高等數(shù)學(xué)教案

第14次課2學(xué)時上次課復(fù)習(xí)：上次我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的微分的定義以及初等函數(shù)的微分公式與微分法則，掌握了微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及微分形式的不變性。dyf(x)dx.d(u±v)=du±dv，d(Cu)=Cdu，d(u×v)=vdu+udv，，dy=y￠xdx=f￠(u)￠(x)dx.dy=f￠(u)du或dy=y￠udu.本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第一節(jié)中值定理教學(xué)要求：1.理解中值定理，特別是拉格朗日中值定理的分析意義和幾何意義;2.會證明中值定理，特別是學(xué)會構(gòu)造輔助函數(shù)證明問題的方法；3.初步具有應(yīng)用中值定理論證問題的能力.重點：羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理輔助函數(shù)的構(gòu)造難點：輔助函數(shù)的構(gòu)造教學(xué)手段及教具：以講授為主，使用電子教案講授內(nèi)容及時間分配：羅爾定理15分鐘拉格朗日中值定理25分鐘柯西中值定理25分鐘中值定理的應(yīng)用舉例35分鐘課后作業(yè)作業(yè)：P2.4.5.6.10.11(1)參考資料注：本頁為每次課教案首頁第一節(jié)中值定理中值定理羅爾定理如滿足：（1）在連續(xù).（2）在可導(dǎo).（3）,則至少存在一點,使證明：(1)如果f(x)是常函數(shù),則f(x)0,定理的結(jié)論顯然成立.(2)如果f(x)不是常函數(shù),則f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個最大值點或最小值點,不妨設(shè)有一最大值點(a,b).于是所以f(x)=0.羅爾定理的幾何意義:連續(xù)曲線弧除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，且兩個端點縱坐標(biāo)相等，則在弧上至少有一點該點處曲ab線的切線水平。例1設(shè)，則在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，方程有2個實根；有1個根.例2設(shè)在[0，1]可導(dǎo)，且，證明存在，使。證：設(shè)在[a,b]可導(dǎo)，∴存在使即.例3設(shè)在[0，1]可導(dǎo)，且,證明存在，使。解:設(shè)，且由羅爾定理，存在，使，即，拉格朗日中值定理如滿足：在[a,b]連續(xù)；在（a,b）連續(xù)，則存在,使.證明:引進輔助函數(shù)(x)f(x)x.容易驗證函數(shù)(x)適合羅爾定理的條件:(a)(b)0,(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(x)f(x).根據(jù)羅爾定理,可知在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點,使()0,即f()0.由此得f(),即f(b)f(a)f()(ba).定理證畢.拉格朗日中值定理的幾何意義:連續(xù)曲線弧除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，則在弧上至少有一點該點處曲線的切線平行于弦ABab拉格朗日中值公式的其它形式:設(shè)x為區(qū)間[a,b]內(nèi)一點,xx為這區(qū)間內(nèi)的另一點(x>0或x<0),則在[x,xx](x>0)或[xx,x](x<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式,得f(xx)f(x)f(xqx)x(0<q<1).如果記f(x)為y,則上式又可寫為yf(xqx)x(0<q<1).試與微分dyf(x)x比較:dyf(x)x是函數(shù)增量y的近似表達式,而f(xqx)x是函數(shù)增量y的精確表達式.推論：=1\*GB2⑴如果在區(qū)間I上，則.證在區(qū)間I上任取兩點x1,x2(x1<x2),應(yīng)用拉格朗日中值定理,就得f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2).由假定,f()0,所以f(x2)f(x1)0,即f(x2)f(x1).因為x1,x2是I上任意兩點,所以上面的等式表明:f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的,這就是說,f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù).例4證明對任意滿足的x，都有.證明：設(shè)∵∴∵∴設(shè)，證明.證明：設(shè)，則在區(qū)間[0,]上滿足拉格朗日中值條件，則有又由于，所以上式即為，又由于，有，即.柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零,那么在(a,b)內(nèi)至少有一點,使等式成立.顯然,如果取F(x)x,那么F(b)F(a)ba,F(x)1,因而柯西中值公式就可以寫成:f(b)f(a)f()(ba)(a<<b),這樣就變成了拉格朗日中值公式了.第次課學(xué)時上次課復(fù)習(xí)：上次我們學(xué)習(xí)了三個中值定理，一個推論。羅爾定理如滿足：（1）在連續(xù).（2）在可導(dǎo).則至少存在一點使。格朗日中值定理如滿足：在[a,b]連續(xù)；在（a,b）連續(xù)，則存在,使3．柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(x)在(a,b)內(nèi)的每一點處均不為零,那么在(a,b)內(nèi)至少有一點,使等式成立.推論：=1\*GB2⑴如果在區(qū)間I上，則.本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第二節(jié)洛必達法則教學(xué)要求：1.掌握洛必達法則；2.會求未定式的極限.重點：洛必達法則,計算未定式的極限難點：計算未定式的極限教學(xué)手段及教具：以講授為主，使用電子教案講授內(nèi)容及時間分配：未定式“”的極限25分鐘未定式“”的極限15分鐘未定式“”，“”，“”，“”的極限35分鐘補充例題25分鐘課后作業(yè)作業(yè)：P1（2），（5），（6），（7），（8）,(9),(11),(13),(16).2.4.參考資料注：本頁為每次課教案首頁第二節(jié)洛必達法則洛必達法則未定式：如下的函數(shù)極限都是未定式。1、型：如：型：2、型：如：3、型：如：4、型：如：5、型：如：6、型：如：7、型：如：它們的計算不能用函數(shù)極限的四則運算法則，且它們只表示類型，沒有具體意義。1、型的洛必達法則(同理)定理：對函數(shù)和，如果：（1）,（2）在某個鄰域內(nèi)（后）有導(dǎo)數(shù)和，且；（3）存在（或無窮），則成立：=.證明因為極限與f(a)及g(a)無關(guān),所以可以假定f(a)g(a)0,于是由條件(1)、(2)知,f(x)及g(x)在點a的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的.設(shè)x是這鄰域內(nèi)的一點,那么在以x及a為端點的區(qū)間上,柯西中值定理的條件均滿足,因此有(在x與a之間).令xa,并對上式兩端求極限,注意到xa時a,再根據(jù)條件(3)便得要證明的結(jié)論.例1求(b0).解:.例2求.解:.例3.求.解:.例4.求.解:.2、求“”型未定式的極限.例5.求(n>0).解:.例6.求(n為正整數(shù),>0).解:.3.其它類型未定式0、、00、1、0都可以轉(zhuǎn)化為或型未定式來計算.1)2)3)4)（解法同3）例7.求(n>0).解:.例8.求.解:.例9.求.解:(根據(jù)例7).洛必達法則是求未定式的一種有效方法,但最好能與其它求極限的方法結(jié)合使用.例如能化簡時應(yīng)盡可能先化簡,可以應(yīng)用等價無窮小替代或重要極限時,應(yīng)盡可能應(yīng)用,這樣可以使運算簡捷.例10.求.解:.最后,我們指出,本節(jié)定理給出的是求未定式的一種方法.當(dāng)定理條件滿足時,所求的極限當(dāng)然存在（或為）,但定理條件不滿足時,所求極限卻不一定不存在.例11.求.解:因為極限不存在,所以不能用洛必達法則..求極限的方法小結(jié):（1）單調(diào)有界序列必有極限;（2）用夾逼定理;（3）用極限運算法則（4）用函數(shù)的連續(xù)性;（5）用兩個重要極限;（6）無窮小乘有界函數(shù)仍是無窮小;(7)等價無窮小替換（8）用洛必達法則;補充例題:例11求極限(a>0,b>0).解lnalnbln.例12.例133.例14求極限xln(a0).解：xln2a2a.例15解：設(shè)A,則lnA=lnx0,于是e01.例16().注：用洛必達法則有時不能求結(jié)果，此時需用以前的方法。例求下列極限:（1）==.（2）=.第次課學(xué)時上次課復(fù)習(xí)：上次我們學(xué)習(xí)了未定式“”的極限，“”的極限，未定式“”，“”，“”，“”的極限.本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第三節(jié)泰勒公式教學(xué)要求：1.掌握泰勒定理，理解泰勒公式的意義;2.熟記函數(shù)，,，的麥克勞林展開式；3.會求函數(shù)的麥克勞林展開式.重點：泰勒定理麥克勞林展開式難點：泰勒定理教學(xué)手段及教具：以講授為主，使用電子教案講授內(nèi)容及時間分配：泰勒定理及其證明40分鐘麥克勞林展開式30分鐘函數(shù)，，,，的麥克勞林展開式30分鐘課后作業(yè)作業(yè)：P2.5.6參考資料注：本頁為每次課教案首頁第三節(jié)泰勒公式一．泰勒公式對于一些較復(fù)雜的函數(shù),為了便于研究,往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達.