浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

第1頁(yè)/共24頁(yè)3123122023學(xué)年第二學(xué)期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：蕭山中學(xué)王建國(guó)、沈建剛審校：臨平中學(xué)（余高）盛立忠審核：縉云中學(xué)潛艷蕾3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.1.在‘ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，則sin(A+C)=() 22C.D.1B.A.C.D.1B.222 1434A. 1434A.C.B.D.3.與直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程為()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0.4.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位，它可以直觀地表示降雨的多少，目前，測(cè)定降雨量常用的儀器有雨量筒和量杯.測(cè)量時(shí)，將雨量筒中的雨水倒在量杯中，根據(jù)杯上的刻度就可知道當(dāng)天的降雨量.某興趣小組同學(xué)為測(cè)量降水量，自制了一種圓臺(tái)形的雨量器（如圖）.某次降水，這種容器收集到的雨水高度為150mm，則該次降水的降雨量最接近()第2頁(yè)/共24頁(yè)A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm5.()8展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A.28B.28C.7D.76.若函數(shù)f(x)=x3一x2+b有兩個(gè)零點(diǎn)，則()7.將雙曲線=1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，能得到反比例函數(shù)y=的圖象（其漸近線分別為x軸和 1xy軸所以我們也稱反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線. 1xy軸所以我們也稱反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線.同樣“對(duì)勾函數(shù)”也能由雙曲線的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，則此“對(duì)勾函數(shù)”所對(duì)應(yīng)的雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.4B.4C.2D.28.記由0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)為a1a2a3a4a5.則滿足“對(duì)任意i(ieN,1<i<5)，必存在j子i(jeN,1<j<5)，使ai=aj”的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.120B.160C.164符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列命題是真命題的是()第3頁(yè)/共24頁(yè)10.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，若a1>1，且a2022.a2023>1，)<0，下列結(jié)論正確的是()C.數(shù)列{Tn}無(wú)最大值D.T2022是數(shù)列{Tn}中的最大值11.已知拋物線y2=2px(p>0)上有兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)，焦點(diǎn)為F，下列選項(xiàng)中是“直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F”的必要不充分條件的是()------322A.OA.OB=4pB.y1y2=p124FAFBp面ABC的距離為.n2024（1）求線段AC的長(zhǎng)；（2）求ΔACD的面積.第4頁(yè)/共24頁(yè)16.已知函數(shù)f(x)=ex-ax(aeR).（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；（2）若f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.如圖，四棱錐A-BCDE中，平面ABC」平面BCDE，‘ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面BCDE是矩形，且BE=.（1）若點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，（i）求證：AC//平面BDG；（ii）求直線DG與平面ABC所成角的正弦值；（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使二面角B-CE-F的大小為.若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18.已知拋物線C：y=，點(diǎn)D(x0,y0)為拋物線C外一點(diǎn)（如圖過(guò)點(diǎn)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）求證：直線AB的方程為x0x-y-y0=0；（2）若D(x0,y0)在直線y=-上，以E(|（0,為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.第5頁(yè)/共24頁(yè)19.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球.設(shè)從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)口袋為一次操作，經(jīng)過(guò)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn.（1）寫出X1的分布列并計(jì)算E(X1)；和S100的最大值；（3）定性分析當(dāng)交換次數(shù)趨向于無(wú)窮時(shí)，E(Xn)趨向的值.2023學(xué)年第二學(xué)期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：蕭山中學(xué)王建國(guó)、沈建剛審校：臨平中學(xué)（余高）盛立忠審核：縉云中學(xué)潛艷蕾3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.1.在‘ABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，則sin(A+C)=()A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】由條件可知A+C=2B，結(jié)合A+B+C=π求得A+C，從而代入得解.【詳解】因?yàn)锳,B,C成等差數(shù)列，所以A+C=2B；第6頁(yè)/共24頁(yè)又A+B+C=π,所以3B=π,即B=，所以A+C=2B=，所以sin(A+C)=sinπ=.故選：C.2.已知P(B|A)=，P(AB)=，則P(A)等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)镻(B|A)=，P(AB)=，所以P(B|A)===，即P(A)=，故選：B.3.與直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線的方程為()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0【答案】B【解析】【分析】把方程中的y換成-y即可得到所求直線方程.【詳解】直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為：3x-4(-y)+5=0，即3x+4y+5=0.故選：B.4.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位，它可以直觀地表示降雨的多少，目前，測(cè)定降雨量常用的儀器有雨量筒和量杯.測(cè)量時(shí)，將雨量筒中的雨水倒在量杯中，根據(jù)杯上的刻度就可知道當(dāng)天的降雨量.某興趣小組同學(xué)為測(cè)量降水量，自制了一種圓臺(tái)形的雨量器（如圖）.某次降水，這種容器收集到的雨水高度為150mm，則該次降水的降雨量最接近()第7頁(yè)/共24頁(yè)A.60mmB.65mmC.70mmD.75mm【答案】B【解析】【分析】如圖，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DF=80mm，由圓臺(tái)的體積公式求出收集到的雨水量，利用等體積法，結(jié)合圓柱的體積公式建立關(guān)于h的方程，解之即可求解.【詳解】如圖，AC,GH分別為上底面、下底面的半徑，AG//HB且AG=HB，DF//AC，當(dāng)DG=EH=150mm時(shí)，在‘HBC中，=，即=，解得EF=30mm，所以DF=80mm，所以圓D的面積為S1=802π=6400πmm2，又圓G的面積為S2=502π=2500πmm2，3mm，設(shè)此時(shí)量杯的刻度為hmm，故選：B5.()8展開式中常數(shù)項(xiàng)為()第8頁(yè)/共24頁(yè)TT令8A.28B.-28C.7D.-7【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)即得.【詳解】由題意(-)8得展開式通項(xiàng)為：8r84r38-rrr8-rCx8-,故選：C.6.若函數(shù)f(x)=x3-x2+b有兩個(gè)零點(diǎn)，則()【答案】D【解析】【分析】由直線y=b與y=g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求出即可.【詳解】令f(x)=x3-x2+b=0，則b=-x3+x2，令g(x)=-x3+x2，則由題意可得直線y=b與y=g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)， 6所以g(x)極小值為g(x)=0，極大值為g(1 6作出圖象：第9頁(yè)/共24頁(yè)所以b=0或b=故選：D. 16 1x7.將雙曲線-=1繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，能得到反比例函數(shù)y= 1x的圖象（其漸近線分別為x軸和 1xy軸所以我們也稱反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線. 1xy軸所以我們也稱反比例函數(shù)y=的圖象為雙曲線.同樣“對(duì)勾函數(shù)”也能由雙曲線的圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，則此“對(duì)勾函數(shù)”所對(duì)應(yīng)的雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.4B.4C.2D.2【答案】D【解析】【分析】求出旋轉(zhuǎn)后實(shí)軸所在直線方程，求出雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式可得解.【詳解】旋轉(zhuǎn)后兩條漸近線分別為y=x和x=0，夾角為60。，旋轉(zhuǎn)前后兩條漸近線的夾角不變，實(shí)軸所在直線是兩條漸近線所夾角的平分線，所以旋轉(zhuǎn)后，雙曲線的實(shí)軸所在直線的傾斜角為60。，斜率為，方程為y=x，(|x=|x=6622所以旋轉(zhuǎn)后的雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)為(,)或(-,-)，故選：D.8.記由0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)為a1a2a3a4a5.則滿足“對(duì)任意i(i=N,1<i<5)，必存在=aj”的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.120B.160C.164【答案】C【解析】【分析】滿足條件的五位數(shù)分為兩類：一類是只由一個(gè)數(shù)字組成，另一類是由兩個(gè)數(shù)字組成，其中由兩個(gè)第10頁(yè)/共24頁(yè)數(shù)字組成又分為0入選與0不入選，0入選時(shí)可以是包含2個(gè)0或3個(gè)0，結(jié)合0不能放在萬(wàn)位求解即可.