第01講 圓的確定與圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系-【寒假預(yù)習(xí)】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測試（滬教版）（解析版）

第01講圓的確定與圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系目錄考點(diǎn)一：圓的認(rèn)識考點(diǎn)二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)三：圓心角、弧、弦的關(guān)系考點(diǎn)四：三角形的外接圓與外心考點(diǎn)五：綜合應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】一．圓的認(rèn)識（1）圓的定義定義①：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．（3）圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．二．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．四．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．【考點(diǎn)剖析】一．圓的認(rèn)識（共2小題）1．（2020秋?浦東新區(qū)月考）下列說法正確的是（）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑 C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；C、弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；D、長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】考查了圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，難度不大．2．（2018秋?嘉定區(qū)期末）已知點(diǎn)C在線段AB上（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)A、B的圓記作為圓O1，過點(diǎn)B、C的圓記作為圓O2，過點(diǎn)C、A的圓記作為圓O3，則下列說法中正確的是（）A．圓O1可以經(jīng)過點(diǎn)C B．點(diǎn)C可以在圓O1的內(nèi)部 C．點(diǎn)A可以在圓O2的內(nèi)部 D．點(diǎn)B可以在圓O3的內(nèi)部【分析】根據(jù)已知條件對個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵點(diǎn)C在線段AB上（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)A、B的圓記作為圓O1，∴點(diǎn)C可以在圓O1的內(nèi)部，故A錯誤，B正確；∵過點(diǎn)B、C的圓記作為圓O2，∴點(diǎn)A可以在圓O2的外部，故C錯誤；∵過點(diǎn)C、A的圓記作為圓O3，∴點(diǎn)B可以在圓O3的外部，故D錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識，根據(jù)已知條件正確的作出判斷是解題的關(guān)鍵．二．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共7小題）3．（2022?寶山區(qū)模擬）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，如果點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞﹣1 B．a(chǎn)＜3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3．【分析】由點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)知|a﹣1|＜2，據(jù)此可得答案．【解答】解：∵點(diǎn)B（a，0）在以A（1，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，∴|a﹣1|＜2，則﹣2＜a﹣1＜2，解得﹣1＜a＜3，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．4．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）A．點(diǎn)B，C均在圓P外 B．點(diǎn)B在圓P外，點(diǎn)C在圓P內(nèi) C．點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外 D．點(diǎn)B，C均在圓P內(nèi)【分析】由AB＝8，BP＝3AP得到AP＝2，BP＝6，再根據(jù)勾股定理，在Rt△ADP中計算出PD＝7，在Rt△PBC中計算出PC＝9，則PC＞PD＞PB，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝3，∵AB＝8，BP＝3AP，∴AP＝2，BP＝6，在Rt△ADP中，AP＝2，AD＝3，∴PD＝＝7，在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝3，∴PC＝＝9，∴PC＞PD＞PB，∴點(diǎn)B在圓P內(nèi)，點(diǎn)C在圓P外．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．5．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），圓A的半徑為2．下列說法中不正確的是（）A．當(dāng)a＝﹣1時，點(diǎn)B在圓A上 B．當(dāng)a＜1時，點(diǎn)B在圓A內(nèi) C．當(dāng)a＜﹣1時，點(diǎn)B在圓A外 D．當(dāng)﹣1＜a＜3時，點(diǎn)B在圓A內(nèi)【分析】畫出圖形，根據(jù)A的坐標(biāo)和圓A的半徑求出圓與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知和交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出答案．