D.〖答案〗A〖解析〗由題意得在上恒成立，，故，即，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，故a的最小值為.故選：A二、多選題9.平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別是，則（）A. B.銳角三角形C.的面積為 D.的外接圓半徑大于2〖答案〗CD〖解析〗，所以，由正弦定理得，故A錯誤；由余弦定理，得，所以角是鈍角，故B錯誤；由，得，的面積為，故C正確；設(shè)的外接圓半徑為，則，故D正確.故選：CD10.如圖，在平面四邊形ABCD中，△BCD是等邊三角形，AB⊥BD且AB＝BD，M是AD的中點．沿BD將△BCD翻折，折成三棱錐C﹣ABD，連接BM，翻折過程中，下列說法正確的是（）A.存在某個位置，使得CM與BD所成角為銳角B.棱CD上總恰有一點N，使得MN∥平面ABCC.當(dāng)三棱錐C﹣ABD的體積最大時，AB⊥BCD.∠CMB一定是二面角C﹣AD﹣B的平面角〖答案〗BC〖解析〗對A，取BD中點E，連接CE，ME，如圖，因△BCD是正三角形，有CE⊥BD，而M是AD的中點，有ME∥AB，而AB⊥BD，則ME⊥BD，CE∩ME＝E，CE，ME?平面CME，于是得BD⊥平面CME，CM?平面CME，所以CM⊥BD，A不正確；對B，取CD的中點N，連MN，因M是AD的中點，則MN∥AC，AC?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABC，B正確；對C，因，要三棱錐C﹣ABD的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點C到平面ABD距離最大，由選項A知，點C到直線BD的距離是二面角A﹣BD﹣C的平面角，當(dāng)∠CEM＝90°時，CE⊥平面ABD，即當(dāng)C到平面ABD距離最大為時，三棱錐C﹣ABD的體積最大，此時CE⊥ME，有CE⊥AB，而AB⊥BD，CE∩BD＝E，CE，BD?平面BCD，則有AB⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以AB⊥BC，C正確；對D，若∠CMB是二面角C﹣AD﹣B的平面角，則AD⊥CM，因為M為AD中點，故CA＝CD，這不一定成立，故D錯誤．故選：BC．11.拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點（點在軸的下方），則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則中點到軸的距離為4B.弦的中點的軌跡為拋物線C.若，則直線的斜率D.的最小值等于9〖答案〗BCD〖解析〗拋物線的焦點，準線方程為，設(shè)，對于A，依題意，，解得，線段中點的橫坐標，該點到軸的距離為，A錯誤；對于B，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線：，由消去x得，，則，，，設(shè)線段中點坐標為，則，消去可得，因此弦中點的軌跡為拋物線，B正確；對于C，顯然，由，得，，由選項B知，有，又，則,，因此直線的斜率，C正確；對于D，由選項B知，，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知向量的夾角為，，則________．〖答案〗〖解析〗因為，所以，．故〖答案〗為：13.已知，則_________.〖答案〗〖解析〗因為，可得，所以.故〖答案〗為：.14.設(shè)分別為橢圓左?右焦點，為橢圓的上頂點，直線與橢圓的另一個交點為.若，則橢圓的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗由題意得，，，則，直線的斜率為，即，聯(lián)立方程組，，可得，而，故，代入直線中得，故可得，由題意得，可得，化簡得，即，化簡得，同除得，且，解得.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為整數(shù)，，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，又因為，，成等比數(shù)列，所以，即，所以，聯(lián)立解得，所以.（2）由（1）可得，所以.16.11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲、乙兩人進行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球.假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨立.已知第一局目前比分為10∶10.（1）求再打兩個球甲新增的得分X的分布列和均值；（2）求第一局比賽甲獲勝的概率；（3）現(xiàn)用估計每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.解：（1）依題意，的所有可能取值為設(shè)打成后甲先發(fā)球為事件，則乙先發(fā)球為事件，且，所以，.所以的分布列為012故的均值為.（2）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件，則.由（1）知，，由全概率公式，得解得，即第一局比賽甲獲勝的概率.（3）由（2）知，故估計甲每局獲勝的概率均為，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，設(shè)甲獲勝時的比賽總局數(shù)為，因為每局的比賽結(jié)果相互獨立，所以的所有可能取值為，因此可得；故該場比賽甲獲勝的概率.17.已知四棱錐中，，，，，，（1）求證：（2）求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.（1）證明：在梯形ABCD中，，，，，可算得，,所以,所以，在中，，，滿足，所以，又平面PBD，平面PBD，且，所以平面PBD，又因為平面PBD，所以；（2）解：由（1）證明可知，平面PBD，因為平面ABCD，則平面平面ABCD，取BD中點O，連OP，OC，因為，所以，而平面ABCD，且平面平面，平面PBD，所以就是PC與平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，計算可得，所以，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為解法由證明可知，平面PBD，因為平面ABCD，則平面平面ABCD，通過計算可得，建立以，為x軸，y軸的正方向，以過D與平面ABCD垂直的向量為在z軸的正方向建立如圖空間直角坐標系，顯然z軸再平面PBD中且垂直于BD，則，，，，所以，，，設(shè)平面PBD的法向量為，則，即，取，設(shè)直線PC與平面PBD所成角為，則，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為18.已知雙曲線G的中心為坐標原點，離心率為，左、右頂點分別為，.（1）求的方程；（2）過右焦點的直線l與G的右支交于M，N兩點，若直線與交于點．（i）證明：點在定直線上：（ii）若直線與交于點，求證：．（1）解：由點，的坐標可知，離心率為，故，所以，所以雙曲線方程為；（2）證明：（ⅰ）設(shè)直線為：，聯(lián)立雙曲線得，消去得：，根據(jù)題意得：，設(shè)，，則，，，，故，直線：，因為在上，所以，直線：，直線：，令，可得，解得，故點在直線上；（ⅱ）由雙曲線對稱性可知，點也在直線上，設(shè)，，點在直線上，所以，點在直線上，所以，，所以.19.已知函數(shù)，若存在恒成立，則稱是的一個“下界函數(shù)”．（1）如果函數(shù)為的一個“下界函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，