山東省青島市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.根據(jù)變量和的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，由一元線(xiàn)性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，求得殘差圖.對(duì)于以下四幅殘差圖，滿(mǎn)足一元線(xiàn)性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差假設(shè)的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)一元線(xiàn)性回歸模型中對(duì)隨機(jī)誤差的假定，殘差應(yīng)是均值為、方差為的隨機(jī)變量的觀測(cè)值.對(duì)于A選項(xiàng)，殘差與有線(xiàn)性關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，殘差的方差不是一個(gè)常數(shù)，隨著觀測(cè)時(shí)間變大而變小，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，殘差與有非線(xiàn)性關(guān)系，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，殘差比較均勻地分布在以取值為的橫軸為對(duì)稱(chēng)軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，故D正確.故選：D.2.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.故選：C3.6個(gè)人分4張無(wú)座音樂(lè)會(huì)門(mén)票，每人至多1張，票必須分完，那么不同的分法種類(lèi)為（）A.15 B.84 C.360 D.〖答案〗A〖解析〗6個(gè)人分4張無(wú)座音樂(lè)會(huì)門(mén)票，每人至多1張，票必須分完，則有2人沒(méi)分到票，則共有種不同的分法.故選：A4.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某工廠所生產(chǎn)的一類(lèi)新型微電子芯片的厚度X（單位：）服從正態(tài)分布，且.如果芯片的厚度高于，那么就要對(duì)該芯片進(jìn)行復(fù)檢.若該工廠此芯片日產(chǎn)量平均為10000片，那么每天需要進(jìn)行復(fù)檢的產(chǎn)品大約有（）（附：若X（單位：）服從正態(tài)分布，則，，.）A.228件 B.455件 C.1587件 D.3173件〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，即與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，，所以件?/p>

所以每天需要進(jìn)行復(fù)檢的產(chǎn)品大約有件，故選：A.5.閱讀不僅可以開(kāi)闊視野，還可以提升語(yǔ)言表達(dá)和寫(xiě)作能力.某校全體學(xué)生參加的期末過(guò)程性評(píng)價(jià)中大約有的學(xué)生寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí).經(jīng)調(diào)查知，該校大約有的學(xué)生每天閱讀時(shí)間超過(guò)小時(shí)，這些學(xué)生中寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí)的占.現(xiàn)從每天閱讀時(shí)間不超過(guò)小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名，該生寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí)為事件，每天閱讀時(shí)間超過(guò)小時(shí)為事件，則，，；，，即從每天閱讀時(shí)間不超過(guò)小時(shí)的學(xué)生中隨機(jī)抽查一名，該生寫(xiě)作能力被評(píng)為優(yōu)秀等級(jí)的概率為.故選：B.6.的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（）A.5 B.4 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗∵的展開(kāi)式通項(xiàng)為，（，，，…，），∵第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，∴，∴，∴，（，，，…，），∴當(dāng)為整數(shù)，即，，，時(shí)，為有理項(xiàng)，∴展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選：B.7.從裝有個(gè)白球，個(gè)紅球的密閉容器中逐個(gè)不放回地摸取小球.若每取出個(gè)紅球得分，每取出個(gè)白球得分.按照規(guī)則從容器中任意抽取個(gè)球，所得分?jǐn)?shù)的期望為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)得分為，根據(jù)題意可以取，，.則，，，則分布列為：432所以得分期望為.故選：.8.設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，P為C上一點(diǎn)，以P為圓心作圓與l切于點(diǎn)Q，與y軸交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線(xiàn)PF的斜率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為，設(shè)點(diǎn)，則圓的半徑為，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，可得，因?yàn)椋?