【解答】解：如圖：∵A（1，0），⊙A的半徑是2，∴AC＝AE＝2，∴OE＝1，OC＝3，A、當(dāng)a＝﹣1時，點(diǎn)B在E上，即B在⊙A上，正確，故本選項不合題意；B、當(dāng)a＝﹣3時，B在⊙A外，即說當(dāng)a＜1時，點(diǎn)B在圓A內(nèi)錯誤，故本選項符合題意；C、當(dāng)a＜﹣1時，AB＞2，即說點(diǎn)B在圓A外正確，故本選項不合題意；D、當(dāng)﹣1＜a＜3時，B在⊙A內(nèi)正確，故本選項不合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，當(dāng)d＝r時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＞r時，點(diǎn)在圓外，當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．6．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝6，BC＝8，現(xiàn)以點(diǎn)A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，那么⊙A半徑r的取值范圍是6＜r＜10．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出答案．【解答】解：如圖，連結(jié)AC，BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10，∵以點(diǎn)A為圓心作圓，如果B、C、D至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，∴r＞6，∵至少有一點(diǎn)在圓外，∴r＜10，∴⊙A半徑r的取值范圍是：6＜r＜10．故答案為：6＜r＜10．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．7．（2022?黃浦區(qū)二模）已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cotB＝，如果頂點(diǎn)C在⊙B內(nèi)，頂點(diǎn)A在⊙B外，那么⊙B的半徑r的取值范圍是10＜r＜13．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BD＝CD＝BC＝5，根據(jù)cotB＝求出AD的長，根據(jù)勾股定理求出AB的長，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出答案．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC，BC＝10，∴BD＝CD＝BC＝5，∵cotB＝＝＝，∴AD＝12，∴AB＝＝＝13，∵頂點(diǎn)C在⊙B內(nèi)，頂點(diǎn)A在⊙B外，∴10＜r＜13．故答案為：10＜r＜13．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．8．（2022?寶山區(qū)模擬）已知圓O的半徑為5，點(diǎn)A在圓O外，如果線段OA的長為d，那么d的取值范圍是d＞5．【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外，d＞r，可得結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)A在圓外，∴d＞5，故答案為：d＞5．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記住：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r．③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．9．（2022春?長寧區(qū)校級期中）已知：如圖，E是菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠BEC＝90°，DF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，且DF＝CE，聯(lián)結(jié)AE．（1）求證：菱形ABCD是正方形；（2）當(dāng)F是線段CE的中點(diǎn)時，求證：點(diǎn)F在以AB為半徑的⊙A上．【分析】（1）先利用HL證明Rt△BCE≌Rt△CDF，可證得∠BCD＝90°，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）連接AF，ED，利用SAS證明△ABE≌△AFE可得AF＝AB，進(jìn)而可證明結(jié)論．【解答】（1）證明：∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF+∠FCD＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠CFD，∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD，在Rt△BCE和Rt△CDF中，，∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），∴∠BCE＝∠CDF，∵∠BCE+∠FCD＝90°，∴∠BCD＝90°，∴菱形ABCD為正方形；（2）連接AF，ED，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∵F為CE的中點(diǎn)，DF⊥CE，∴DF是CE的垂直平分線，∴DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∠DEC+∠DCE+∠CDE＝180°，∴∠AED＝，∠DEC＝，∴∠AEF＝∠AED+∠DE＝180°﹣（∠ADE+∠CDE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠AEF＝∠AEB，∵△BCE≌△CDF，∴BE＝CF＝FE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴AB＝AF，∴點(diǎn)F在以AB為半徑的⊙A上．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共4小題）10．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知OA，OB，OM均是⊙O的半徑，OA⊥OB，＝．如果+＝k，那么k的值是或﹣．【分析】分別討論點(diǎn)M在劣弧AB上或點(diǎn)M在優(yōu)弧AB上兩種情況，再利用平面向量的定義即可得出答案．