四川省德陽(yáng)市2024屆高三下學(xué)期“三診”考試數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省德陽(yáng)市2024屆高三下學(xué)期“三診”考試數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷(選擇題)一、選擇題1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合，，又，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B2.歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位i，cosθ和sinθ聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，若復(fù)數(shù)滿足，則正確的是（）A.的共軛復(fù)數(shù)為 B.的實(shí)部為1C.的虛部為i D.的模為1〖答案〗D〖解析〗由可得，所以，可得，所以的共軛復(fù)數(shù)為，即A錯(cuò)誤；的實(shí)部為0，即B錯(cuò)誤；的虛部為，所以C錯(cuò)誤；的模為1，可知D正確.故選：D3.在的展開式中的系數(shù)是（）A.30 B.35 C.55 D.60〖答案〗C〖解析〗由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得展開式中含的項(xiàng)包括兩項(xiàng)，即，所以展開式中的系數(shù)是55.故選：C4.已知函數(shù)，且，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，解得，所以.故選：B5.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)流程框圖可知，第一次計(jì)算結(jié)果為；第二次循環(huán)計(jì)算可得；第三次循環(huán)計(jì)算可得，不滿足，循環(huán)結(jié)束，此時(shí)輸出.故選：A6.已知向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足約束條件，則的最大值為（）A. B.2 C. D.3〖答案〗D〖解析〗易知，所以約束條件即為，畫出可行域如下圖陰影部分所示：將目標(biāo)函數(shù)變形可得，當(dāng)其在軸上的截距最小時(shí)，的取值最大；對(duì)直線，令，則，則，顯然當(dāng)直線平移到過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最大值3.故選：D7.2023年7月28日至8月8日，第31屆世界夏季大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都市舉行，組委會(huì)將5名大學(xué)生分配到A，B，C三個(gè)路口進(jìn)行引導(dǎo)工作，每個(gè)路口至少分配一人，每人只能去一個(gè)路口．若甲、乙要求去同一個(gè)路口，則不同的分配方案共有（）A.18種 B.24種 C.36種 D.48種〖答案〗C〖解析〗第一步：先將5名大學(xué)生分成三組，每組人數(shù)為1，1，3或1，2，2；當(dāng)分為1，1，3時(shí)，且甲、乙要求去同一個(gè)路口，則甲、乙必須在3人組，因此只需從剩下的3人中任選一人，其余兩人各自一組，共有種分法；當(dāng)分為1，2，2時(shí)，且甲、乙要求去同一個(gè)路口，則將剩下的3人分成兩組即可，共有種分法；第二步：再將分好的三組人員分配到三個(gè)路口，共有種分配方案；因此共種.故選：C8.α，β，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)棣粒?，γ為不同的平面，m，n，l為不同的直線，則m⊥β的一個(gè)充分條件是，選A.9.如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系．(a，b．為常數(shù))，若該果蔬在7℃的保鮮時(shí)間為288小時(shí)，在21℃的保鮮時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度(假設(shè)物流過(guò)程中恒溫)最高不能超過(guò)（）A.14℃ B.15℃ C.13℃ D.16℃〖答案〗A〖解析〗依題意，，則，即，顯然，設(shè)物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度為t℃，于是，解得，因此，所以物流過(guò)程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度最高不能超過(guò)14℃.故選：A10.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為，則該多面體外接球的表面積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗將“阿基米德多面體”補(bǔ)全為正方體，如下圖所示：不妨取兩棱中點(diǎn)為，由題知，易知，可得，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，該多面體的外接球即為正方體的棱切球，所以棱切球的直徑為該正方體的面對(duì)角線，長(zhǎng)度為，因此該多面體的外接球的半徑為，所以其表面積為.故選：A.11.設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若則C的離心率為（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗令雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)，則，即有，，同理，而，故，因此，即，所以雙曲線C的離心率.故選：D.12.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，，則不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，則；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在上單調(diào)遞減；又，所以，即；所以函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，不等式變形為，即；可得，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：C.第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題13.已知函數(shù)f(x)═cos(x+θ)是奇函數(shù)，則θ的最小正值為___________．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，則的最小正值為.故〖答案〗為：.14.在中，角的對(duì)邊分別為；已知,若向量滿足，則的面積為__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意由可得，整理可得；又可知，即可得，解得；所以的面積為.故〖答案〗為：15.已知兩點(diǎn)，若直線上存在唯一點(diǎn)P滿足，則實(shí)數(shù)m的值為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)，則，由，得，因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，顯然直線與此圓相切，則，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為.故〖答案〗為：16.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，若拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P，則的最小值為_______．〖答案〗5〖解析〗由拋物線可知，顯然直線的斜率一定存在，可設(shè)直線的方程為，；如下圖所示：聯(lián)立拋物線和直線的方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得；利用焦點(diǎn)弦公式可得；由可得，求導(dǎo)可得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，由，整理可得；同理可得點(diǎn)處的切線方程為；聯(lián)立解得，即；可得；所以，令，則；利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為5.故〖答案〗為：5三、解答題17.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且的前n項(xiàng)和為，在①，②這兩個(gè)條件中任選其中一個(gè)，完成下面問(wèn)題的解答．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是否存在，使得若存在，求出所有滿足題意的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得；所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為設(shè)等比數(shù)列的公比為，若選擇條件①，，由且，可得，即，解得，所以是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，可得；即數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選擇條件②，，令，則，所以公比，此時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，即是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以（2）假設(shè)滿足題意得存在，因，所以，兩式相減可得；所以，因?yàn)?，所以；所以由可得，即，又，所以，即，解得，因此滿足題意的存在，且.18.某公司為了確定下季度的前期廣告投入計(jì)劃，收集并整理了近6個(gè)月廣告投入量x(單位：萬(wàn)元)和收益y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如表(其中有些數(shù)據(jù)污損不清)：月份123456廣告投入量2

