高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題檢測(cè)（十一）空間幾何體的三視圖、表面積及體積 理（普通生含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題檢測(cè)（十一）空間幾何體的三視圖、表面積及體積一、選擇題1．如圖所示是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()解析：選D先觀察俯視圖，由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確，由正視圖和側(cè)視圖可知選項(xiàng)D正確．2．設(shè)一個(gè)球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的體積為()A．100π B.eq\f(256,3)πC.eq\f(400,3)π D.eq\f(500,3)π解析：選D因?yàn)榍忻鎴A的半徑r＝4，球心到切面的距離d＝3，所以球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(42＋32)＝5，故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π，即該西瓜的體積為eq\f(500,3)π.3．(2019屆高三·開封高三定位考試)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A．4π B．2πC.eq\f(4π,3) D．π解析：選B由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面積為eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，則該幾何體的體積為eq\f(2π,3)×3＝2π.4．《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為()A．2 B．4＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2) D．4＋6eq\r(2)解析：選C由三視圖知，該幾何體是直三棱柱ABC-A1B1C1，其直觀圖如圖所示，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝eq\r(2)，∠C＝90，側(cè)面為三個(gè)矩形，故該“塹堵”的側(cè)面積S＝(2＋2eq\r(2))×2＝4＋4eq\r(2).5．(2018·惠州二調(diào))如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)全等的等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)都等于1，則該幾何體的外接球的體積為()A.eq\f(1,2)π B.eq\f(\r(3),2)πC．3π D.eq\f(4,3)π解析：選B還原幾何體為如圖所示的三棱錐A-BCD，將其放入棱長(zhǎng)為1的正方體中，如圖所示，則三棱錐A-BCD外接球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)，該幾何體的外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(3),2)π，故選B.6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是()A.eq\f(4,3)cm3 B.eq\f(8,3)cm3C．2cm3 D．4cm3解析：選B由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm的四棱錐，如圖，故V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3)(cm3)．7．如圖，已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為()A.eq\f(16π,3) B．8πC．16π D．64π解析：選C由題知△EAB為等邊三角形，設(shè)球心為O，O在平面ABCD的射影為矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影為△EAB的重心G，又由平面EAB⊥平面ABCD，則△OGA為直角三角形，OG＝1，AG＝eq\r(3)，所以R2＝4，所以多面體E-ABCD的外接球的表面積為4πR2＝16π.8．(2018·昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成．一個(gè)“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體)的體積為()A．63π B．72πC．79π D．99π解析：選A由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為π×32×5＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＝63π.9．(2019屆高三·武漢調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為()A．28 B．24＋2eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)解析：選B根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖如圖所示，可知該幾何體是一個(gè)底面是梯形的四棱柱．根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)，可得該幾何體中梯形的上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為3，高為2，所以該幾何體的表面積S＝eq\f(1,2)×(2＋3)×2×2＋2×2＋2×3＋2×2＋2×eq\r(22＋12)＝24＋2eq\r(5)，故選B.10.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)視圖是直角邊長(zhǎng)分別為1和eq\r(3)的直角三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的內(nèi)接三棱錐的體積的最大值為()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(\r(3)π,3)解析：選B由三視圖可知該幾何體為半個(gè)圓錐，圓錐的母線長(zhǎng)l＝2，底面半徑r＝1，高h(yuǎn)＝eq\r(3).由半圓錐的直觀圖可得，當(dāng)三棱錐的底面是斜邊，為半圓直徑，高為半徑的等腰直角三角形，棱錐的高為半圓錐的高時(shí)，其內(nèi)接三棱錐的體積達(dá)到最大值，最大體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)，故選B.11．(2019屆高三·貴陽(yáng)摸底考試)某實(shí)心幾何體是用棱長(zhǎng)為1cm的正方體無(wú)縫粘合而成的，其三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．50cm2 B．61cm2C．84cm2 D．