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)M在劣弧AB上時，過點(diǎn)A作AC∥OB且AC＝OB，連接BC，如圖．∵OA，OB，OM均是⊙O的半徑，∴OA＝OB＝OM，∵OA⊥OB，＝，∴點(diǎn)O，M，C三點(diǎn)在同一條直線上，+＝，設(shè)圓O的半徑為x，∴＝x，，∴||＝，∴k＝．當(dāng)點(diǎn)M在優(yōu)弧AB上時，過點(diǎn)A作AC∥OB且AC＝OB，連接BC，如圖．同理可得，點(diǎn)O，M，C三點(diǎn)在同一條直線上，設(shè)圓O的半徑為x，則＝x，，∴||＝，∴，∴k＝﹣．故答案為：或﹣．【點(diǎn)評】本題考查圓的定義、平面向量的定義，熟練掌握圓的定義和平面向量的定義是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）⊙O中，點(diǎn)C在直徑AB上，AC＝3BC，過點(diǎn)C作弦EF⊥AB，那么∠EOF＝120度．【分析】連接OE，OF，根據(jù)AC＝3BC，得BC＝OC＝OA，根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得∠OEF＝30°，進(jìn)而得出∠EOF的度數(shù)．【解答】解：連接OE，∵EF⊥AB，AC＝3BC，∴BC＝OC＝OA，∴∠OEF＝30°，∴∠EOF＝180°﹣2∠OEF＝120°．故答案為：120．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理、勾股定理，掌握定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．12．（2022?寶山區(qū)模擬）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tanC＝2，⊙O過點(diǎn)A、C，交BC邊于點(diǎn)D．且，求CD的長．【分析】如圖，連接AC，延長AO交BC于點(diǎn)E．根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性質(zhì)證得AE是CD的中垂線．在直角△AEC中根據(jù)勾股定理求得線段CE的長度，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理來求線段CD的長度．【解答】解：如圖，連接AD，延長AO交BC于點(diǎn)E．∵，∴AD＝AC，∵點(diǎn)O是等腰△ACD的外心，∴AE⊥CD，且CD＝2CE．∴在直角△ABE中，∠B＝45°，AB＝，則AE＝4．∵tanC＝2，∴＝2，即AE＝2CE，∴CD＝AE＝4，即線段CD的長度是4．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形以及圓心角、弧、弦間的關(guān)系．注意解題過程中要證明一下AE是線段CD的中垂線．13．（2022春?長寧區(qū)校級月考）如圖，已知⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A、B，交邊BC于點(diǎn)D，點(diǎn)A恰為的中點(diǎn)，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半徑．【分析】如圖，連接OA．交BC于H．首先證明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△BOH中，根據(jù)BH2+OH2＝OB2，構(gòu)建方程即可解決問題；【解答】解：如圖，連接OA．交BC于H．∵點(diǎn)A為的中點(diǎn)，∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，∴∠AHC＝∠BHO＝90°，∵sinC＝＝，AC＝9，∴AH＝3，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+（r﹣3）2＝r2，∴r＝，∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)評】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．四．三角形的外接圓與外心（共8小題）14．（2022?長寧區(qū)模擬）如圖，⊙O的半徑為10cm，△ABC內(nèi)接于⊙O，圓心O在△ABC內(nèi)部．如果AB＝AC，BC＝12cm，那么△ABC的面積為108cm2．【分析】連接AO并延長交BC于D，連接OB，根據(jù)勾股定理的推論得到AD⊥BC，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，進(jìn)而求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：連接AO并延長交BC于D，連接OB，∵AB＝AC，∴＝，∴AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝6cm，在Rt△OBD中，OD＝＝8（cm），∴AD＝18cm，∴S△ABC＝×12×18＝108（cm2），故答案為：108．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理的推論、勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022春?虹口區(qū)期中）半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為4．【分析】欲求△ABC的邊長，把△ABC中BC邊當(dāng)弦，作BC的垂線，在Rt△BOD中，求BD的長；根據(jù)垂徑定理知：BC＝2BD，從而求正三角形的邊長．【解答】解：如圖所示：∵半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形，∴∠ADB＝90°，OB＝4，∠OBD＝30°，∴BD＝cos30°×OB＝×4＝2，∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝4，即它的內(nèi)接正三角形的邊長為4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了正多邊形和圓，根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出∠OBD＝30°是解題關(guān)鍵，此題難度一般，是一道比較不錯的試題．16．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC＝8，OA＝5．（1）求∠BAO的正弦值；（2）求弦BC的長．