專題16 特殊角問題（原卷版）

特殊角問題一、知識導航一、什么是特殊角？說到特殊角我們很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事實上，之所以以上角能稱為特殊角，關鍵在于這些角的三角函數(shù)值特殊，比如同為整十，為什么我們會將60°稱為特殊角，而50°便不是，原因很簡單，，而我們并不知道50°的任一三角函數(shù)值．因此角度特殊不在于這個角是多少度，而在于其三角函數(shù)值是否有特殊值，所以除了常見的30°、45°、60°，我們可以擴充一下特殊角的范圍．

以及從最后一張圖中可得二倍角或者半角的三角函數(shù)構造：比如求tan15°：tan22.5°：一般半角三角函數(shù)值求法：一般二倍角函數(shù)值求法：

二、特殊角在坐標系中的意義當我們初次接觸到平面直角坐標系時，我們就認識了一、三象限角平分線及二、四象限角平分線，即直線y=x和直線y=-x，在一次函數(shù)中我們知道，若兩直線平行，則k相等．綜合以上兩點，可得：對于直線y=x+m或直線y=-x+m，與x軸夾角為45°．并且我們還可通過畫圖與計算得知：即“y=kx+b的k”與“直線和x軸的夾角”存在某種固定的聯(lián)系．關系就是：（是直線與x軸的夾角）．不裝了，我攤牌了~

三、坐標系中特殊角的處理在坐標系中構造定角，從其三角函數(shù)值著手：思路1：構造三垂直相似（或全等）；思路2：通過三角函數(shù)值化“角度條件”為“直線k”．二、典例精析引例1：如圖，在平面直線坐標系中，直線AB解析式為，點M（2，1）是直線AB上一點，將直線AB繞點M順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線CD，求CD解析式．【分析】思路1：構造三垂直相似（全等）在坐標系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，構造三垂直全等確定圖形．在直線AB上取一點O，過點O作OP⊥AB交CD于P點，分別過M、P向x軸作垂線，垂足為E、F點．易證△OEM≌△PFO，故PF=OE=2，OF=ME=1，故P點坐標為（-1，2），結合P、M坐標可解直線CD解析式：．構造等腰直角的方式也不止這一種，也可過點O作CD的垂線，但直角頂點未知的情況計算略難于直角頂點已知的情況，故雖可以做但并不推薦．思路2：利用特殊角的三角函數(shù)值．過M點作MN∥x軸，則，，考慮到直線CD的增減性為y隨著x的增大而減小，故，所以直線CD：，化簡得：．

引例2：如圖，在平面直線坐標系中，直線AB解析式為，點M（2，1）是直線AB上一點，將直線AB繞點M順時針旋轉(zhuǎn)得到直線CD，且，求直線CD解析式．【分析】在直線AB上再選取點O構造三垂直相似，如下圖所示，易證△PFO∽△OEM，且相似比，即，，故P點坐標為，結合P、M點坐標可解直線CD解析式：．本題并不容易從三角函數(shù)值本身下手，原因在于角度并不屬于我們所討論的特殊角范圍之內(nèi)，簡便的做法只存在于特殊的角中．認識特殊角，了解特殊角，運用特殊角，就能在復雜問題中找到簡便的求法．三、中考真題演練1．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過坐標原點，且頂點為．

(1)求拋物線的表達式；(2)設拋物線與軸正半軸的交點為，點位于拋物線上且在軸下方，連接、，若，求點的坐標．2．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；(2)已知拋物線上有一點，其中，若，求的值；3．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點，且自變量的部分取值與對應函數(shù)值如下表：

備用圖(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點，當點的橫坐標為，點的橫坐標為時，求的值；4．（2023·山東泰安·中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(3)小明認為，在第三象限拋物線上有一點D，使；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標；如果不正確，請說明理由．5．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接和交于點，當時．求點的坐標；6．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．

(1)求拋物線的解析式；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)P是拋物線上一動點（不與點A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．①如圖，若點P在第三象限，且，求點P的坐標；8．（2023·湖北·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點，頂點為，連接．

(1)拋物線的解析式為__________________；（直接寫出結果）(2)在圖1中，連接并延長交的延長線于點，求的度數(shù)；9．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標；10．（2023·四川·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接交軸于點，連接并延長交軸于點，在點運動過程中，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．11．（2023·湖南郴州·中考真題）已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．(1)求拋物線的表達式；(3)如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2023·湖南·中考真題）如圖，已知拋物線