【詳解】由題意知，滿足條件的五位數(shù)分為兩類：一類是只由一個(gè)數(shù)字組成，另一類是由兩個(gè)數(shù)字組成.①只由一個(gè)數(shù)字組成，如11111、22222等共4個(gè)；②由兩個(gè)數(shù)字組成，可分為0入選與0不入選，0不入選，則從1,2,3,4中選擇兩個(gè)數(shù)組成滿足條件的五位數(shù)，如11122、11133、22211等，共有0入選，則從1,2,3,4中選擇一個(gè)數(shù)組成滿足條件的五位數(shù)，且0不能放在萬(wàn)位，如11100、22200、11000所以滿足條件的五位數(shù)共有4+120+40=164故選：C.符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列命題是真命題的是()【答案】BC【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積公式計(jì)算可判斷A項(xiàng)，設(shè)出z1、z2，結(jié)合z1.z2=0計(jì)算即可判斷B項(xiàng)，由平面向量數(shù)量積公式可知2=||2計(jì)算可判斷C項(xiàng)，舉-則z1.z2第11頁(yè)/共24頁(yè)2但此時(shí)z12故選：BC.10.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，若a1>1，且a2022.a2023>1，)<0，下列結(jié)論正確的是()C.數(shù)列{Tn}無(wú)最大值D.T2022是數(shù)列{Tn}中的最大值【答案】ABD【解析】2023項(xiàng)的遞減數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列{an}的公比為q，a2022.a2023>1，所以等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù).20232023則必有0<q<1，所以等比數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞減數(shù)列.依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，S2024S2023=a2024>2320222023>0，可知T2022是數(shù)列{Tn}中的最大值，故C錯(cuò)誤，D正第12頁(yè)/共24頁(yè)確.故選：ABD.11.已知拋物線y2=2px(p>0)上有兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)，焦點(diǎn)為F，下列選項(xiàng)中是“直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F”的必要不充分條件的是()------3A.OA.OB=4p2B.y1y2------3124FAFBp【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線為x=my+，代入拋物線的方程得關(guān)于y的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及平面向量的運(yùn)算法則，判斷題目中的命題是否正確即可.【詳解】設(shè)直線AB的方程為x=my+t，則直線AB交x軸于點(diǎn)T(t,0)，且拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)，則y1=2pm，y1y2=2pt，uuruur+y1y2+y1y22p2即t2pt+4pp23p,2∴“.=p2”是“直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F”的必要不充分條件；此時(shí)直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，∴“y1y2=p2”是“直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F”的充要條件；)22∴“xx=p2”是“直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F”的必要不充分條件；第13頁(yè)/共24頁(yè)+=+=+2 m(y12 2pm2+2t+p222∴“1+1=2“是“直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F”的必要不充分條件.【答案】##1.5【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最大值.【詳解】因?yàn)閒(x)=x2一27lnx，當(dāng)xE[1,2]時(shí)f,(x)<0，所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，又f(1)=，所以f(x)在[1,2]上的最大值為.故答案為：面ABC的距離為.【答案】【解析】【分析】求出平面ABC的法向量后，再計(jì)算到平面ABC的法向量的投影即可得.------------------------------------第14頁(yè)/共24頁(yè)2則點(diǎn)O到平面2則點(diǎn)O到平面ABC的距離為.3設(shè)平面ABC的法向量為m-----mn2024【答案】①.0②.2023【解析】nn ,21212an1a1=，以上n1個(gè)式子相加可得：故答案為：0；2023.第15頁(yè)/共24頁(yè)（1）求線段AC的長(zhǎng)；（2）求‘ACD的面積.【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和二倍角的余弦公式可得cos經(jīng)ABC=-，再由余弦定理可求出線段AC的長(zhǎng)；（2）由二倍角的余弦公式可得cos經(jīng)BCD=，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】 3 ,32cos22-1由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AC.BCcos經(jīng)ABC第16頁(yè)/共24頁(yè)【小問(wèn)2詳解】因?yàn)锳C為經(jīng)BCD的平分線，在直角ΔBCD中，得cos經(jīng)DCB1，3所以S‘ACD=CD.ACsin經(jīng)ACD=x4x18x=36.