由于用多項式表示的函數(shù),只要對自變量進行有限次加、減、乘三種運算,便能求出它的函數(shù)值,因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù),現(xiàn)在我們希望做的是:找出一個關(guān)于(x-x0)的n次多項式pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0來近似表達f(x),要求pn(x)與f(x)之差是比(x-x0)n高階的無窮小,并給出誤差|f(x)-pn(x)|的具體表達式.我們自然希望pn(x)與f(x)在x0的各階導(dǎo)數(shù)(直到(n+1)階導(dǎo)數(shù))相等,這樣就有pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0)npn￠(x)=a1+2a2(x-x0)+×××+nan(x-x0)n-1,pn￠￠(x)=2a2+3×2a3(x-x0)+×××+n(n-1)an(x-x0)n-2pn￠￠￠(x)=3!a3+4×3×2a4(x-x0)+×××+n(n-1)(n-2)an(x-x0)n-3,××××××,pn(n)(x)=n!an.于是pn(x0)=a0,pn￠(x0)=a1,pn￠￠(x0)=2!a2,pn￠￠￠(x)=3!a3,×××,pn(n)(x)=n!an.按要求有f(x0)=pn(x0)=a0,f￠(x0)=pn￠(x0)=a1,f￠￠(x0)=pn￠￠(x0)=2!a2,f￠￠￠(x0)=pn￠￠￠(x0)=3!a3,┅，f(n)(x0)=pn(n)(x0)=n!從而有a0=f(x0),a1=f￠(x0),,×××,,.(k0,1,2,,n)于是就有pn(x)=f(x0)+f￠(x0)(x-x0)(x-x0)2+×××(x-x0)n.泰勒中值定理：如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n+1)的階導(dǎo)數(shù),則當(dāng)x在(a,b)內(nèi)時,f(x)可以表示為(x-x0)的一個n次多項式與一個余項Rn(x)之和:其中(介于x0與x之間).這里多項式稱為函數(shù)f(x)按(x-x0)的冪展開的n次近似多項式,公式+×××,稱為f(x)按(x-x0)的冪展開的n階泰勒公式,而Rn(x)的表達式(介于x與x0之間)稱為拉格朗日型余項.注：=1\*GB2⑴當(dāng)n=0時,泰勒公式變成拉格朗日中值公式:f(x)=f(x0)+f￠()(x-x0)(在x0與x之間).因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.=2\*GB2⑵如果對于某個固定的n,當(dāng)x在區(qū)間(a,b)內(nèi)變動時,|f(n+1)(x)|總不超過一個常數(shù)M,則有估計式:,及.可見,當(dāng)x?x0時,誤差|Rn(x)|是比(x-x0)n高階的無窮小,即Rn(x)=o[(x-x0)n].在不需要余項的精確表達式時,n階泰勒公式也可寫成+×××=3\*GB2⑶當(dāng)x0=0時的泰勒公式稱為麥克勞林公式,就是,或,其中.由此得近似公式:誤差估計式變?yōu)?.二.常見函數(shù)的泰勒展式例1寫出函數(shù)f(x)ex的n階麥克勞林公式.解:因為f(x)f(x)f(x)f(n)(x)ex,所以f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1,于是(0<),并有.這時所產(chǎn)性的誤差為|Rn(x)||xn1|<|x|n1.當(dāng)x1時,可得e的近似式:.其誤差為|Rn|<.例2求f(x)sinx的n階麥克勞林公式.解:因為f(x)cosx,f(x)sinx,f(x)cosx,,,,f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1,f(4)(0)0,于是.當(dāng)m1、2、3時,有近似公式sinxx,,.例3求f(x)sinx的n階麥克勞林公式.解:因為f(x)cosx,f(x)sinx,f(x)cosx,,,,f(0)0,f(0)1,f(0)0,f(0)1,f(4)(0)0,于是.當(dāng)m1、2、3時,有近似公式sinxx,,.例4.求f(x)cosx的n階麥克勞林公式.解:因為f(x)-sinx,f(x)cosx,f(x)sinx,,,,f(0)1,f(0)0,f(0),f(0)0,f(4)(0)1,于是.第次課學(xué)時上次課復(fù)習(xí)：泰勒定理,麥克勞林展開式,函數(shù)，的麥克勞林展開式本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性的判別法第五節(jié)函數(shù)的極值及求法教學(xué)要求：1.掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法及函數(shù)極值的求法;2.會確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會計算極值；3.