，解得，可得，所以直線(xiàn)PF的斜率.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題.每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下等式對(duì)于任意大于2的正整數(shù)始終成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：，對(duì)；B：，對(duì)；C：，對(duì)；D：，錯(cuò).故選：ABC10.在的展開(kāi)式中，則（）A.第1000項(xiàng)和第1024項(xiàng)的系數(shù)相同 B.第1013項(xiàng)的系數(shù)最大C.所有項(xiàng)的系數(shù)和為 D.被6除的余數(shù)為1〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則第1000項(xiàng)和第1024項(xiàng)的系數(shù)分別為，，由于，則第1000項(xiàng)和第1024項(xiàng)的系數(shù)不相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由通項(xiàng)公式可知，展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)為正的有：，其中最大，則第1013項(xiàng)的系數(shù)最大，故B正確；對(duì)于C：令，可得，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，其中都是6的倍數(shù)，，則被6除的余數(shù)為1，故D正確；故選：BD11.為激發(fā)學(xué)生寫(xiě)字練字的興趣，培養(yǎng)學(xué)生良好的書(shū)寫(xiě)習(xí)慣，提高學(xué)生規(guī)范整潔書(shū)寫(xiě)漢字的能力，引導(dǎo)學(xué)生感悟漢字魅力，弘揚(yáng)中華文化，某校舉辦漢字書(shū)寫(xiě)大賽.參加大賽的學(xué)生需要逐輪晉級(jí)最終進(jìn)入決賽.每輪晉級(jí)比賽中，兩位選手需要經(jīng)過(guò)多局比賽決出最終勝負(fù).規(guī)則要求晉級(jí)比賽雙方其中一方比對(duì)方多勝兩局，則比賽結(jié)束，勝局多者晉級(jí)；否則比賽繼續(xù)，但最多進(jìn)行五局，最終以勝局多者晉級(jí).在某輪晉級(jí)比賽中，甲乙二人對(duì)決.其中每局比賽甲同學(xué)勝乙同學(xué)的概率為，乙同學(xué)勝甲同學(xué)的概率為.則（）A.比賽經(jīng)過(guò)兩局就結(jié)束的概率為 B.甲在第四局結(jié)束后即晉級(jí)的概率為C.乙在第四局結(jié)束后即晉級(jí)的概率為 D.比賽在第五局才結(jié)束的概率為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，比賽經(jīng)過(guò)兩局就結(jié)束的概率為：，故A正確；對(duì)于B，甲在第四局結(jié)束后即晉級(jí)，則四局比賽乙勝了一局，且必須為第一或第二局，則甲在第四局結(jié)束后即晉級(jí)的概率為，故B不正確；對(duì)于C，乙在第四局結(jié)束后即晉級(jí)，則四局比賽甲勝了一局，且必須為第一或第二局，則乙在第四局結(jié)束后即晉級(jí)的概率為，故C不正確；對(duì)于D，比賽經(jīng)過(guò)二局就結(jié)束的概率為，比賽經(jīng)過(guò)四局就結(jié)束的概率為，比賽在第五局才結(jié)束的概率為：，故D正確.故選：AD.12.在平面上，設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)與C交于，兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足.設(shè)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M，N為l上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以，拋物線(xiàn)方程為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：，設(shè)直線(xiàn)方程為（由題意直線(xiàn)斜率存在），聯(lián)立可得，，故A錯(cuò)誤；又，所以，即，不妨設(shè)，則解得，，則，，所以，故B正確；由中點(diǎn)為M知，，故C錯(cuò)誤；由拋物線(xiàn)定義，，所以，故D正確.故選：BD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______.〖答案〗12〖解析〗因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式為，所以項(xiàng)為，即展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為12.故〖答案〗：12.14.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，當(dāng)，時(shí)，稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.現(xiàn)已知隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布.若隨機(jī)變量（a，b為正實(shí)數(shù)）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則________.〖答案〗〖解析〗隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，所以，因?yàn)殡S機(jī)變量（a，b為正實(shí)數(shù)）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以，所以，.