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；（2）若f(x)之0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；（2）要使f(x)之0恒成立，則需f(x)min之0成立，借助導(dǎo)數(shù)，分a<0、a=0、a>0討論，得其單調(diào)性即可得解.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】第17頁(yè)/共24頁(yè)則f(x)在(一偽,lna17.如圖，四棱錐ABCDE中，平面ABC」平面BCDE，‘ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面BCDE是矩形，且BE=.（1）若點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，（i）求證：AC//平面BDG；（ii）求直線DG與平面ABC所成角的正弦值；（2）在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使二面角B一CE一F的大小為.若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）(ⅰ)證明見解析；(ⅱ)【解析】【小問(wèn)1詳解】第18頁(yè)/共24頁(yè)(ⅰ)設(shè)矩形BCDE的中心為P，則P是CE的中點(diǎn)，而G是AE的中點(diǎn)，所以ACGP.而P是矩形BCDE的中心，故P也是BD的中點(diǎn)，所以GP在平面BDG內(nèi)，又因?yàn)锳C不在平面BDG內(nèi)，所以AC//平面BDG；（ii）由于平面ABC」平面BCDE，平面ABC和平面BCDE的交線為BC，DC」BC，DC在平面BCDE內(nèi)，故DC」平面ABC.所以直線DG與平面ABC所成角的正弦值等于cos經(jīng)CDG.下面證明一個(gè)結(jié)論：在UVW中，若VW,WU,UV的長(zhǎng)分別為u,v,w，則邊UV上的中線長(zhǎng)為222d22d.2d.2v所以d2+w22v2u+d22u2w2222u+vw.回到原題.由于BE,CD」平面ABC，而AB,AC在平面ABC內(nèi)，故BE」AB，CD」AC.而CE===，故根據(jù)之前證明的結(jié)論，我們有+2AC2AE2CE22 42 2第19頁(yè)/共24頁(yè)CD2+DG2CG2CD2CD2CD.DG2CD.DG2DG147所成角的正弦值等于.【小問(wèn)2詳解】在平面ABC內(nèi)過(guò)F作FM」BC，交BC于M，在平面BCDE內(nèi)過(guò)M作MN」CE，交CE于N.由于平面ABC」平面BCDE，平面ABC和平面BCDE的交線為BC，F(xiàn)M」BC，F(xiàn)M在平面ABC內(nèi)，故FM平面BCDE.而CE在平面BCDE內(nèi)，故FM」CE.又因?yàn)镸N」CE，F(xiàn)M,MN在平面FMN內(nèi)交于F，故CE」平面FMN.由CE」平面FMN，F(xiàn)N在平面FMN內(nèi)，知CE」FN.綜上，存在滿足條件的點(diǎn)F，=.18.已知拋物線C：y=，點(diǎn)D(x0,y0)為拋物線C外一點(diǎn)（如圖過(guò)點(diǎn)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.第20頁(yè)/共24頁(yè)（1）求證：直線AB的方程為x0x-y-y0=0；（2）若D(x0,y0)在直線y=-上，以E(|（0,為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.【答案】（1）證明見解析2【解析】【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)幾何意義分別求出在A，B兩點(diǎn)處的切線方程，再分別代入點(diǎn)D(x0,y0)即可發(fā)現(xiàn)A，B兩點(diǎn)都在直線y0+y=x0x上，進(jìn)而得到直線AB的方程.（2）由（1）得直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立，求出線段AB的中點(diǎn)為M，再根據(jù)圓的性質(zhì)所得」建立方程進(jìn)行研究即可.【小問(wèn)1詳解】所以在A(x1,y1)處的切線方程為y+y1=x1x，同理在B(x2,y2)處的切線方程為y+y2=x2x，兩條切線都過(guò)D(x0,y0)，所以y0+y1=x1x0，y0+y2=x2x0，顯然A，B兩點(diǎn)都在直線y0+y=x0x上，所以直線AB的方程為x0x-y-y0=0.【小問(wèn)2詳解】第21頁(yè)/共24頁(yè) 2若D(x0,y0)在直線y=-上，則直線AB的方程為x0x-y 2 12(1) 12(1)|x222----219.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球.設(shè)從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)口袋為一次操作，經(jīng)過(guò)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn.（1）寫出X1的分布列并計(jì)算E(X1)；和S100的最大值；（3）定性分析當(dāng)交換次數(shù)趨向于無(wú)窮時(shí)，E(Xn)趨向的值.（2）50（3），理由見解析【解析】【分析】（1）第一問(wèn)就是用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的乘法公式就可求得X1的分布列，然后利用期望公式即可計(jì)算出結(jié)果；第22頁(yè)/共24頁(yè)所以要想數(shù)列{an}的前100項(xiàng)和最大，則盡最大可能讓甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為0，從而得到問(wèn)題的解法及結(jié)（3）第三問(wèn)關(guān)鍵是找到第n+1次交換球后的概率與第n次交換球后的概率關(guān)系，有了第n+1次交換球后的概率分布，就可以計(jì)算第n+1次甲口袋中黑球期望與第n次的期望關(guān)系E(Xn+1)=1+E(Xn)，從而構(gòu)造成等比數(shù)列求出E(Xn)，再用極限思想就可以