山西省忻州市定襄縣閆徐莊學(xué)校高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

山西省忻州市定襄縣閆徐莊學(xué)校高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（理科）若函數(shù),且,則下列不等式必定成立的是A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）上任一點(diǎn)（x0，f（x0）），且在該點(diǎn)處的切線斜率為k=a（x0﹣1）（x0+2）2（a＜0），則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（﹣2，1） D．[﹣2，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】令a（x0﹣1）（x0+2）2≤0，解關(guān)于x的不等式即可．【解答】解：由題意可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為a（x0﹣1）（x0+2）2（a＜0），函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0即可，因此使a（x0﹣1）（x0+2）2≤0，得x0≥1，故選：A．3.設(shè)集合，則（

）A．

B．

C．或

D．參考答案：B4.已知＜x＜，則tan為A. B. C.2 D.參考答案：A，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得，，所以，選A.5.設(shè)，則A.

B.

C.

D.參考答案：A6.中心角為60°的扇形，它的弧長(zhǎng)為2，則它的內(nèi)切圓半徑為

（

）

A．2

B．

C．1

D．參考答案：A略7.曲線和直線在y軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1，P2，P3，…，則|P2P4|等于

（

）（A）

（B）2

（C）3

（D）4參考答案：答案：A解析：∵＝，∴根據(jù)題意作出函數(shù)圖象即得．選A．

8.若函數(shù)滿足，且時(shí)，，函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

（

）

A．8

B．9

C．10

D．13參考答案：B由可知函數(shù)的周期是2.由得，分別做出函數(shù)的圖象，由圖象可知兩函數(shù)的交點(diǎn)有9個(gè)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè)，選B.9.已知||=2，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【專題】方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用．【分析】利用平面向量投影的定義，列出方程求出與夾角的余弦值，即可得出夾角大?。窘獯稹拷猓河浵蛄颗c向量的夾角為θ，∴在上的投影為||cosθ=2cosθ．∵在上的投影為，∴cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴θ=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量投影的定義與應(yīng)用問(wèn)題，基礎(chǔ)題目．10.設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C設(shè),由有,解得,所以,選C.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若有窮數(shù)列滿足，就稱該數(shù)列為“相鄰等和數(shù)列”，已知各項(xiàng)都為正整數(shù)的數(shù)列{an}是項(xiàng)數(shù)為8的“相鄰等和數(shù)列”，且，則滿足條件的數(shù)列{an}有

個(gè)．參考答案：4設(shè)，由題意知，，，.∵數(shù)列各項(xiàng)都為正整數(shù)，∴，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè).12.設(shè)函數(shù)向左平移單位后得到的函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，則φ=

．參考答案：﹣【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角弦函數(shù)的奇偶性，求得φ的值．【解答】解：函數(shù)向左平移單位后得到的函數(shù)y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的圖象，根據(jù)所得函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，則+φ=kπ+，k∈Z，可得φ=﹣，故答案為：．13.設(shè)A、B為在雙曲線上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OA丄OB,則ΔAOB面積的最小值為_(kāi)_____參考答案：略14.在中，BC=，AC=2，的面積為4，則AB的長(zhǎng)為 。參考答案：4或15.（5分）（2015?浙江模擬）函數(shù)f（x）=sinx+cosx的單調(diào)增區(qū)間為，已知sinα=，且α∈（0，），則f（α﹣）=．參考答案：[2kπ﹣，2kπ+]，【考點(diǎn)】：正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)的值．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：利用輔助角公式將三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得k∈Z，故函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ﹣，2kπ+]，∵sinα=，且α∈（0，），∴cosα=，f（α）=sin（α+）=sin（α+）=[sinαsin+cosαcos]=，故答案為：[2kπ﹣，2kπ+]，．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．16.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如右圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：（1）從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為

.；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)

小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.參考答案：（1）

（2）17.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是_____.參考答案：2【分析】本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，令實(shí)部為0即得a的值.【詳解】，令得.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，虛部的定義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（為正整數(shù)）

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若對(duì)任意正整數(shù)，是否存在，使得恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)的最大值；若不存在，說(shuō)明理由。參考答案：解析:因①時(shí)②由①－②得………………4分又得，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比的等比數(shù)列………………………6分(Ⅱ)假設(shè)滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)k，則………8分由題意知，對(duì)任意正整數(shù)n恒有又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增所以，當(dāng)時(shí)數(shù)列中的最小項(xiàng)為，則必有，則實(shí)數(shù)k最大值為1…………12分19.已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）若軸與以為直徑的圓相切，求該圓的方程；（Ⅱ）若直線與軸負(fù)半軸相交，求面積的最大值．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）

（Ⅰ）聯(lián)立，消并化簡(jiǎn)整理得．依題意應(yīng)有，解得．設(shè)，則，設(shè)圓心，則應(yīng)有．因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切，得到圓半徑為，又．所以，解得．

所以，所以圓心為．故所求圓的方程為．（Ⅱ）因?yàn)橹本€與軸負(fù)半軸相交，所以，又與拋物線交于兩點(diǎn)，由（Ⅱ）知，所以，直線：整理得，點(diǎn)到直線的距離，所以．

令，，，由上表可得的最大值為．所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值．20.“中國(guó)人均讀書(shū)4.3本（包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書(shū)），比韓國(guó)的11本、法國(guó)的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書(shū)最少的國(guó)家.”這個(gè)論斷被各種媒體反復(fù)引用，出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無(wú)疑是令人尷尬的，而且和其他國(guó)家相比，我國(guó)國(guó)民的閱讀量如此之低，也和我國(guó)是傳統(tǒng)的文明古國(guó)、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書(shū)興趣，特舉辦讀書(shū)活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站，由于不同年齡段需看不同類型的書(shū)籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書(shū)人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問(wèn)：（1）估計(jì)在40名讀書(shū)者中年齡分布在的人數(shù)；（2）求40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從年齡在的讀書(shū)者中任取2名，求這兩名讀書(shū)者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1）由頻率分布直方圖知年齡在的頻率為，所以40名讀書(shū)者中年齡分布在的人數(shù)為.（2）40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)為.設(shè)中位數(shù)為，則解得，即40名讀書(shū)者年齡的中位數(shù)為55.（3）年齡在的讀書(shū)者有人，年齡在的讀書(shū)者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：012數(shù)學(xué)期望.21.已知函數(shù)，設(shè)。（1）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若以圖象上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值。（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象與的圖象恰好有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：解.(Ⅰ)

由。

------4分（Ⅱ）

當(dāng)

…………8分（Ⅲ）若的圖象與的圖象恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，即有四個(gè)不同的根，亦即有四個(gè)不同的根。

------------------------10分令，則。當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：(-1,0)(0,1)(1,)的符號(hào)+-+-的單調(diào)性↗↘↗↘由表格知：。-----12分畫(huà)出草圖和驗(yàn)證可知，當(dāng)時(shí)，……14分。

略22.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log2an，cn=an?bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）首先利用Sn與an的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1；結(jié)合已知條件等式推出數(shù)列{an}是等比數(shù)列，由此求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）首先結(jié)合（1）求得bn=log2an=log22n=n，cn=an?bn=n?2n，然后利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可．【解答】解：（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，可得an﹣Sn﹣1=2，n≥2，相減可得an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，即為an+1=2an，由a2﹣S1=