【分析】（1）延長AO交BC于點(diǎn)D，連接OB，過O點(diǎn)作OE⊥AB，利用垂徑定理可求解AE的長，由勾股定理可求解OE的長，再根據(jù)正弦的定義可求解；（2）由圓的基本概念可得AD⊥BC，BC＝2BD，利用（1）的結(jié)論可求解BD的長，進(jìn)而可求解．【解答】解：（1）延長AO交BC于點(diǎn)D，連接OB，過O點(diǎn)作OE⊥AB，∵AB＝AC＝8，∴AE＝AB＝4，∵AO＝5，∴OE＝，∴sin∠BAO＝；（2）∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BC＝2BD，∴sin∠BAO＝，解得BD＝，∴BC＝．【點(diǎn)評】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，作合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．17．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知△ABC外接圓的圓心O在高AD上，點(diǎn)E在BC延長線上，EC＝AB．（1）求證：∠B＝2∠AEC；（2）當(dāng)OA＝2，cos∠BAO＝時，求DE的長．【分析】（1）由三角形的外接圓的性質(zhì)可判定AD⊥BC，BD＝CD，即可得AB＝AC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB，∠CAE＝∠AEC，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可證明結(jié)論；（2）連接OB，由特殊角的三角函數(shù)值可得∠BAO＝30°，由直角三角形的性質(zhì)可求解∠OBC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的而性質(zhì)可求解AD，CD，進(jìn)而可求解．【解答】（1）證明：∵△ABC外接圓的圓心O在高AD上，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵EC＝AB，∴AC＝EC，∴∠CAE＝∠AEC，∵∠ACB＝∠AEC+∠CAE＝2∠AEC，∴∠ABC＝2∠AEC；（2）解：連接OB，∵cos∠BAO＝，∴∠BAO＝30°，∵AD⊥BC，∴∠ABC＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠OBC＝30°，∵OA＝OB＝2，∴OD＝1，CD＝BD＝，∴CE＝AB＝2BD＝，∴DE＝CD+CE＝．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的概念及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握圓的概念及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2021?上海模擬）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)OA＝2，AB＝3，求邊BC的長．【分析】（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問題得證；（2）延長AO交BC于點(diǎn)H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，根據(jù)OA＝2，AB＝3，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．【解答】解：（1）連接OB、OC，如圖：∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，．∴△OAB≌△OAC（AAS）．∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延長AO交BC于點(diǎn)H，連接OB，如圖：∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝2，AB＝3，．∵a＞0，b＞0，解得：．∴BC＝2BH＝2a＝．【點(diǎn)評】本題是圓的一個綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)．第（1）小題關(guān)鍵在證明三角形全等；第（2）題關(guān)鍵由勾股定理列出方程組．19．（2021?崇明區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝5，BC＝8，sinB＝．（1）求邊AC的長；（2）求⊙O的半徑長．【分析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求BH的長，由勾股定理可求AC的長；（2）利用勾股定理列出方程，可求解．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，∵sinB＝＝，AB＝5，∴AH＝3，∴BH＝＝＝4，∵CH＝BC﹣BH，∴CH＝4，∴AC＝＝＝5；（2）如圖2，連接OB，OC，AO，AO交BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC＝5，OC＝OB，∴AO是BC的垂直平分線，∴BE＝EC＝4，∴AE＝＝＝3，∵BO2＝BE2+OE2，∴BO2＝16+（OB﹣3）2，∴BO＝．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外接圓和外心，圓的有關(guān)知識，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用勾股定理列出方程是本題的關(guān)鍵．20．（2020秋?閔行區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB長為4，AB＝AC，連接CO并延長，交邊AB于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且E為弧AB的中點(diǎn)．求：（1）邊BC的長；（2）⊙O的半徑．【分析】（1）利用垂徑定理的推論可判斷CD垂直平分AB，所以CB＝CA＝4；（2）連接OB，如圖，先證明ABC為等邊三角形得到∠A＝60°，利用圓周角定理得到∠BOC＝120°，則∠BOD＝60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出OB即可．【解答】解：（1）∵E點(diǎn)為的中點(diǎn)，CE為直徑，∴CE⊥AB，∴AD＝BD，即CD垂直平分AB，∴CB＝CA＝4；（2）連接OB，如圖，∵AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，∴OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝，即⊙O的半徑為．