即，解得，則.故〖答案〗為：.15.為督導(dǎo)疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間的安全生產(chǎn)工作，某巡視組派出甲、乙、丙、丁4名工作人員到A，B，C三家企業(yè)進(jìn)行安全排查，每名工作人員只能到一家企業(yè)工作，每家企業(yè)至少有一名工作人員進(jìn)行排查，其中甲乙二人不能到同一家企業(yè)，并且由于A企業(yè)規(guī)模不大，派一名工作人員即可，則不同的分派方案共有________種.（用數(shù)字作答）〖答案〗20〖解析〗甲?乙?丙?丁4名工作人員到A，B，C三家企業(yè)，每名工作人員只能到一家企業(yè)工作，若每家企業(yè)至少分派1名工作人員，則先將工作人員分為3組，人員數(shù)量為2,1,1，再將這3組工作人員任意分派到A，B，C三家企業(yè)即可.若A分派1名工作人員，B，C各分派1名或2名工作人員，中去掉甲乙二人到同一家企業(yè)，分配給B或C企業(yè)，最后把兩組人分給剩下兩個(gè)企業(yè)即可.則所有不同分派方案共（種）.故選：20.16.在坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，垂足為，連接交于點(diǎn)，則直線(xiàn)在軸上的截距為_(kāi)_______；若點(diǎn)到的距離為，則________.〖答案〗①②〖解析〗∵拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，∴，，∴拋物線(xiàn)的方程為，∴由題意，即（），∴，又∵，∴直線(xiàn)的方程為，由，解得，∴直線(xiàn)的方程為，（），令，則，即，∴，∴，∴直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)在軸上的截距為.∵拋物線(xiàn)的方程為，∴直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，易知直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，則到直線(xiàn)的距離，解得，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨取，則直線(xiàn)的方程為，由，消去，得，設(shè)，（），，解得，，∴，且由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)，，∴.故〖答案〗為：，.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知點(diǎn)，，中，只有一點(diǎn)不在拋物線(xiàn)上.（1）求W的方程；（2）若直線(xiàn)與W相切，證明：.解：（1）若點(diǎn)A、C在上，則，，解得，此時(shí)，點(diǎn)B不在W上；若點(diǎn)A、B在上，則，，無(wú)解；若點(diǎn)B、C在上，則，，無(wú)解；綜上，W的方程為.（2）由題知，將代入得，所以，即，所以.18.老舊小區(qū)改造一頭連著民生，一頭連著發(fā)展，是百姓看得見(jiàn)、摸得著的貼心工程，包括多層住宅加裝電梯、外墻保溫等工程.為積極推動(dòng)現(xiàn)有多層住宅加裝電梯工作，促進(jìn)居民意見(jiàn)統(tǒng)一與達(dá)成共識(shí)，某市城建局制定了《既有多層住宅加裝電梯不同樓層業(yè)主出資指導(dǎo)區(qū)間方案》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《方案》）并廣泛征求居民意見(jiàn).工作人員隨機(jī)調(diào)研了某小區(qū)多幢五層樓的居民，得到如下數(shù)據(jù)：樓層1樓2樓3樓4樓5樓意見(jiàn)同意不同意同意不同意同意不同意同意不同意同意不同意戶(hù)數(shù)812911119128164然后依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行判斷；（1）完成列聯(lián)表，并說(shuō)明能否據(jù)此推斷同意《方案》與居住樓層高于三層有關(guān)；同意《方案》不同意《方案》合計(jì)四層或五層戶(hù)數(shù)一、二、三層戶(hù)數(shù)合計(jì)（2）如果表中的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷同意《方案》與居住樓層高于三層之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)你試著解釋其中的原因.附：.0.0500.0100.00138416.63510.828解：（1）列聯(lián)表如下：同意《方案》不同意《方案》合計(jì)四層或五層戶(hù)數(shù)281240一、二、三層戶(hù)數(shù)283260合計(jì)5644100零假設(shè)為：同意《方案》與居住樓層高于三層無(wú)關(guān)，因此依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即同意《方案》與居住樓層高于三層沒(méi)有關(guān)系（2）如果表中的數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，經(jīng)計(jì)算得依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，因此可以認(rèn)為不成立，即同意《方案》與居住樓層高于三層有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01原因是每個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來(lái)的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化.19.