貴州省畢節(jié)市2023年高考數(shù)學一模試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知傾斜角為e的直線/與直線x+2y—3=0垂直，則sin?=（）

A"R君「2君n275

A.-B.——C.-------U.----------

5555

2.本次模擬考試結束后，班級要排一張語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表，若化學排在生物

前面，數(shù)學與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有（）

A.72種B.144種C.288種D.360種

3.一輛郵車從A地往8地運送郵件，沿途共有“地，依次記為A,4,…A（A為A地，A為B地）.從A地出

12n1n1

發(fā)時，裝上發(fā)往后面〃-1地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件，同時裝上該地發(fā)往后面各

地的郵件各1件，記該郵車到達A,A,…A各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為巴（左=1,2,,n）,則。的表達式為

12nkk

（）.

A.k(n-k+\)B.k(n-k-l)c.n(n-k)D.k(n—k)

4.兩圓（x+a>+y2=4和x2+（y-b>=1相外切，且"wO,則的最大值為（）

Q2+抗

91

A.B.9C.-D.1

v43

5.下列選項中，說法正確的是（）

A.6TxeR,X2-x?0”的否定是“三1wR,%2-%>09,

00000

B.若向量Z石滿足，則￡與〃的夾角為鈍角

C.若Q7772《力加2,pllja<b

D,“X￡（AUB）”是“不￡（4門3）”的必要條件

6.設函數(shù)/（X）在衣上可導，其導函數(shù)為/'（x）,若函數(shù)/G）在x=l處取得極大值，則函數(shù)丁=一礦（。的圖象可

能是（)

7.己知函數(shù)/(x)=3x+2cosx,若。=/(3石)，b=f(2),c=/Qog,7),則0b,c的大小關系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

已知數(shù)列M｝的通項公式是?！璱nn)

8.niijci+〃+。+???+〃—()

nnI2)'I2312

A.0B.55C.66D.78

%2+3v

9.已知X〉O,y>0,x+2y=3,則:——二的最小值為)

孫

A.3-272B.272+1C.霹一1D.72+1

10.已知復數(shù)z=a+i,ae/?,若lzl=2,則a的值為()

B.乖C.±1D.±73

11.已知函數(shù)/Q）=7,關于刀的方程尸（x）+（/〃+l）.f（x）+m+4=0（機GR）有四個相異的實數(shù)根，則m的取值范

圍是（）

A.-4,-e---B.(-4,-31C.-e---,-3D.-e--

[e+1J[e+1)Ie+1

⑵設i則/（/（一2））=（）

113

-1B4C2D2

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知圓柱的上下底面的中心分別為?！?。2,過直線電的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該

圓柱的體積為.

|X2+5x+4|,x<0

14.已知函數(shù)/（%）=<若函數(shù)y=/（x）-。忖恰有4個零點，則實數(shù)。的取值范圍是

2|x-2|,x>0

X2V2

15.已知雙曲線--一=1（。>>>0）的左右焦點分別關于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率為_____

。2a

x+3y-3<0

16.已知實數(shù)（x,y）滿足<x-y+120則點尸G,y）構成的區(qū)域的面積為一，2x+y的最大值為

y^-1

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

39

17.（12分）已知橢圓C:X而2+V,2=1（。>0>0）的左右焦點分別是。J點尸（I，?在橢圓。上，滿足

（1）求橢圓c的標準方程;

（2）直線（過點尸，且與橢圓只有一個公共點，直線｛與（的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點P的兩點M,N,與

直線x=l交于點K（K介于M,N兩點之間），是否存在直線/使得直線（，I,的斜率按某種排序能構

212

成等比數(shù)列？若能，求出/,的方程，若不能，請說理由.

18.（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，

直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.

（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；

（2）已知每檢測一件產品需要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單

位：元），求X的分布列.

19.（12分）在AABC中，內角4B,C的對邊分別是a，b,c,已知（a-盤）sin4+從in8=csinC.

（1）求角。的值；

（2）若sinAsin8=也旦，c=2,求AABC的面積.

4

20.（12分）如圖，在直三棱柱中A5C-4BC,。、E、F、G分別是3C,BC,AA,CC中點，且AB=AC=，

11III11V

BC=AA=4

1

（D求證：8C_L平面ADE；

（2）求點D到平面EFG的距離.

21.（12分）如圖，在斜三棱柱ABC—4Pq中，平面ABC_L平面44cq,CC=2,^ABC,,均為

正三角形，E為A5的中點.

（I）證明：ACJ/平面qCE；

（II）求斜三棱柱ABC-Agq截去三棱錐B-CBE后剩余部分的體積.

22.（10分）某商場舉行優(yōu)惠促銷活動，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.