7810

收益

20303437

他們分別用兩種模型①，②進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型?（2）殘差絕對(duì)值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除．（i）剔除異常數(shù)據(jù)后，求出（1）中所選模型的回歸方程；（ii）若廣告投入量x=19，則（1）中所選模型收益的預(yù)報(bào)值是多少萬(wàn)元?(精確到0.01)附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：.解：（1）由于模型①殘差波動(dòng)小，應(yīng)該選擇模型①.（2）（i）剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，，，，，，所以所選模型的回歸方程為.（ii）若廣告投入量，則該模型收益的預(yù)報(bào)值是(萬(wàn)元).19.如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，，D為的中點(diǎn)，過(guò)的平面交棱于E，交于F．（1）求證:平面⊥平面；（2）若是等邊三角形，，求二面角的正弦值．（1）證明：連接，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，D為BC的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，所以平面，又，所以平面，又平面，所以平面平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，?1)可知平面，則兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)作的平行線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，因?yàn)槭堑冗吶切危?，所以則，設(shè)平面的法向量為，由，令，得.易知平面的一個(gè)法向量為，記二面角的大小為，則，故二面角正弦值為.20.已知橢圓的離心率為其左右焦點(diǎn)分別為下頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，的面積為（1）求橢圓C的方程;（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線交C于M、N兩點(diǎn)，且直線的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍．解：（1）依題意，又，又，所以，所以橢圓C的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線：，，聯(lián)立直線和橢圓，化簡(jiǎn)得，由題意可知，即，且，則，又直線的斜率依次成等比數(shù)列.即，則，所以且，設(shè)點(diǎn)O到直線的距離為，又，所以，令，，顯然在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即，所以，故面積的取值范圍為.21.設(shè)函數(shù)，．（1）試研究在區(qū)間上的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則在上單調(diào)遞增，即有，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，所以在區(qū)間上沒有極值點(diǎn).（2）由（1）知，當(dāng)，則，設(shè)，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，則對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求導(dǎo)得，顯然，而函數(shù)在上的圖象連續(xù)不斷，則存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的，均有，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，即，不符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.請(qǐng)考生在22、23二題中任選一題作答．[選修4--4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的普通方程和直線l的極坐標(biāo)方程；（2）點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為D，求線段PD的長(zhǎng)．解：（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參