外賣(mài)不僅方便了民眾的生活，推動(dòng)了餐飲產(chǎn)業(yè)的線(xiàn)上線(xiàn)下融合，在疫情期間更是發(fā)揮了保民生、保供給、促就業(yè)等方面的積極作用.某外賣(mài)平臺(tái)為進(jìn)一步提高服務(wù)水平，監(jiān)管店鋪服務(wù)質(zhì)量，特設(shè)置了顧客點(diǎn)評(píng)及打分渠道，對(duì)店鋪的商品質(zhì)量及服務(wù)水平進(jìn)行評(píng)價(jià)，最高分是分，最低分是分.店鋪的總體評(píng)分越高，被平臺(tái)優(yōu)先推送的機(jī)會(huì)就越大，店鋪的每日成功訂單量（即“日單量”）就越高.某班研究性學(xué)習(xí)小組計(jì)劃對(duì)該平臺(tái)下小微店鋪的總體評(píng)分（單位：分）與日單量（單位：件）之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行研究，并隨機(jī)搜索了某一天部分小微店鋪的總體評(píng)分與日單量，數(shù)據(jù)如下表.店鋪123456789101112131415x3.83.9444.14.24.34.44.54.54.64.74.74.84.9y154168179178190201214225236237248261259272284經(jīng)計(jì)算得，，，，，，.（1）若用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（回歸系數(shù)精確到）；附：，.（2）該外賣(mài)平臺(tái)將總體評(píng)分高于分的店鋪評(píng)定為“精品店鋪”，總體評(píng)分高于但不高于分的店鋪評(píng)定為“放心店鋪”，其他為“一般店鋪”.平臺(tái)每次向顧客推送一家店鋪時(shí)，推送“精品店鋪”的概率為，推送“放心店鋪”的概率為，推送“一般店鋪”的概率為.若該外賣(mài)平臺(tái)向某位顧客連續(xù)推送了三家店鋪，設(shè)推送的“精品店鋪”或“放心店鋪”數(shù)量為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望與方差.解：（1）由題意知，，，∴關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）該外賣(mài)平臺(tái)每次向顧客推送“精品店鋪”或“放心店鋪”的概率為，該外賣(mài)平臺(tái)向某位顧客連續(xù)推送了三家店鋪，推送的“精品店鋪”或“放心店鋪”數(shù)量為隨機(jī)變量，則，，，.方法一：由題意，服從二項(xiàng)分布，即，∴的數(shù)學(xué)期望為，的方差為.方法二：由題意，的每個(gè)可能取值的概率為：；；；，∴隨機(jī)變量X的分布列為∴的數(shù)學(xué)期望為，的方差為.20.中國(guó)結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對(duì)稱(chēng)精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國(guó)人喜愛(ài).它有著復(fù)雜奇妙的曲線(xiàn)，卻可以還原成單純的二維線(xiàn)條，其中的“八字結(jié)”對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線(xiàn)中的伯努利雙紐線(xiàn).在平面上，我們把與定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為伯努利雙紐線(xiàn)，，為該曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn).數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利曾將該曲線(xiàn)作為橢圓的一種類(lèi)比開(kāi)展研究.已知曲線(xiàn)是一條伯努利雙紐線(xiàn).（1）求曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）試判斷曲線(xiàn)C上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O），使得以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.如果存在，求出A，B坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）方法一：設(shè)焦點(diǎn)，，曲線(xiàn)與x軸正半軸交于點(diǎn)，由題意知，于是，，因此，；方法二：設(shè)焦點(diǎn)，，由題意知，即，整理得，于是，.因此，，；（2）假設(shè)曲線(xiàn)C上存在兩點(diǎn)A，B，使得以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，即，由題意知直線(xiàn)OA，OB斜率均存在，不妨設(shè)直線(xiàn)OA的方程為，直線(xiàn)OB的方程為，將直線(xiàn)OA的方程與曲線(xiàn)C聯(lián)立，得，即.解得，同理，因此不可能成立，于假設(shè)不成立，即曲線(xiàn)C上不存在兩點(diǎn)A，B，使得以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.21.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)，點(diǎn)在，但不在軸上，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，（點(diǎn)在，之間），.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）連接，分別交拋物線(xiàn)于，，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)斜率為，求證：為定值.解：（1）因?yàn)榕c軸交于點(diǎn)，，