人教A版高中數(shù)學(xué)必修5.1.2 弧度制（一）

5.1.2弧度制本節(jié)課是普通高中教科書人教A版必修第一冊第五章第一節(jié)第二課，本節(jié)課起著承上啟下的作用:在前面學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過角的度量單位“度”，并且上節(jié)課學(xué)了任意角的概念,將角的概念推廣到了任意角;本節(jié)課作為三角函數(shù)的第二課時,該課的知識還是后繼學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)等知識的理論準(zhǔn)備,因此本節(jié)課還起著啟下的作用。通過本節(jié)弧度制的學(xué)習(xí),我們知道實數(shù)與角之間一一對應(yīng)的關(guān)系，而且在弧度制下的弧長公式與扇形面積公式有了更為簡單形式。另外弧度制為今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)帶很大方便。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解角集與實數(shù)集的一一對應(yīng)，熟練掌握角度制與弧度制間的互相轉(zhuǎn)化；B.能靈活運用弧長公式、扇形面積公式解決問題；C.找出弧度與角度換算的方法，領(lǐng)悟從特殊到一般的思想方法。1.數(shù)學(xué)抽象：角集與實數(shù)集間的一一對應(yīng)；2.邏輯推理：弧長公式及扇形的面積公式；3.數(shù)學(xué)運算：求扇形的弧長和面積；4.直觀想象：由函數(shù)的圖象表示函數(shù)；5.數(shù)學(xué)模型：由實際問題構(gòu)造合理的函數(shù)模型。1.教學(xué)重點：角度制與弧度制間的互相轉(zhuǎn)化，弧長公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明；2.教學(xué)難點：能靈活運用弧長公式、扇形面積公式解決問題。多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.在平面幾何里，度量角的大小用什么單位？【答案】角度制的單位有：度、分、秒。2.1°的角是如何定義的？【答案】規(guī)定：圓周1/360的圓心角稱作1°角。這種用度做單位來度量角的制度叫做角度制.日常生活中，度量長度可用不同的單位，如：一張課桌長80厘米，也可以說長0.8米，顯然兩種結(jié)果出現(xiàn)了不同的數(shù)值。在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)研究中還經(jīng)常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？二、探索新知探究：在圓內(nèi)，圓心角的大小和半徑大小有關(guān)系嗎？角度為300、600的圓心角，半徑r=1,2,3時，（1）分別計算相對應(yīng)的弧長l（2）分別計算對應(yīng)弧長與半徑之比思考：通過上面的計算，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【答案】①.圓心角不變，比值不變；比值的大小與所取的圓的半徑大小無關(guān)；②圓心角改變，比值改變；比值的大小只與圓心角的大小有關(guān)；1.弧度的概念把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角.弧度制：這種以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，它的單位是弧度，單位符號是rad.約定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.思考1:圓的半徑為r,弧長分別為2r、-3r,則它們所對圓心角的弧度數(shù)是多少?【答案】2rad,-3rad.思考2：如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值如何計算？【答案】結(jié)論：圓心角AOB的弧度數(shù)等于它所對的弧的長與半徑長的比的絕對值。2.角度與弧度的換算思考3：一個周角以度為單位度量是多少度，以弧度為單位度量是多少弧度？由此可得角度與弧度有怎樣的換算關(guān)系？【答案】360o，。思考4：根據(jù)上述關(guān)系，1°等于多少弧度，1rad等于多少度？【答案】把67°30′化成弧度?！窘馕觥恳驗樗?。把下列各角的弧度化為度數(shù)?！窘馕觥浚?）注：角度制與弧度制互化時要抓住180°=rad這個關(guān)鍵。注:常規(guī)寫法①用弧度數(shù)表示角時，常常把弧度數(shù)寫成多少的形式，不必寫成小數(shù)．②用弧度制表示角時,“弧度”二字或“rad”通常略去不寫,面只寫該角所對應(yīng)的弧度數(shù).③弧度與角度不能混用．即不能出現(xiàn)這樣的形式:。填寫下列表中特殊角的弧度數(shù)或度數(shù)。角度00300600120013502700弧度角的概念推廣后，角與實數(shù)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，任意角的集合實數(shù)集R例3.利用弧度制證明下列扇形的公式：（1）。（其中R是扇形的半徑，是弧長，，S是扇形的面積）。通過復(fù)習(xí)初中所學(xué)角的單位及定義，類比長度的不同度量制，用類比的方法、聯(lián)系的觀點引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。通過探究與思考，尋找弧長、半徑與圓心角之間的關(guān)系，進而得弧度的定義，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。通過思考，進一步鞏固弧度制的定義，提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過思考，歸納弧度與角度的互化。提高學(xué)生分析問題、概括能力。通過例題學(xué)會角度與弧度的轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生解決問題的能力。通過例題總結(jié)弧度制下的扇形的弧長公式、扇形的面積公式，提高學(xué)生的觀察、概括能力。三、達標(biāo)檢測1．正確表示終邊落在第一象限的角的范圍的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)【解析】B中k＝1時為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))顯然不正確；因為第一象限角不含終邊在坐標(biāo)軸的角故C、D均錯，只有A正確．【答案】A2．與30°角終邊相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)))，k∈Z))B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，))k∈Z))【解析】∵30°＝30×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,6)rad，∴與30°終邊相同的所有角可表示為α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，故選D．【答案】D3．在半徑為10的圓中，240°的圓心角所對弧長為()A．eq\f(40,3)π B．eq\f(20,3)πC．eq\f(200,3)π D．eq\f(400,3)π【解析】240°＝240×eq\f(π,180)rad＝eq\f(4,3)πrad，∴弧長l＝|α|·r＝eq\f(4,3)π×10＝eq\f(40,3)π，選A．【答案】A4．將－1485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為_______．【解析】由－1485°＝－5×360°＋315°，所以－1485°可以表示為－10π＋eq\f(7,4)π.【答案】－10π＋eq\f(7,4)π5．一個扇形的面積為1，周長為4，求該扇形圓心角的弧度數(shù)．【解析】設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為α，則2R＋l＝4.①由扇形的面積公式S＝eq\f(1,2)lR，得eq\f(1,2)lR＝1.②由①②得R＝1，l＝2，∴α＝eq\f(l,R)＝2rad.∴扇形的圓心角為2rad.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強學(xué)生的應(yīng)用意識。四、小結(jié)1.1弧度角的定義；2.角度制與弧度制的聯(lián)系與區(qū)別；3.弧長公式與扇形的面積公式;五、作業(yè)習(xí)題5.15.（2）、（4）,6.（1）,9題通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力。由于弧度制是一個新的角單位制的概念,主要是讓學(xué)生理解弧度制的意義,重點是讓學(xué)生能正確進行弧度制與角度制的換算,并理解任意角的集合與實數(shù)集之間建