86cm2解析：選D根據(jù)題意可知該幾何體由3個(gè)長(zhǎng)方體(最下面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5cm,5cm,1cm；中間長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3cm,3cm,1cm；最上面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為1cm,1cm,1cm)疊合而成，長(zhǎng)、寬、高分別為5cm,5cm,1cm的長(zhǎng)方體的表面積為2(5×5＋5×1＋5×1)＝2×35＝70(cm2)；長(zhǎng)、寬、高分別為3cm,3cm,1cm的長(zhǎng)方體的表面積為2(3×3＋3×1＋3×1)＝2×15＝30(cm2)；長(zhǎng)、寬、高分別為1cm，1cm,1cm的長(zhǎng)方體的表面積為2(1×1＋1×1＋1×1)＝2×3＝6(cm2)．由于幾何體的疊加而減少的面積為2×(3×3)＋2×(1×1)＝2×10＝20(cm2)，所以所求表面積為70＋30＋6－20＝86(cm2)．12．在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，M為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐M-PBC的體積為()A．1 B.eq\f(3,2)C.eq\f(9,2) D．與M點(diǎn)的位置有關(guān)解析：選B∵eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，∴點(diǎn)P到平面BCC1B1的距離是D1到平面BCC1B1距離的eq\f(1,3)，即為eq\f(D1C1,3)＝1.M為線段B1C1上的點(diǎn)，∴S△MBC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，∴VM-PBC＝VP-MBC＝eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(3,2).13．(2018·洛陽(yáng)尖子生第一次聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．2 B．1C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)解析：選C由題圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示，其中PD⊥平面ABCD，底面ABCD是一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，底面積S＝eq\f(1,2)×2×2＝2，高h(yuǎn)＝1，則該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(2,3)，故選C.14．(2018·武漢調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2,3)解析：選D由三視圖知，該幾何體是在長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1的長(zhǎng)方體中，截去一個(gè)三棱柱AA1D1-BB1C1和一個(gè)三棱錐C-BC1D后剩下的幾何體，即如圖所示的四棱錐D-ABC1D1，四棱錐D-ABC1D1的底面積為S四邊形ABC1D1＝2×eq\r(2)＝2eq\r(2)，高h(yuǎn)＝eq\f(\r(2),2)，其體積V＝eq\f(1,3)S四邊形ABC1D1h＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2,3).15．(2019屆高三·安徽知名示范高中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選C法一：該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐S-ABCD，SD⊥平面ABCD，且SD＝1，四邊形ABCD是平行四邊形，且AB＝DC＝1，連接BD，由題意知BD⊥DC，BD⊥AB，且BD＝1，所以S四邊形ABCD＝1，所以VS-ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD·SD＝eq\f(1,3).法二：由三視圖易知該幾何體為錐體，所以V＝eq\f(1,3)Sh，其中S指的是錐體的底面積，即俯視圖中四邊形的面積，易知S＝1，h指的是錐體的高，從正視圖和側(cè)視圖易知h＝1，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3).16．(2018·福州質(zhì)檢)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面積為9π，則球O的表面積為()A．10π B．25πC．50π D．100π解析：選D設(shè)球O的半徑為R，由平面ABC截球O所得截面的面積為9π，得△ABC的外接圓的半徑為3.設(shè)該外接圓的圓心為D，因?yàn)锳B⊥BC，所以點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以DC＝3.因?yàn)镻A⊥平面ABC，易證PB⊥BC，所以PC為球O的直徑．又PA＝8，所以O(shè)D＝eq\f(1,2)PA＝4，所以R＝OC＝eq\r(42＋32)＝5，所以球O的表面積為S＝4πR2＝100π.二、填空題17．一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為正三角形，則該四棱錐的體積是________．解析：由四棱錐的三視圖可知，該四棱錐的直觀圖如圖中四棱錐P-ABCD所示，底面ABCD為邊長(zhǎng)為1的正方形，△PAD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，作PO⊥AD于點(diǎn)O，則O為AD的中點(diǎn)，所以四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6).答案：eq\f(\r(3),6)18.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)．若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐B-ACC1D解析：取AC的中點(diǎn)O，連接BO(圖略)，則BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D.因?yàn)锳B＝2，所以BO＝eq\r(3).因?yàn)镈為棱AA1的中點(diǎn)，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱錐B-ACC1D的體積為eq\f(1,3)×6×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)19.如圖，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱，則圓柱的側(cè)面積最大值是________．解析：設(shè)圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r＝4cosα，圓柱的高為8sinα.所以圓柱的側(cè)面積為32πsin2α.當(dāng)且僅當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，sin2α＝1，圓柱的側(cè)面積最大，所以圓柱的側(cè)面積的最大值為32π.答案：32π20．(2018·沈陽(yáng)質(zhì)檢)已