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．21．（2020?黃浦區(qū)二模）已知：如圖，圓O是△ABC的外接圓，AO平分∠BAC．（1）求證：△ABC是等腰三角形；（2）當(dāng)OA＝4，AB＝6，求邊BC的長．【分析】（1）連接OB、OC，先證明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再證明△OAB≌△OAC得AB＝AC，問題得證；（2）延長AO交BC于點(diǎn)H，先證明AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，根據(jù)OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程組，解得a、b，便可得BC．【解答】解：（1）連接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延長AO交BC于點(diǎn)H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，設(shè)OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴，解得，，∴BC＝2a＝3．【點(diǎn)評】本題是圓的一個綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，第（1）關(guān)鍵在證明三角形全等；第（2）題關(guān)鍵由勾股定理列出方程組．五．綜合應(yīng)用（共7小題）22．（2022?松江區(qū)二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．D、E分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，DE∥AC，且BD＝2CD．如果⊙E經(jīng)過點(diǎn)A，且與⊙D外切，那么⊙D與直線AC的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【分析】設(shè)BC＝3m，AC＝4m，則AB＝5m，由DE∥AC，且BD＝2CD可得EA及DC的長，作⊙E與DE交于點(diǎn)H可得DH＝DC．【解答】解：設(shè)BC＝3m，AC＝4m，則AB＝5m，∵BD＝2CD，∴CD＝m，BD＝2m，∵DE∥AC，∴＝2，∠BED＝∠A，∴EA＝AB＝m，如圖，⊙E與DE交于點(diǎn)H，則HE＝EA＝m，在Rt△ABC中，由tan∠BED＝＝可得DE＝BD＝m，∴DH＝DE﹣HE＝m，∴DC＝DH，∵∠BCA＝90°，CD為⊙D半徑，∴⊙D與直線AC相切．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握解直角三角形的方法，掌握圓與直線位置關(guān)系的判斷．23．（2022春?虹口區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AD＝，BC＝1，則⊙O的半徑為（）A． B． C． D．【分析】如圖延長DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延長線于F，連接BE、EC．只要證明△EFB是等腰直角三角形，即可推出EF＝BF＝1，再利用勾股定理求出EC即可解決問題；【解答】解：如圖延長DO交⊙O于E，作EF⊥CB交CB的延長線于F，連接BE、EC．∵∠AOD＝∠BOE，∴＝，∴AD＝BE＝，∵∠DOC＝∠COE＝90°，OC＝OB＝OE，∴∠OCB＝∠OBC，∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝（360°﹣90°）＝135°，∴∠EBF＝45°，∴△EBF是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝1，在Rt△ECF中，EC＝＝＝，∵△OCE是等腰直角三角形，∴OC＝＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．24．（2022?靜安區(qū)二模）如圖，已知半圓直徑AB＝2，點(diǎn)C、D三等分半圓弧，那么△CBD的面積為．【分析】連接OC、OD，過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，根據(jù)圓周角定理得到△OCD是等邊三角形，進(jìn)而得出CD∥AB，則△CBD中CD上的高等于OE的長，解直角三角形再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【解答】解：連接OC、OD，過點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，∵AB＝2，∴OC＝OD＝AB＝1，∵點(diǎn)C、D三等分半圓弧，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝1，∠CDO＝60°，∵∠CDO＝∠BOD＝60°，∴CD∥AB，∴△CBD中CD上的高等于OE的長，在Rt△ODE中，OE＝OD?sin∠CDO＝1×sin60°＝，∴S△CBD＝CD?OE＝×1×＝，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2022春?虹口區(qū)校級期中）如圖，AB是圓O的直徑，＝＝，AC與OD交于點(diǎn)E．如果AC＝3，那么DE的長為．【分析】根據(jù)＝＝，可得∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，再根據(jù)含30度角的直角三角形即可求出結(jié)果．【解答】解：∵＝＝，∴∠AOD＝60°，OD⊥AC，AE＝CE＝AC＝，∴∠A＝30°，∴OE＝AE?tan30°＝×＝，∴OA＝OD＝2OE＝，∴DE＝OD﹣OE＝﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓的相關(guān)性質(zhì)．26．（2022?長寧區(qū)二模）如圖，已知在半圓O中，AB是直徑，CD是弦，點(diǎn)E、F在直徑AB上，且四邊形CDFE是直角梯形，∠C＝∠D＝90°，AB＝34，CD＝30．求梯形CDFE的面積．【分析】過O作OM⊥CD于M，連接OD，根據(jù)垂徑定理求出DM＝CM＝15，根據(jù)勾股定理求出OM，求出OM是梯形CDFE的中位線，求出CE+DF＝2OM，再根據(jù)梯形的面積公式求出答案即可．