方案一：每滿10。元減20元；

方案二：滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個紅球、2個白球的箱子隨機取出3個球（逐個有放回地抽?。?，所

得結果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）

紅球個數(shù)3210

實際付款7折8折9折原價

（1）該商場某顧客購物金額超過100元，若該顧客選擇方案二，求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;

（2）若某顧客購物金額為180元，選擇哪種方案更劃算？

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

傾斜角為0的直線/與直線x+2y-3=0垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數(shù)基本關系式即可得

出結果.

【詳解】

解：因為直線/與直線x+2y-3=0垂直，所以tane(-g)=-1,tan9=2.

又0為直線傾斜角，解得sin0=苧.

故選：D.

【點睛】

本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，同角三角函數(shù)基本關系式，考查計算能力，屬于基礎題.

2.B

【解析】

利用分步計數(shù)原理結合排列求解即可

【詳解】

第一步排語文，英語，化學，生物4種，且化學排在生物前面，有A2=12種排法；第二步將數(shù)學和物理插入前4科

4

除最后位置外的4個空擋中的2個，有加=12種排法，所以不同的排表方法共有12x12=144種.

4

選B.

【點睛】

本題考查排列的應用，不相鄰采用插空法求解，準確分步是關鍵，是基礎題

3.D

【解析】

根據(jù)題意，分析該郵車到第攵站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目，進而計算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，該郵車到第左站時，一共裝上了("-1)+(〃-2)+……(/_")=Q"7二幻xk件郵件,

需要卸下1+2+3+……(k-l)="x(f二，件郵件,

2

(2w-l-Z)x&kx(k-l)

則a=------------------------=k(n-k)，

k22

i1!^：D.

【點睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的應用，屬于中檔題.

4.A

【解析】

由兩圓相外切，得出42+6=9,結合二次函數(shù)的性質，即可得出答案.

【詳解】

因為兩圓G+a>+y2=4和x2+(y—6>=1相外切

所以“2+拉=3，即”2+〃2=9

a2b2

42+b2

9a2b28119

當。2=］時,取最大值丁XK=7

。2+1)2494

故選：A

【點睛】

本題主要考查了由圓與圓的位置關系求參數(shù)，屬于中檔題.

5.D

【解析】

對于4根據(jù)命題的否定可得：叼Xo^R,Xo2-x(n)''的否定是“VxWR,x2-x>0”，即可判斷出；對于8若向量￡石滿足

ab<Q,則。與A的夾角為鈍角或平角；對于C當wi=O時，滿足加124>，”2,但是。勁不一定成立；對于。根據(jù)元素

與集合的關系即可做出判斷.

【詳解】

選項A根據(jù)命題的否定可得：叼XgCR,的否定是“VxGR,X2-X>0"，因此A不正確;

選項3若向量￡石滿足￡.〃<(),則￡與萬的夾角為鈍角或平角，因此不正確.

選項C當機=0時，滿足a,“切W22,但是“切不一定成立，因此不正確;

選項0若“xe（AnB），，，則xeA且xeB,所以一定可以推出“xe（A|j8）”，因此“xe（AuB）”是“％6（4口8）”

的必要條件，故正確.

故選：D.

【點睛】

本題考查命題的真假判斷與應用，涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質、向量夾角與性質、集合性質等,

屬于簡單題.

6.B

【解析】

由題意首先確定導函數(shù)的符號，然后結合題意確定函數(shù)在區(qū)間（-8，0），（°，1），（1，+8）和X=O,X=1處函數(shù)的特征即可

確定函數(shù)圖像.

【詳解】

?.?函數(shù)/（X）在衣上可導，其導函數(shù)為了'（X）,且函數(shù)/G）在X=1處取得極大值，

.?.當x>i時，/'G）<o；當x=i時，y,G）=o.當x<i時，/,G）>o.

.,.x<0時，y=-xf'（x）>0,0cx<1時，y=-xf'（x）<0,

當x=O或尤=1時，y=-V'（x）=0；當x>l時，-V'（x）>0.

故選：B

【點睛】

根據(jù)函數(shù)取得極大值，判斷導函數(shù)在極值點附近左側為正，右側為負，由正負情況討論圖像可能成立的選項，是判斷

圖像問題常見方法，有一定難度.

7.D

【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性的關系分析可得Ax）在/?上為增函數(shù)，又由

2=log4<log7<3<3<,分析可得答案.

22

【詳解】

解：根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=3x+2cosx,其導數(shù)函數(shù)r（x）=3-2sinx,

則有:（x）=3-2sinx>0在R上恒成立，

則/a）在R上為增函數(shù)；

又由2=log4<log7<3<3（,

22

則〃<c<a；

故選：D.

【點睛】

本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，涉及函數(shù)單調性的性質，屬于基礎題.

