專題09 解答題第23題（幾何證明）（16區(qū)）（解析版）

專題09解答題第23題（幾何證明）（16區(qū)）1．（2023·上海楊浦·二模）已知：在直角梯形中，，，沿直線翻折，點(diǎn)A恰好落在腰上的點(diǎn)E處．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E是腰的中點(diǎn)時(shí)，求證：是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，如果，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)得到，通過折疊、等邊對(duì)等角、平行線的性質(zhì)得到，從而證明是等邊三角形；（2）過點(diǎn)D作于H，得到四邊形是矩形，從而，，再由折疊得到角之間的關(guān)系從而證明，得到，；由得到，進(jìn)而，結(jié)合已知條件得到，進(jìn)一步得到，所以四邊形是平行四邊形，又，所以證明得到四邊形是矩形．【詳解】（1）由折疊得：，∵點(diǎn)E是腰的中點(diǎn)∴是的垂直平分線是等邊三角形（2）過點(diǎn)D作，垂足為H，，，，，∴四邊形是矩形，，，由折疊得：，，，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，∴四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定，矩形的判定．相似三角形的判定與性質(zhì)，圖中角和線段的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在梯形中，，過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)G在邊上，連接、，對(duì)角線與、分別交于點(diǎn)F、H，且．(1)求證：；(2)如果，且是與的比例中項(xiàng)，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理和比例的性質(zhì)，得出，證明，得出，根據(jù)，得出，即可求證；（2）根據(jù)是與的比例中項(xiàng)，，推出，則，根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，則，由（1）可得，則垂直平分，垂直平分，即可求證．【詳解】（1）證明：∵，∴，則，根據(jù)比例的性質(zhì)可得：,∵，∴，∴,∴，則，∴，∴，∵，∴，∵，∴，則，∴；（2）證明：∵是與的比例中項(xiàng)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，則，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）可得，∴垂直平分，∵，∴由內(nèi)角和定理可得，∴，∴垂直平分，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)．3．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形，、分別為邊、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，求正弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，進(jìn)而得出，則，根據(jù)平行線分線段成比例即可得證；（2）根據(jù)得出，設(shè)，則，，在中，，進(jìn)而根據(jù)正弦的定義即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵、分別為邊、的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵,∴，∴，即，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵又∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義，求角的正弦值，熟練掌握是正方形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義解題的關(guān)鍵．4．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知是等邊三角形，過點(diǎn)作（），且，聯(lián)結(jié)、．(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)點(diǎn)在腰上，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì)得到，繼而得到進(jìn)行證明即可；（2）將等積式化為比例式，利用兩邊成比例且夾角相等的三角形相似得到，即，進(jìn)而得到進(jìn)行證明．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，又∵，∴，∵∴∴∵（）∴四邊形是等腰梯形；（2）證明：∵，∴，又∵，∴∴，又∵，，∴∴又∴【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰梯形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如圖，已知、分別是和它的鄰補(bǔ)角的角平分線，，垂足為點(diǎn)E，，連接，分別交、于點(diǎn)G、H．(1)求證：四邊形是矩形；(2)試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由CE、CF分別是∠ACB和它的鄰補(bǔ)角∠ACD的角平分線可得，由可得，再由于，根據(jù)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形可得證；（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且互相平分可得點(diǎn)H是的中點(diǎn)，，得到，由于，故，所以，得到，進(jìn)而得到．【詳解】（1）、分別是和的角平分線，，，，，，，，，，四邊形是矩形．（2）四邊形是矩形，，，是的角平分線，，，，，，四邊形是矩形，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義，三角形相似的證明與性質(zhì)．熟練運(yùn)用矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形中，，、交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)E是邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，如果，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由平行線的性質(zhì)證明，推出，再證明，即可證明；（2）由推出，等量代換得，利用相似三角形的判定定理推出，證明，據(jù)此即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，在和中，，，∴；（2）證明：由（1）知，，，又∵，∴，即，又∵，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．7．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，已知是的外接圓，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)D，連接，且．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作邊的平行線，交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F．請(qǐng)畫出相應(yīng)的圖形，并證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先證明，再證明，如圖，延長(zhǎng)交于，結(jié)合垂徑定理與等腰三角形的判定可得結(jié)論；（2）如圖，補(bǔ)全圖形如下：結(jié)合（1）設(shè)，再證明，，，可得，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，如圖，延長(zhǎng)交于，∴，∴，∴結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得：，∴．（2）如圖，補(bǔ)全圖形如下：結(jié)合（1）設(shè)，∵，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，而，∴，∴，而，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，熟練的證明三角形相似是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是的外接圓，交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段中點(diǎn)的定義得到三角形全等的條件，則，根據(jù)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”得到（2）連接，并延長(zhǎng)PO交AD于點(diǎn)M，先證明，再根據(jù)“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”得到為等邊三角形，然后根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得到，則，最后根據(jù)“在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等”得到．