掌握用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定極值的方法.重點：單調(diào)性的判定極值的求法極值的必要、充分條件難點：極值的必要、充分條件教學(xué)手段及教具：以講授為主，使用電子教案講授內(nèi)容及時間分配：函數(shù)單調(diào)性的判別法35分鐘極值的必要條件15分鐘第一充分條件20分鐘第二充分條件15分鐘例題15分鐘課后作業(yè)作業(yè)：P1.3.（2），（4），（6），（7），4.（1），（3），（5），6.P1.（2），（4），（6），（10），（13）參考資料注：本頁為每次課教案首頁第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判定法如果函數(shù)yf(x)在[a,b]上單調(diào)增加（單調(diào)減少）,那么它的圖形是一條沿x軸正向上升（下降）的曲線.這時曲線的各點處的切線斜率是非負的（是非正的）,即yf(x)0(yf(x)0).由此可見,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的關(guān)系.xx反過來,能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)yf(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(1)如果在(a,b)內(nèi)f(x)>0,那么函數(shù)yf(x)在[a,b]上單調(diào)增加;(2)如果在(a,b)內(nèi)f(x)<0,那么函數(shù)yf(x)在[a,b]上單調(diào)減少.證明只證(1).在[a,b]上任取兩點x1,x2(x1<x2),應(yīng)用拉格朗日中值定理,得到f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1<<x2).由于在上式中,x2x1>0,因此,如果在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f(x)保持正號,即f(x)>0,那么也有f()>0.于是f(x2)f(x1)f()(x2x1)>0,即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)yf(x)在[a,b]上單調(diào)增加.注:判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間.例1判定函數(shù)yxsinx在[0,2]上的單調(diào)性.解因為在(0,2)內(nèi)y1cosx>0,所以由判定法可知函數(shù)yxsinx在[0,2]上的單調(diào)增加.例2討論函數(shù)yexx1的單調(diào)性.（沒指明在什么區(qū)間怎么辦？)解yex1.函數(shù)yexx1的定義域為(,).因為在(,0)內(nèi)y<0,所以函數(shù)yexx1在(,0]上單調(diào)減少;因為在(0,)內(nèi)y>0,所以函數(shù)yexx1在[0,]上單調(diào)增加.例3.討論函數(shù)的單調(diào)性.解:函數(shù)的定義域為(,).當(dāng)時,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(x0),當(dāng)x0時,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在.因為x<0時,y<0,所以函數(shù)在(,0]上單調(diào)減少;因為x>0時,y>0,所以函數(shù)在[0,]上單調(diào)增加.注：如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),那么只要用方程f(x)0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間,就能保證f(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號,因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào).例4.確定函數(shù)f(x)2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間.解這個函數(shù)的定義域為:(,).函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f(x)6x218x126(x1)(x2).導(dǎo)數(shù)為零的點有兩個:x11、x22.列表分析:(,1][1,2][2,)f(x)f(x)↗↘↗函數(shù)f(x)在區(qū)間(,1]和[2,)內(nèi)單調(diào)增加,在區(qū)間[1,2]上單調(diào)減少.例5.討論函數(shù)yx3的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域為:(,).函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:y3x2.