8.D

【解析】

先分〃為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出兀］的值，可進一步得到數(shù)列｛5｝的通項公式，然后代入

+?+?+---+?2轉化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結果.

【詳解】

.(2n+\\.(兀、.(兀、.3兀.

解：由題意得，當〃為奇數(shù)時，sinl-^―7il=sinInTi+-l=sinl7i+-.l=sin—=-l,

.f2n+lA.(兀).兀.

當〃為偶數(shù)時，sinl7il=sinl?n+-l=sin-=l

所以當〃為奇數(shù)時，a=一〃2；當〃為偶數(shù)時，a=〃2,

nn

切所以以〃I+a2+a3J+a12

=-12+22-32+42-----112+122

=(22-12)+(42-32)H---1-(122-112)

=(2+D(2-1)+(4+3)(4-3)+…+(12+11)(12-11)

=1+2+3+4+…+11+12

_12x(1+12)

2

=78

故選：D

【點睛】

此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質應用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔

題.

9.B

【解析】

2金=上士辿二+1+至21+2區(qū)忑=1+2"，選B

xyxyyxVyx

10.D

【解析】

由復數(shù)模的定義可得：回=&2+1=2,求解關于實數(shù)。的方程可得：a=±3

本題選擇D選項.

11.A

【解析】

ex

一,x>0/\

/(x)=I={X，當x>o時;(X)=1^2^=0,%=1/式0,1)時,，(》)單調遞減，xe(l,4w)^y(x)

x

\\exn尤2

.x

單調遞增，且當無€(0』)時,/(x)e(e,M),當龍式1,+?)時,/(x)e(e,+?),當x<0時，/(x)=_。'I)〉。恒

X2

成立，xeJ。,0)時,/(x)單調遞增且f(x)e(0,+8)，方程f2(x)+(/n+1)/G)+加+4=0(meR)有四個相異的

實數(shù)根.令f(x)=t,t2+(m+1%+加+4=o則

0<t<e,t>e,e2+C”+1)e+機+4<0,且02+C”+1)0+機+4>0,即，〃e1-4,-e-.

考點：復合函數(shù)求值.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.54兀

【解析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.

【詳解】

解：因為軸截面是正方形，且面積是36,

所以圓柱的底面直徑和高都是6

V=7tnh=兀x32x6=54TC

故答案為：5471

【點睛】

考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎題.

14.（1,3）

【解析】

函數(shù)y=/'（x）-恰有4個零點，等價于函數(shù)/（X）與函數(shù)y=a|x|的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象，利用

數(shù)形結合思想進行求解即可.

【詳解】

函數(shù)y=/（x）-。|可恰有4個零點，等價于函數(shù)/'（X）與函數(shù)y=a|x|的圖象有四個不同的交點，畫出函數(shù)圖象如下圖

故答案為：（1,3）

【點睛】

本題考查了已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結合思想和轉化思想.

15.6

【解析】

雙曲線竺-"=13>0,/,>0）的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1,即6=。,

。2匕2

即可求出雙曲線的離心率.

【詳解】

解：?.?雙曲線上-21=13>0力>0）的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，

，一條漸近線的斜率為1,即6=。，

c=ylla，-'■€=—=\/2,

a

故答案為：-J2-

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關鍵，屬于基礎題.

16.811

【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.

【詳解】

不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：

數(shù)形結合可知，可行域為三角形，且底邊長8c=8,高為2,

故區(qū)域面積S=Jx8x2=8；

令z=2x+y,變?yōu)閥=-2x+z,

顯然直線y=-2x+z過8(6,-1)時，z最大，故z=2x6—1=11.

max

故答案為：8；H.

【點睛】

本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

光2V2

17.(1)—+4r=l；(2)不能，理由見解析

43

【解析】

(1)設爪一c，O),尸(。,0),則尸/PL=1-C2+3線，由此即可求出橢圓方程;

12]244

311

(2)設直線〈的方程為>一3=左(》-1),聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得火=-不，則直線/,斜率為不，設其方程為

12222

y=：x+f,Ma,>),N(x,y),聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理可得PM/N關于x=l對稱，可求得

21122

k=-；,k=1,假設存在直線/,滿足題意，設k=_k,k=k,可得％=(，由此可得答案.