【解答】解：過O作OM⊥CD于M，連接OD，∵OM⊥CD，OM過圓心O，CD＝30，∴DM＝CM＝15，∠OMD＝90°，∵直徑AB＝34，∴半徑OA＝OD＝OB＝17，在Rt△OMD中，由勾股定理得：OM＝＝＝8，∵∠C＝∠D＝90°，∴CE⊥CD，F(xiàn)D⊥CD，∴CE∥OM∥FD，∵DM＝CM，∴OE＝OF，∴CE+DF＝2OM＝2×8＝16，∴梯形CDFE的面積是＝30＝240．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，梯形的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．27．（2022春?金山區(qū)校級月考）已知CD為⊙O的直徑，A、B為⊙O上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧AB中點(diǎn)，連接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求證：∠D＝30°；（2）F、G分別為線段CD、AC上兩點(diǎn)，滿足DF＝AG，連接AF、OG，取OG中點(diǎn)H，連接CH，請猜測AF與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）利用圓周角定理證明即可；（2）結(jié)論：AF＝2CH．延長DC到T，使得CT＝CO，證明△CGT≌△OFA（SAS），推出AF＝GT，再利用三角形中位線定理證明．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝30°，又∵∠D＝∠ABC，∴∠D＝30°；（2）解：結(jié)論：AF＝2CH．理由：延長DC到T，使得CT＝CO．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO＝∠AOC＝60°，AC＝OA＝OC，∴CT＝OC＝OA，∠AOF＝∠GCT＝120°，∵OA＝AC，DF＝AG，∴OF＝CG，在△CGT和△OFA中，，∴△CGT≌△OFA（SAS），∴AF＝GT，∵OH＝HG，OC＝CT，∴GT＝2CH，∴AF＝2CH．【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．28．（2022?金山區(qū)校級模擬）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，以邊AC上一點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求⊙O的半徑；（2）點(diǎn)P是劣弧的中點(diǎn)，求tan∠PAB的值．【分析】（1）如圖1，連接OB，設(shè)⊙O的半徑為r，解直角三角形求出AC的長，利用勾股定理列方程可得結(jié)論；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)垂徑定理可得OE和PE的長，最后根據(jù)三角函數(shù)定義可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，連接OB，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，cot∠BAC＝2，BC＝4，∴＝2，∴＝2，∴AC＝8，設(shè)⊙O的半徑為r，則OB＝r，oc＝8﹣r，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O的半徑為5；（2）如圖2，連接OP，OB，OP交AB于E，Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝3，Rt△ACB中，AB＝＝＝4，∵點(diǎn)P是劣弧的中點(diǎn)，∴OP⊥AB，∴AE＝BE＝2，∴OE＝＝＝，∴EP＝OP﹣OE＝5﹣，Rt△AEP中，tan∠PAB＝＝＝＝．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

【過關(guān)檢測】1．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測）下列四個命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧不一定相等，故原說法錯誤，是假命題，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，正確，是真命題，符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了真假命題的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握圓的有關(guān)性質(zhì)，難度不大．2．（2019·上海嘉定·九年級期末）已知點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)的圓記為圓，過點(diǎn)的圓記為圓，過點(diǎn)的圓記為圓，則下列說法中正確的是（）A．圓可以經(jīng)過點(diǎn) B．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部C．點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部 D．點(diǎn)可以在圓內(nèi)部【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出符合題意的示意圖，然后求解．【詳解】解：∵點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的內(nèi)部，故A錯誤，B正確；∵過點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的外部，故C錯誤；∵過點(diǎn)的圓記為圓，∴點(diǎn)可以在圓的外部，故D錯誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，畫出適當(dāng)?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，更有助于解題.3．（2018·上海寶山·九年級期末）若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），那么點(diǎn)P的位置為（）A．