除當(dāng)x0時,y0外,在其余各點處均有y>0.因此函數(shù)yx3在區(qū)間(,0]及[0,)內(nèi)都是單調(diào)增加的.從而在整個定義域:(,)內(nèi)是單調(diào)增加的.在x0處曲線有一水平切線.一般地,如果f(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個點處為零,在其余各點處均為正（或負）時,那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.例6證明:當(dāng)x1時,.證明:令,則.因為當(dāng)x>1時,f(x)>0,因此f(x)在[1,)上f(x)單調(diào)增加,從而當(dāng)x>1時,f(x)>f(1).由于f(1)0,故f(x)>f(1)0,即,也就是(x1).例7設(shè)，證明證明：即證設(shè) ，時∴單減當(dāng)即第五節(jié)函數(shù)的極值及求法函數(shù)的極值及其求法1．定義：如在鄰域內(nèi)，恒有，，則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲?。使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.使函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點稱為駐點。注：=1\*GB2⑴.極值為局部的最值.=2\*GB2⑵.極值點為函數(shù)單調(diào)性改變的點.=3\*GB2⑶可能取得極值的點：不存在的點與的點。（駐點）但駐點不一定是極值點，極值點不一定是駐點.2.判別方法=1\*GB3①.第一充分條件：如果=0，且在左側(cè)>0在右側(cè)<0則在處取得極大值,如果=0，且在左側(cè)<0在右側(cè)>0則在處取得極小值,如果=0，且在左側(cè)與右側(cè)符號相同則在處不取極值。極小值極大值=2\*GB3②.第二充分條件：=0，，極小值極大值時，不一定是極值.3．確定極值點和極值的步驟:(1)求出導(dǎo)數(shù)f￠(x);(2)求出f(x)的全部駐點和不可導(dǎo)點;(3)列表判斷(考察f￠(x)的符號在每個駐點和不可導(dǎo)點的左右鄰近的情況,以便確定該點是否是極值點,如果是極值點,還要確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值);(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值.例1求函數(shù)的極值.解：，列表如下：(,)[,3]3[3,)f(x)00f(x)↗極大值10↘極小值↗例2求函數(shù)的極值.解：(1)f￠(x)=6x(x2-1)2.(2)令f￠(x)=0,求得駐點x1=-1,x2=0,x3=1.(3)f￠￠(x)=6(x2-1)(5x2-1).(4)因f￠￠(0)=6>0,所以f(x)在x=0處取得極小值,極小值為f(0)=0.(5)因f￠￠(-1)=f￠￠(1)=0,用定理3無法判別.因為在-1的左右鄰域內(nèi)f￠(x)<0,所以f(x)在-1處沒有極值;同理,f(x)在1處也沒有極值.上次課復(fù)習(xí)：函數(shù)單調(diào)性的判別法，極值的必要條件，第一充分條件，第二充分條件本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第六節(jié)最大值與最小值問題第七節(jié)曲線的凹凸性與拐點教學(xué)要求：1.掌握函數(shù)最大值與最小值的求法;2.掌握曲線的凹凸性的概念；3.會判定曲線的凹凸性與拐點.重點：曲線的凹凸與拐點，最大值、最小值的求解難點：最大值、最小值的求解教學(xué)手段及教具：以講授為主，使用電子教案講授內(nèi)容及時間分配：求函數(shù)最大值與最小值的步驟15分鐘具體問題的最大值、最小值的求解35分鐘曲線的凹凸與拐點30分鐘例題20分鐘課后作業(yè)作業(yè)：P1.（2），(3),3.5.6P1.（1），(4),2..(1)),(3),(6),3.(1),(3),4.(1)7.8.參考資料第次課學(xué)時注：本頁為每次課教案首頁第六節(jié)最大值與最小值問題最大值最小值問題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中,常常會遇到這樣一類問題:在一定條件下,怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題,這類問題在數(shù)學(xué)上有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題.極值與最值的關(guān)系:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)的最大值和最小值一定存在.