【詳解】（1）四邊形是矩形，且點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，在和中，，∴；（2）證明：如圖，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，四邊形是矩形，∴∵，，∴點(diǎn)、都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，，是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊，由正六邊形性質(zhì)可得∶，∵，是等邊三角形，又，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定以及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，點(diǎn)C、D在上，，點(diǎn)F、E分別在半徑、上，，連接、．(1)求證：；(2)設(shè)點(diǎn)Р為的中點(diǎn)，連接、、，線段交于點(diǎn)M、交于點(diǎn)N．如果，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后可證，進(jìn)而問題可求證；（2）由（1）可知：，，然后可得扇形關(guān)于對(duì)稱，則有，進(jìn)而問題可求證．【詳解】（1）證明：∵，是公共弧，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：如圖所示：由（1）可知：，，∵點(diǎn)Р為的中點(diǎn)，∴，∴扇形關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理、圓的基本性質(zhì)及矩形的判定，熟練掌握垂徑定理、圓的基本性質(zhì)及矩形的判定是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在正方形中，點(diǎn)在對(duì)角線的延長(zhǎng)線上，作，且，連接．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得，，再由，，可得，則，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)及補(bǔ)角的性質(zhì)可得，再由，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由，等量代換，即可得出結(jié)論；【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，又，．（2）證明：如圖，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，，，，四邊形是正方形，，，由（1）知，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線、交于E，M是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，與邊交于F，與對(duì)角線交于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)聯(lián)結(jié)，如果，求證：平行四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明，得到，證明，得到，進(jìn)而得到，即可得證；（2）證明，推出，進(jìn)而得到，即可得證．【詳解】（1）證明：∵平行四邊形，∴，∴，，∴，，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵平行四邊形中，對(duì)角線、交于E，∴，∴，即：，∴平行四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．本題的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似．12.（2023上海青浦二模）（本題滿分12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）如圖7，在平行四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，點(diǎn)E在邊BC上，聯(lián)結(jié)AE交BD于點(diǎn)F，且．（1）求證：點(diǎn)F在邊AB的垂直平分線上；（2）求證：AD·AE＝BE·BD．BBADECF圖7證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD//BC．∴∠ADB=∠CBD． （1分）∵BD平分∠ABC．∴∠ABD=∠CBD．∴∠ADB=∠ABD． （1分）∵，∴． （1分）又∵∠ABD=∠FBA（公共角），∴△ABF∽△DBA． （1分）∴∠FAB=∠ADB． （1分）∴∠FAB=∠ABD．∴AF=BF． （1分）∴即點(diǎn)F在邊AB的垂直平分線上．（2）由上題可知∠FAB=∠CBD， （1分）又∠BEA=∠FEB（公共角），∴△BEA∽△FEB． （1分）∴． （1分）∵．∴． （1分）∵∠ADB=∠ABD．∴AB=AD． （1分）∴．即AD·AE＝BE·BD． （1分）13.（2023上海奉賢二模）（本題滿分12分，每小題滿分6分）已知：如圖8，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E、F，射線EF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）求證：CE=CF；（2）如果，求證：．圖圖8解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠ADF．∵AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E、F，∴．∴． （3分）∴BE=DF． （1分）∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=DC．∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF． （2分）（2）∵，∴．∵∠G=∠G，∴△GDF∽△GFA．∴∠GFD=∠GAF． （1分）∵AD//BC，∴．∵CE=CF，∴DF=DG．∴∠GFD=∠G． （1分）∴∠G=∠GAF．∵，∴∠BAE=∠GAF．∴∠BAE=∠G．∵AD//BC，∴∠AEB=∠GAE．∴△AEG∽△EBA． （2分）∴．∵AE=AF，∴． （2分）14.（2023上海虹口二模）（本題滿分12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）如圖9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ADB=∠CDE，點(diǎn)F在BD上，聯(lián)結(jié)CF．（1）求證：AD·DE=AC·DC；（2）如果AD·CE=DF·DB，求證：四邊形DFCE為梯形．EE圖9CABDF解：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD∴∠ADC=∠DAB又∵AD=AD，∴△ABD≌△DCA………………（2分）∴∠DAC=∠ADB∵∠ADB=∠CDE∴∠DAC=∠CDE∵AD∥BC∴∠ADC=∠DCE∴△ADC∽△DCE……………（3分）∴即AD·DE=AC·DC………………（1分）（2）∵△ADC∽△DCE∴即DC2=AD·CE……………（2分）∵AD·CE=DF·DB∴DC2=DF·DB即又∵∠FDC=∠CDB∴△FDC∽△CDB……（2分）∴∠DCF=∠DBC………………（1分）∵AD∥BC∴∠DBC=∠ADB又∵∠ADB=∠CDE∴∠DCF=∠CDE∴CF∥DE……………（1分）又∵DF與CE不平行∴四邊形DFCE為梯形15.（2023上海普陀二模）(本題滿分12分，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分6分)已知:如圖9，四邊形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC上，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)F,AB·DC=BF·BD.(1)求證:四邊形ABCD為矩形;(2)過點(diǎn)O作OG⊥AC交AD于點(diǎn)G，求證:EC=2DG.(1)∵AB//CD，∴∠1=∠2,∵AB·DC=BF·BD,∴△ABF∽△BCD，∴∠AFB=∠BCD，∵AE⊥BD，∴∠AFB=