/121222PMPN2

【詳解】

解：(1)設廠(一c,O),F(c,O),則P尸.P尸=1-c'2+2=義，

121244

，c=l,a=2,枕=3,

所以橢圓方程為￥+==1;

43

(2)設直線1的方程為y—g=攵(x-l),

與二+2_1=1得(3+4A：2)X2+4k(3-2k)x+(3-2k)2-12=0,

43

I.A=0,^=--,

2

因為兩直線的傾斜角互補，所以直線/，斜率為:，

設直線的方程為y=+),N(X,y),

2??22

聯(lián)立整理得+優(yōu)+"-3=0,A>0/2<4,x+x=-t,xx=Z2-3,

I2I2

_3_3

)；一2/-2XX+("2)(x+x)-(2f-3)

：?k+k---------+............-=—i—a----------------------12--------------=0’

PMPNx-1x-1(x-l)(x-1)

I212

所以PM,PN關于X=1對稱,

PMMKPN_NK

由正弦定理得

sinZPKMsin/MPKsinZPKN~sinZNPK

因為ZMPK=ZNPK,NPKM+ZPKN=180。,所以|尸叫?|MV|二|PN卜|利q,

,1,1

由上得=2'

假設存在直線/,滿足題意，

^kpM=-k，kpN=k,—)，:，一左水按某種排列成等比數(shù)列，設公比為%則q=T,

所以女=；,則此時直線PN與/,平行或重合，與題意不符，

所以不存在滿足題意的直線

【點睛】

本題主要考查直線與橢圓的位置關系，考查計算能力與推理能力，屬于難題.

3

18.(1)—；(2)見解析.

【解析】

(1)利用獨立事件的概率乘法公式可計算出所求事件的概率；

(2)由題意可知隨機變量X的可能取值有200、300、400,計算出隨機變量X在不同取值下的概率，由此可得出

隨機變量X的分布列.

【詳解】

(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A,則pQ)=3x3=2_；

5410

(2)由題意可知，隨機變量X的可能取值為200、300、400.

則尸(X=200)=絲=-1,尸(X=300)=+Cf"；=』,

A210A310

55

1QQ

P(X=400)=1-p(x=200)-=300)=l----=1.

10105

故X的分布列為

X200300400

133

P

10105

【點睛】

本題考查概率的計算，同時也考查了隨機變量分布列，考查計算能力，屬于基礎題.

「兀L

19.(1)C=_(2)1+J3

6;

【解析】

(1)由已知條件和正弦定理進行邊角互化得成+b2-C2=@b,再根據(jù)余弦定理可求得值.

(2)由正弦定理得。=4sinA,Z,=4sinB,代入得“6=4(1+石)，運用三角形的面積公式可求得其值.

【詳解】

(1)由(a-J5^)sinA+加in8=csinC及正弦定理得(a-@?)a+ZnC2,即成+從一02=

由余弦定理得cosC="匕竺工=蟲，VO<C<K,.-.C=-.

2ab26

2R=c_2_4

(2)設AABC外接圓的半徑為R,則由正弦定理得一而下―一^一，

sin—

6

：.a=2RsinA=4sinA,/?=27?sinB=4sinB,ab=16sinAsinB=4(1+>/3)

S=—absinC=—x4(l+Ji)x-L=l+J3.

MBC222

【點睛】

本題考查運用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，關鍵在于熟練地運用其公式，合理地選擇進行邊角

互化，屬于基礎題.

20.(1)詳見解析；(2)任.

3

【解析】

(1)利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；

(2)取OE中點為，，則FH〃A。,證得由，平面3CC8,利用等體積法丫=V求解即可.

=11D-EFGF-DEG

【詳解】

(1)因為A8=AC=2Vr,BC=4,

ABLAC,?.?。是BC的中點，.?.AD_L6C,

ABC-qqq為直三棱柱，所以平面ABC,

因為DE為BC,8c中點，所以OE//A4

111

DE_L平面ABC,QE，BC,又ADcDE=D,

：.平面APE

(2)?；AB=AC=2&，BC=4,

又瓦￡G分別是8C,A4,CC中點，

111

EF=FG=EG=272.

由(1)知AD_LBC,BB1AZ),

又BBQBC=BAD,平面BCCB,

取。E中點為，，連接OG如圖,

則FH//_\D,FH，平面BCCB,

-1I

設點D到平面EFG的距離為h,

由丫=V,得=LFHS

D-EFGF-DEG3>EFG3DEG

?"網")=1x2x1x272x272,解得〃=里,

即1

34323

???點D到平面EFG的距離為理3.

3

【點睛】

本題考查線面垂直的判定定理和性質定理、等體積法求點到面的距離；考查邏輯推理能力和運算求解能力；熟練掌握

線面垂直的判定定理和性質定理是求解本題的關鍵；屬于中檔題.

5

21.(I)見解析；(H),

【解析】

(I)要證明線面平行，需先證明線線平行，所以連接3Q,交qC于點M,連接ME,證明ME//AQ；

(II)由題意可知點々到平面A5C的距離等于點￡到平面ABC的距離，根據(jù)體積公式剩余部分的體積是

V-V

ABC-A^^B[-BCE*

【詳解】

(I)如圖，連接3q,交4C于點連接ME,