函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得,如果最大值不在區(qū)間的端點取得,則必在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得,在這種情況下,最大值一定是函數(shù)的極大值.因此,函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最大者.同理,函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者.最大值和最小值的求法:設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點(它們是可能的極值點)為x1,x2,×××,xn,則比較f(a),f(x1),×××,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是函數(shù)f(x)在[a,b]上的最小值.例1求函數(shù)f(x)|x23x2|在[34]上的最大值與最小值解在(34)內(nèi)f(x)的駐點為不可導(dǎo)點為x1和x2由于f(3)20f(1)0f(2)0f(4)6比較可得f(x)在x3處取得它在[34]上的最大值20在x1和x2處取它在[3例2工廠鐵路線上AB段的距離為100km.工廠C距A處為20km,AC垂直于AB.為了運輸需要,要在AB線上選定一點D向工廠修筑一條公路.已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比3:5.為了使貨物從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最省,問D點應(yīng)選在何處？解：設(shè)AD=x(km),則DB=100-x,.設(shè)從B點到C點需要的總運費為y,那么y=5k×CD+3k×DB(k是某個正數(shù)),即+3k(100-x)(0￡x￡100).現(xiàn)在,問題就歸結(jié)為:x在[0,100]內(nèi)取何值時目標(biāo)函數(shù)y的值最小.先求y對x的導(dǎo)數(shù):.解方程y￠=0,得x=15(km).由于y|x=0=400k,y|x=15=380k,其中以y|x=15=380k為最小,因此當(dāng)AD=x=15km時,總運費為最省.注:f(x)在一個區(qū)間(有限或無限,開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點x0,并且這個駐點x0是函數(shù)f(x)的極值點,那么,當(dāng)f(x0)是極大值時,f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值;當(dāng)f(x0)是極小值時,f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值.f(f(x0)Oax0bxy=f(x)yf(x0)Oax0bxy=f(x)y應(yīng)當(dāng)指出,實際問題中,往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值,而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得.這時如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點x0,那么不必討論f(x0)是否是極值,就可以斷定f(x0)是最大值或最小值.dhb例3把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁.問矩形截面的高h和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W()dhb解：b與h有下面的關(guān)系:h2=d2-b2,因而(0<b<d).這樣,W就是自變量b的函數(shù),b的變化范圍是(0,d).現(xiàn)在,問題化為:b等于多少時目標(biāo)函數(shù)W取最大值？為此,求W對b的導(dǎo)數(shù):.解方程W￠=0得駐點.由于梁的最大抗彎截面模量一定存在,而且在(0,d)內(nèi)部取得;現(xiàn)在,函數(shù)在(0,d)內(nèi)只有一個駐點,所以當(dāng)時,W的值最大.這時,,即..所以當(dāng)時,抗彎截面模量W最大這時第七節(jié)曲線的凹凸性與拐點曲線的凹凸與拐點1.凹凸性的概念x1x1x2yxOf(x2)f(x1)x1x2yxOf(x2)f(x1)定義設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),如果對I上任意兩點x1,x2,恒有,那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有,那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).連續(xù)曲線yf(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點.2.