高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 三角函數(shù)與解三角形 第1講 三角函數(shù)的概念與恒等變換考題溯源變式 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題六三角函數(shù)與解三角形第1講三角函數(shù)的概念與恒等變換考題溯源教材變式理真題示例對應(yīng)教材題材評說(2015·高考全國卷Ⅰ，5分)sin20°·cos10°－cos160°sin10°＝()A.－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)(必修4P132練習(xí)T5(6))求值.sin20°cos110°＋cos160°sin70°條件結(jié)論相互轉(zhuǎn)換是高考試題命制的途徑之一，平常學(xué)習(xí)時，注重這種思想鍛煉會收到極佳的學(xué)習(xí)效果.[教材變式訓(xùn)練]一、選擇題[變式1](必修4P69T8(3)改編)已知tanα＝3，則(sinα－cosα)2等于()A.eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(7,5) D．eq\f(8,5)解析：選B.∵tanα＝3，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝1－eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝1－eq\f(6,10)＝eq\f(2,5).[變式2](必修4P146T8(3)改編)化簡eq\f(sin3α,sinα)－2cos2α等于()A．sinα B．cosαC．1 D．0解析：選C.eq\f(sin3α,sinα)－2cos2α＝eq\f(sin2αcosα＋cos2αsinα,sinα)－2cos2α＝2cos2α＋cos2α－2cos2α＝2cos2α－(2cos2α－1)＝1.[變式3](必修4P143T2改編)已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，若tanα＝mtanβ，則m的值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C.由sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，∴sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，∴tanα＝5tanβ，∴m＝5，故選C.[變式4](必修4P135T3改編)已知sin2α＝－sinα，α是第二象限角，則tan2α的值為()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)解析：選D.∵sin2α＝－sinα，∴cosα＝－eq\f(1,2)，因α為第二象限角，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×（－\r(3)）,1－（－\r(3)）2)＝eq\r(3)，故選D.[變式5](必修4P135練習(xí)T2改編)已知sin(α－π)＝eq\f(3,5)，α是第四象限角，則tan(α＋eq\f(π,4))的值為()A．7 B．－7C.eq\f(1,7) D．－eq\f(1,7)解析：選C.∵sin(α－π)＝eq\f(3,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5)，又∵α為第四象限角，∴cosα＝eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(（－\f(3,4)）＋1,1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7)，故選C.[變式6](必修4P146T5(2)改編)cos50°(eq\r(3)－tan10°)的值為()A．1 B．－1C.eq\r(3) D．－eq\r(3)解析：選A.cos50°(eq\r(3)－tan10°)＝cos50°·eq\f(\r(3)cos10°－sin10°,cos10°)＝cos50°·eq\f(2（sin60°cos10°－cos60°sin10°）,cos10°)＝eq\f(2sin50°cos50°,cos10°)＝eq\f(sin100°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.故選A.二、填空題[變式7](必修4P137A組T5改編)已知sin(30°＋α)＝eq\f(3,5)且60°<α<150°，則cos(2α＋150°)＝________．解析：設(shè)30°＋α＝t，∴90°<t<180°，∵sint＝eq\f(3,5)，∴cost＝－eq\f(4,5)，∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t－30°)＋150°]＝cos(2t＋90°)＝－sin2t＝－2sintcost＝eq\f(24,25).答案：eq\f(24,25)[變式8](必修4P146A組T6(3)(4)改編)已知cos2θ＝eq\f(4,5)，則sin4θ＋cos4θ＝________．解析：法一：∵cos2θ＝eq\f(4,5)，∴2cos2θ－1＝eq\f(4,5)，1－2sin2θ＝eq\f(4,5)，∴cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10)，∴sin4θ＋cos4θ＝eq\f(41,50).法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)(1－cos22θ)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(9,25)＝eq\f(41,50).答案：eq\f(41,50)[變式9](必修4P147B組T8改編)已知直線l的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6時，原點到直線l的距離為________．解析：∵α為直線l的傾斜角，∴0≤α<π又∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴cosα＝eq\f(1,5)－sinα，由sin2α＋cos2α＝1，∴25sin2α－5sinα－12＝0，∴sinα＝eq\f(4,5)或sinα＝－eq\f(3,5)(舍去)，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴tanα＝－eq\f(4,3)，設(shè)直線l在y軸上的截距為b，∴直線l的方程為y＝－eq\f(4,3)x＋b，令y＝0，l在x軸上的截距為eq\f(3b,4)，∴eq\f(1,2)|b|×|eq\f(3,4)b|＝6，∴|b|＝4，∴原點到直線l的距離d＝eq\f(3|b|,\r(42＋32))＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)[變式10](必修4P147B組T5改編)已知sinθ，cosθ是關(guān)于x的一元二次方程x2－(2sinα)x＋sin2β＝0的兩實根，則eq\f(cos2α,cos2β)＝________．解析：由題意得sinθ＋cosθ＝2sinα，①s