在⊙A內(nèi) B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能確定【答案】A【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計算出PA的長，然后比較PA與半徑的大小，再根據(jù)點(diǎn)與圓的關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】∵圓心A的坐標(biāo)是（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，2），∴AP==4＜5，∴點(diǎn)P在⊙A內(nèi)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．4．（2019·上海上?！ぞ拍昙壠谥校┤鐖D，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，如果點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，那么r可以?。ǎ〢．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】已知等腰三角形ABC中tanB＝2，根據(jù)題意可求得△ABC中過頂點(diǎn)A的高AF的長度，進(jìn)而求得AB的長度，以及得到BD=，；因?yàn)锳F和CD均為中線，故交點(diǎn)為重心，通過重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，可求出CD的長度為，所以要滿足B點(diǎn)在⊙D內(nèi)，即滿足r大于BD長度；要滿足點(diǎn)C在⊙D外即r小于CD長度.【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，連接CD交AF于點(diǎn)G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tanB＝2，∴，即AF＝4，∴AB＝，∵D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝，G是△ABC的重心，∴GF＝AF＝，∴CG＝，∴CD＝CG＝，∵點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，∴＜r＜，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)求線段長度，三角形重心，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)BC邊上的高和CD的交點(diǎn)是三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，即可求出CD的長度.二、填空題5．（2021·上海浦東新·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB．如果⊙C經(jīng)過點(diǎn)A，那么點(diǎn)B與⊙C的位置關(guān)系是_____．【答案】點(diǎn)B在⊙C外【分析】直接根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C在線段AB上，且0＜AC＜AB，∴BC＞AC，∴點(diǎn)B在⊙C外，故答案為：點(diǎn)B在⊙C外．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，當(dāng)d＞r時點(diǎn)P在圓外；當(dāng)d＜r時點(diǎn)P在圓內(nèi)是解答此題的關(guān)鍵．6．（2018·上海金山·九年級期末）如圖，AB是⊙O的弦，∠OAB=30°．OC⊥OA，交AB于點(diǎn)C，若OC=6，則AB的長等于__．【答案】18【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠B=∠A=30°，∵∠COA=90°，∴AC=2OC=2×6=12，∠ACO=60°，∵∠ACO=∠B+∠BOC，∴∠BOC=∠ACO-∠B=30°，∴∠BOC=∠B，∴CB=OC=6，∴AB=AC+BC=18，故答案為18.7．（2020·上海松江·二模）如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．（1）求證：AB＝AC；（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．【分析】（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，利用角平分線的性質(zhì)和垂徑定理即可得出答案；（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，首先證明，然后再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】證明：（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：∵AO平分∠BAC．∴OD＝OE．，．，，∴AB＝AC；（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，如圖所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．8．（2021·上海嘉定·二模）已知四邊形ABCD是菱形（如圖），以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑的圓分別與邊AD、CD、BC、AB，相交于點(diǎn)E、F、G、H，聯(lián)結(jié)BE．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)EG，如果，求證：．【分析】（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圓B中，BE=BD，則∠ADB=∠ABD=∠BED，即△BDE∽△ADB；（2）聯(lián)結(jié)EG，EG∥AB，又AD∥BC，四邊形ABGE是平行四邊形，則AE=BG=BD，由（1）得△BDE∽△ADB，得到，即BD2=AD?DE，則可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）在菱形ABCD中，AD=AB，∠ADB=∠ABD，又在圓B中，BE=BD，∴∠BDE=∠BED，∴∠ADB=∠ABD=∠BED，∴△BDE∽△ADB；（2）如圖，∵EG∥AB，又AD∥BC，∴四邊形ABGE是平行四邊形，∴AE=BG，∵BG=BD，∴AE=BD，又由（1）得△BDE∽△ADB，∴，∴BD2=AD?DE，又在菱形ABCD中，AD=BC，∴AE2=DE?CB．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)