凹凸性的判定:定理設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在(a,b)內(nèi)f(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)f(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的.證明:只證(1)設(shè)x1x2[ab]且x1x2記由拉格朗日中值公式得兩式相加并應(yīng)用拉格朗日中值公式得即所以f(x)在[a,b]上的圖形是凹的3.確定曲線yf(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟:(1)確定函數(shù)yf(x)的定義域;(2)求出在二階導(dǎo)數(shù)f`(x);(3)求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點;(4)判斷或列表判斷,確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點;例1.判斷曲線ylnx的凹凸性.解,.因為在函數(shù)ylnx的定義域(0,)內(nèi),y<0,所以曲線ylnx是凸的.例2.判斷曲線yx3的凹凸性.解y3x2,y6x.由y0,得x0因為當(dāng)x<0時,y<0,所以曲線在(,0)內(nèi)為凸的;因為當(dāng)x>0時,y>0,所以曲線在[0,)內(nèi)為凹的.例3.求曲線y2x33x22x14的拐點.解y6x26x12,.令y0,得因為當(dāng)時,y0;當(dāng)時,y0,所以點(,)是曲線的拐點.例4.求曲線y3x44x31的拐點及凹、凸的區(qū)間.解(1)函數(shù)y3x44x31的定義域為(,);(2),;(3)解方程y0,得,;(4)列表判斷:(,0)0(0,2/3)2/3(2/3,)f(x)00f(x)111/27在區(qū)間(,0)和[2/3,]上曲線是凹的,在區(qū)間[0,2/3]上曲線是凸的.點(0,1)和(2/3,11/27)是曲線的拐點.例5問曲線yx4是否有拐點？解:y4x3,y12x2.當(dāng)x0時,y>0,在區(qū)間(,)內(nèi)曲線是凹的,因此曲線無拐點.例6求曲線的拐點解:(1)函數(shù)的定義域為(,);(2),;(3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點,二階導(dǎo)數(shù)不存在的點為x0;(4)判斷:當(dāng)x<0當(dāng),y>0;當(dāng)x>0時,y<0.因此,點(0,0)曲線的拐點.第次課學(xué)時注：本頁為每次課教案首頁上次課復(fù)習(xí)：上次我們學(xué)習(xí)了求函數(shù)最大值與最小值的步驟,具體問題的最大值、最小值的求解曲線的凹凸與拐點本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第八節(jié)函數(shù)圖形的描繪第九節(jié)曲率教學(xué)要求：1.理解漸近線的定義，會討論漸近線;2.掌握描繪函數(shù)圖形的基本步驟；3.準確地描繪函數(shù)圖形.4.掌握弧微分及曲率的概念，了解曲率的計算公式;重點：掌握描繪函數(shù)圖形的基本步驟；弧微分公式難點：弧微分公式教學(xué)手段及教具：以講授為主，使用電子教案講授內(nèi)容及時間分配：漸近線的定義10分鐘描繪函數(shù)圖形的步驟20分鐘圖形的描繪40分鐘弧微分15分鐘曲率概念，曲率圓15分鐘課后作業(yè)作業(yè)：P1.4.參考資料第八節(jié)函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪漸近線 如 則稱為水平漸近線 如 則稱為垂直漸近線如，則稱y=ax+b為斜漸近線。漸近線可能沒有，或多條。2.描繪函數(shù)圖形的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域,并求函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù);(2)求出一階、二階導(dǎo)數(shù)為零的點,求出一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點;(3)列表分析,確定曲線的單調(diào)性和凹凸性;(4)確定曲線的漸近性;(5)確定并描出曲線上極值對應(yīng)的點、拐點、與坐標(biāo)軸的交點、其它點;(6)聯(lián)結(jié)這些點畫出函數(shù)的圖形.例1.畫出函數(shù)yx3x2x1的圖形.解(1)函數(shù)的定義域為(,),(2)f(x)3x22x1(3x1)(x1),f(x)6x22(3x1).f(x)0的根為x1/3,1;f(x)0的根為x1/3(3)列表分析:x(,1/3)1/3(1/3,1/3)1/3(1/3,1)1(1,)f(x)00f(x)0f(x)↗極大↘拐點↘極小↗(4)當(dāng)x時,y;當(dāng)x時,y.(5)計算特殊點:f(1/3)32/27,f(1/3)16/27,f(1)0,f(0)1;f(1)(6)描點聯(lián)線畫出圖形:例2.作函數(shù)的圖形.解:(1)函數(shù)為偶函數(shù),定義域為(,),圖形關(guān)于y軸對稱.(2),.令f(x)0,得x0;令f(x)0,得x1和x1.(3)列表:x(,1)1(1,0)0(0,1)1(1,)f(x)＋＋0－－f(x)＋0－－0＋yf(x)↗拐點↗極大值↘拐點↘(4)曲線有水平漸近線y0.(5)先作出區(qū)間(0,)內(nèi)的圖形,然后利用對稱性作出區(qū)間(,0)內(nèi)的圖形.例3.作函數(shù)的圖形.解(1)函數(shù)的定義域為(,3)(3,).(2),.令f(x)0得x3,令f(x)0得x6.(3)列表分析x(,3)(3,3)3(3,6)6(6,)f(x)0f(x)0f(x)↘↗4極大↘11/3拐點↘(4)x3是曲線的鉛直漸近線,y1是曲線的水平漸近線.(5)計算特殊點的函數(shù)值f(0)=1,f(1)8,f(9)8,f((6)作圖.第九節(jié)曲率曲率1．弧微分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).在曲線yf(x)上取固定點M0(x0,y0)作為度量弧長的基點,并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向.對曲線上任一點M(x,y),規(guī)定有向弧段的值s（簡稱為弧s）如下:s的絕對值等于這弧段的長度,當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時s>0,相反時s<0.顯然,弧s是x的函數(shù):ss(x),而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù).下面來求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分.設(shè)x,x為(a,b)內(nèi)兩個鄰近的點,它們在曲線yf(x)上的對應(yīng)點為M,N,并設(shè)對應(yīng)于x的增量x,弧s的增量為s,于是,,因為1,又y,因此.由于ss(x)是單調(diào)增加函數(shù),從而>0,.于是dsdx.這就是弧微分公式.2、曲率及其計算公式曲線彎曲程度的直觀描述:設(shè)曲線C是光滑的,在曲線C上選定一點M0作為度量弧s的基點.設(shè)曲線上點M對應(yīng)于弧s,在點M處切線的傾角為,曲線上另外一點N對應(yīng)于弧s+s,在點N處切線的傾角為+.我們用比值,即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達弧段的平均彎曲程度.記,稱為弧段MN的平均曲率.記,稱K為曲線C在點M處的曲率.在=存在的條件下,.曲率的計算公式:設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是y=f(x),且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)（這時f￠(x)連續(xù),從而曲線是光滑的）.因為tan=y￠,所以sec2d=y￠￠dx,.又知ds=dx,從而得曲率的計算公式.注：.若曲線的參數(shù)方程為x(t),y(t)則.例1.計算等雙曲線xy1在點(1,1)處的曲率.解由,得,.因此y|x11,y|x12.曲線xy1在點(1,1)處的曲率為.例2拋物線y=ax2+bx+c上哪一點處的曲率最大？解:由y=ax2+bx+c,得y￠=2ax+b,y￠￠=2a代入曲率公式,得.顯然,當(dāng)2ax+b=0時曲率最大.曲率最大時,x=-,對應(yīng)的點為拋物線的頂點.因此,拋物線在頂點處的曲率最大,最大曲率為K=|2a|.3.曲率圓與曲率半徑設(shè)曲線在點M(x,y)處的曲率為K(K10)在點M處的曲線的法線上,在凹的一側(cè)取一點D,使|DM|K1.以D為圓心,為半徑作圓,這個圓叫做曲線在點M處的曲率圓,曲率圓的圓心D叫做曲線在點M處的曲率中心,曲率圓的半徑叫做曲線在點M處的曲率半徑.設(shè)曲線在點M處的曲率為K(K10),在曲線凹的一側(cè)作一個與曲線相切于M且半徑為K1的圓,則這個圓叫做曲線在點M處的曲率圓,其圓心叫做曲率中心,其半徑叫做曲率半徑.曲線在點M處的曲率K(K10)與曲線在點M處的曲率半徑有如下關(guān)系:=,K=.第次課學(xué)時注：本頁為每次課教案首頁上次課復(fù)習(xí)：學(xué)習(xí)了漸近線的定義，會討論漸近線;掌握描繪函數(shù)圖形的基本步驟；準確地描繪函數(shù)圖形.掌握弧微分及曲率的概念，了解曲率的計算公式;本次課題（或教材章節(jié)題目）：第三章習(xí)題課教學(xué)要求：1.鞏固第三章內(nèi)容；2.掌握解題方法與技巧；重點：中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理有關(guān)命題的證明函數(shù)圖形的描繪難點：中值定理有關(guān)命題的證明教學(xué)手段及教具：以講授為主，使用電子教案講授內(nèi)容及時間分配：總結(jié)第三章內(nèi)容25分鐘解決作業(yè)中出現(xiàn)的習(xí)題40分鐘課外典型題講解